Erweitern von Brüchen und Flächeninhalt des Rechtecks: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Navigation verstecken|{{Vorlage:Brüche erweitern, kürzen und vergleichen}}
{{Box|1=Lernpfad|2=
[[Bild:Haus.jpg|150px|right]]
'''Zielsetzung:''' Schüler entdecken Schritt für Schritt die Formel des Flächeninhalts und lernen damit zu rechnen.
 
'''Altersstufe:''' 5. Jahrgangsstufe am Gymnasium
 
'''Zeitbedarf:''' ca. 70 Minuten
 
'''Materialen''': Computer (mit Java und GeoGebra) und Heft.
 
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]
|3=Lernpfad}}


__NOTOC__
__NOTOC__
{{Box|1=Lernpfad|2=
'''Brüche erweitern'''


*'''Zeitbedarf''': in der Probephase
==Arbeitsaufträge==
*'''Material''': Laufzettel
 
|3=Lernpfad}}
 
 
{{Box|1=Kästchen zählen|2=
 
<div class="grid">
 
<div class="width-3-4">Ihr kennt bereits die verschiedenen geometrischen Figuren.
 
Heute wollen wir uns mit dem Flächeninhalt von geometrischen Figuren beschäftigen.
 
Betrachtet dazu die Zeichnungen und ermittelt,
aus wie vielen Kästchen die Rechtecke bestehen.
 
</div>
 
<div class="width-1-4">
[[Bild:UhrPic.jpg|250px|center]]
'''Für diese Aufgabe habt ihr 3 Minuten Zeit!'''
</div>
 
</div>


:[[Bild:Comic_bruch.gif]]
<div class="grid">
<div class="width-1-3"><span style="background:#63B8FF">1. Rechteck</span>
<br>
[[Bild:Rechteck01.png|left]]
<br>
====Hast du richtig gezählt?====
<quiz>
{Das Rechteck besteht aus ...}
- 16 Kästchen.
+ 18 Kästchen.
- 20 Kästchen.
</quiz></div>


<div class="width-1-3"><span style="background:#63B8FF">2. Rechteck</span>
<br>
<br>
:'''Weißt du denn, was ein Bruch ist?'''
[[Bild:Rechteck02.png|center|200px]]
 
 
====Hast du richtig gezählt?====
<quiz display="simple">
{Das Rechteck besteht aus ...}
+ 8 Kästchen.
- 6 Kästchen.
- 7 Kästchen.
</quiz></div>
<div class="width-1-3"><span style="background:#63B8FF">3. Rechteck</span>


:Auf geht's, eine kleine Wiederholung kann niemandem schaden!
<br><br>


==Station Wiederholung ==
[[Bild:Rechteck03.png|right|250px]]


:Bearbeite alle drei Wiederholungsübungen von links nach rechts.
====Hast du richtig gezählt?====
<div style="margin-left:2em">
<quiz display="simple">
<div class="grid" cellpadding="10px">
{Das Rechteck besteht aus ...}
<div class="width-1-3" style="background:#ABCDEF; text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;">1. Was gehört alles zu einem Bruch?</div>
- 8 1/2 Kästchen.
<div class="width-1-3" style="background:#ABCDEF; text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;">2. Welcher Bruchteil ist blau gefärbt?</div>
+ 9 Kästchen.
<div class="width-1-3" style="background:#ABCDEF; text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;">3. Male die Bruchteile an!</div>
- 8 Kästchen.
</quiz>
[[Bild:InfoPic.jpg|center|180px]]
'''Vorsicht: Hier müsst ihr auch die halben Kästchen zählen!!!'''
</div>
</div>
</div>
|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|1=Zeichnen|2=
<div class="grid">
<div class="grid">
  <div class="width-1-3">[[Bild:BildalsLinkzumPuzzle.jpg|framed|center|<br> [https://files.zum.de/lernpfad_brueche/Lernpfad_extern/Erweitern/Puzzle/Puzzlespiel.htm Starte Puzzle (kaputte Seite!?)] ]]</div>
  <div class="width-3-4">
<div class="width-1-3">[[Bild:Farbkleks.png|framed|center|<br> [https://files.zum.de/lernpfad_brueche/Ubungen/Quiz/Zuordnen%20WDH/quiz_zuordnen.html Starte Quiz] ]]</div>
Zeichnet ein Rechteck in eurem Heft mit Flächeninhalt 16 Kästchen.
<div class="width-1-3">[[Bild:Pinsel_tableau.png|framed|center|<br> [https://files.zum.de/lernpfad_brueche/Lernpfad_extern/Erweitern/Ausmalbare_Rechtecke/ausmal_rechtecke.html Teste dich!] ]]</div>
 
Ihr seht im nächsten Bild 3 verschiedene Rechtecke abgebildet:
 
[[Bild:mehrere Rechtecke.png]]
</div>
</div>
<div class="width-1-4">[[Bild:UhrPic.jpg|250px|center]]
'''Für diese Aufgabe habt ihr 5 Minuten Zeit!'''</div>
</div>
</div>
<br><br>


==Station Einführung Erweitern ==
===Suchbild ===


:Starte das Suchbild und schreibe dir alle vier Unterschiede, die es gibt, auf deinen Laufzettel.
Wie ihr leicht sehen könnt, besteht das Rechteck R1 aus 6 Kästchen. Gleichzeitig sind die Seitenlängen des Rechtecks a = c = 3cm
und b = d = 2cm.
 
Das Rechteck R2 besteht aus 2 Kästchen. Wie sind denn hier die Seitenlängen?
 
Das Rechteck R3 besteht aus 12 Kästchen. Könnt ihr auch hier die Seitenlängen angeben?
 
Was fällt euch dabei auf?
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
{{Box|1=Arbeit im Heft|2=
 
 
<div class="grid">
<div class="width-3-4">
Übertragt die Rechtecke auf vorherigen Aufgabe in euer Heft.
Schreibt dabei unter jedes Rechteck die Seitenlängen und den Flächeninhalt.
 
Aus unseren Beobachtungen sehen wir, dass die Anzahl der Kästchen eines Rechtecks
immer gleich des Produkts der beiden Seitenlängen ist.
 
</div>
<div class="width-1-4">[[Bild:UhrPic.jpg|250px|center]]
'''Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit!'''</div>
</div>
 
Wir notieren:
 
:Im Rechteck R1 haben wir die Seitenlängen a = 2 und b = 3 und der Flächeninhalt beträgt 2 x 3 = 6
:Im Rechteck R2 haben wir die Seitenlängen e = 2 und f = 1 und der Flächeninhalt beträgt 2 x 1 = 2
:Im Rechteck R3 haben wir die Seitenlängen i = 4 und j = 3 und der Flächeninhalt beträgt 4 x 3 = 12
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
Daher übertragen wir noch folgenden Satz in unserer Heft
 
{{Box|Satz|
'''Flächeninhalt des Rechtecks'''
#Die Fläche eines Rechtecks ergibt sich aus dem Produkt der Seitenlängen.
#Es gilt also: <math>F = a \cdot b</math>
|Merksatz}}
 
 
<div align="left">[[Bild:InfoPic.jpg|250px|center]]
'''Das F steht hier für Flächeninhalt!!!'''</div>
 
==Ein anschauliches Beispiel==
Zum Schluss könnt ihr nun noch beobachten, wie sich der Flächeninhalt eines Rechtecks ändert, wenn man die Seitenlängen verändert.
Wenn ihr die Punkte der Schieberegler e und f nach links und rechts bewegt, ändert sich auch der Flächeninhalt des Rechtecks.
 
<span> </span>
 
<span></span><div id="ggbContainerf805ffe101672b96efebf8113fc7997a"></div><span></span>
 
 
==Andere geometrische Figuren==
 
Wie könnte man den Flächeninhalt von diesen Figuren berechnen ohne die Kästchen zu zählen?
 
<div class="grid">
<div class="width-3-4">
 
[[Bild:Vieleck1.png]] 
 
</div>
<div class="width-1-4">[[Bild:UhrPic.jpg|250px|center]]
'''Für diese Aufgabe habt ihr 8 Minuten Zeit!'''</div>
</div>
 
 
[[Bild:Vieleck2.png]]
 
==Maßeinheiten==
 
<div class="grid">
<div class="width-3-4">
 
Bisher haben wir uns nur mit der Angabe des Flächeninhalt durch Kästchen beschäftigt.
 
Nun wollen wir uns mit den Maßeinheiten bei Flächenberechnung beschäftigen.
 
Dazu wollen wir aber erst einmal die Maßeinheiten der Streckenmessung wiederholen.
 
</div>
<div class="width-1-4">[[Bild:UhrPic.jpg|250px|center]]
'''Nehmt euch zum Durchlesen der Wiederholung und des Abschnitts "Maßeinheiten beim Flächeninhalt des Rechtecks" 8 Minuten Zeit!'''</div>
</div>


:[[Bild:Zahlenstrahl.png]]


<br>
<div style="margin-left:2em">[https://files.zum.de/lernpfad_brueche/Lernpfad_extern/Erweitern/Suchbild/suchbild.htm Starte das Suchbild (kaputte Seite!?)]</div>
<br>
<br>


==Station Zusammenhang zwischen bestimmten Brüchen ==
====Wiederholung====


:Also wirklich, über den Unterschied &nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{2}</math>&nbsp;&nbsp; und &nbsp;&nbsp;<math>\frac{11}{22}</math>&nbsp; scheint sich auch Frau Fragezeichen zu wundern...<br>
Ihr kennt bereits:


:[[Bild:Comic_Frage.gif]]
{| class="wikitable sortable"
!Einheit
!kurz
!Umrechnung
!Grafische Darstellung
|-
|'''Millimeter'''
| mm
|
|[[Bild:SSS Millimeter.jpg]]
|-
|'''Zentimeter'''
| cm
|1 cm = 10 mm
|[[Bild:Zentimeter.jpg]]
|-
|'''Dezimter: dm'''
| dm
|1 dm = 10 cm = 100 mm
|[[Bild: Dezimeter.jpg]]
|-
|'''Meter'''
| m
|1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
|[[Bild:Meter.jpg]]
|-
|'''Kilometer'''
| km
|1 km = 1000 m = 10000 dm = 100000 cm = 1000000 mm
|
|}


<br>
====Maßeinheiten beim Flächeninhalt des Rechtecks====


===Lasst uns der Vermutung auf die Spur gehen! ===
Betrachten wir nur eine Fläche, zum Beispiel unser lilafarbenes Rechteck von oben.
[[Bild: Rechteck22.jpg]]


:Hier hast du zwei Rechtecke, die sich übereinander schieben lassen.
Die Seite a ist 2 cm lang (ebenso die Seite c)
Die Seite b ist 4 cm lang (ebenso die Seite d)


:Du kannst beide Rechtecke so einstellen, dass ein bestimmter Bruchteil angezeigt wird.
Aus unserer Formel <math>F = a \cdot b</math> wissen wir, dass hier gilt F = 2 x 4 = 8. Aber welche Einheit ordnen wir nun unserem Rechteck zu?


:Verstelle zuerst den Nenner und dann den Zähler.


#'''Finde mit Hilfe der Rechtecke heraus, was &nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{2}</math>&nbsp;&nbsp; und &nbsp;&nbsp;<math>\frac{11}{22}</math>&nbsp;&nbsp; gemeinsam haben und schreibe es dir auf deinen Laufzettel.'''
Die Seiten a und b (bzw. c und d) können wir in cm angeben. Aber das Ergebnis, eine Fläche, lässt sich nicht durch cm ausdrücken, da eine Fläche nicht gleich einer Strecke ist!!!
#'''Stelle links den Bruch &nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{4}</math>&nbsp;&nbsp; ein und versuche rechts einen weiteren Bruch einzustellen, <br>der den gleichen Bruchteil wie &nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{4}</math>&nbsp;&nbsp; anzeigt. Schreibe dir auch diese Brüche auf deinen Laufzettel.'''
<br>
<div style="margin-left:4em"><span> </span>
<span></span><div id="ggbContainer61f8ed3d56d77feed869e7dc41d1a96b"></div><span></span></div>


<br>
<br>
Jetzt hast du bestimmt noch einen Bruch gefunden, der den gleichen Bruchteil wie &nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{4}</math>&nbsp;&nbsp; anzeigt, aber es gibt noch ganz viele andere!
<br><br>


{{Box|1=Gleicher Bruchteil|2=
Verdeutlichen wir uns das anhand einer Zeichnung.
[[Bild:Feststellung.gif|left]] <br>Anscheinend sehen einige Brüche unterschiedlich aus, doch man kann den gleichen Bruchteil durch verschiedene Brüche angeben.


Deshalb ist &nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{2}</math>&nbsp;&nbsp; = &nbsp;&nbsp;<math>\frac{11}{22}</math>&nbsp;&nbsp;, weil sie den gleichen Bruchteil angeben.
Hier seht ihr eine Strecke der Länge 8 cm und ein Rechteck mit Flächeninhalt 8 __ .
|3=Kurzinfo}}
<br>
<br>


==Station Erweitern ==
[[Bild:Rechteck und Fläche.png]]
===Pizza essen gehen ===


:Frau Fragezeichen bestellt eine Spinatpizza, Herr Ausrufezeichen eine Thunfischpizza und du eine Salamipizza.
An diesem Beispiel könnt ihr erkennen dass die Steckeneinheit "cm" nicht zu der Fläche des Rechtecks passt.
Schließlich multiplizieren wir bei einer Fläche ja eine Seitenlänge mit der anderen und rechnen somit auch mm x mm, bzw. cm x cm oder dm x dm ...
Daher brauchen wir für die Fläche die Maßeinheiten wie mm², sprich Quadratmillimeter, da wir mm mit mm multiplizieren.


:Jeder schneidet seine Pizza zunächst in unterschiedlich viele, aber gleich große Stücke.


::[[Bild:Pizzaessen.png]]
<div>[[Bild:InfoPic.jpg|250px|center]]
<br>
'''Man kann nur Seitenlängen mit gleicher Einheit miteinander muliplizieren!!!'''</div>


:Jetzt habt ihr euch überlegt, dass ihr die Pizzen unter euch aufteilen wollt.
Es funktioniert also 5cm x 7cm = 35 cm² zu rechnen. Will man hingegen 4cm x 25 mm berechnen, so muss man eine der beiden Einheiten umwandeln.


:Herr Ausrufezeichen schlägt vor, die drei Pizzen gerecht aufzuteilen, sodass jeder den gleichen Anteil von jeder Pizza bekommt.
Es bieten sich hier also folgende 2 Möglichkeiten an:
<div style="margin-left:2em">[https://files.zum.de/lernpfad_brueche/Lernpfad_extern/Erweitern/Pizza_essen/pizza.html Wie das nur funktionieren soll?]</div>
4cm x 25mm = 40mm x 25mm = 1000mm² oder
4cm x 2,5cm = 10cm²


<br>
{{Box|1=Erweitern|2=
[[Bild:Feststellung.gif|left]]
<br>
Was du gerade in der Pizza-Aufgabe gemacht hast, nennt sich '''Erweitern'''.
<br>


Beim Erweitern eines Bruches verfeinerst du die gezeigten Bruchteile, indem du sie weiter unterteilst.
<div>[[Bild:InfoPic.jpg|250px|center]]
|3=Kurzinfo}}
'''Die Umrechnungsgrößen sind nicht die gleichen wie bei Streckenlängen!!!'''</div>
<br>
<br>


===Die Rechnung, die dahinter steckt ===
Am obigen Beispiel seht ihr sehr gut, dass das Ergebnis des Produkts der Seitenlängen 4cm und 25mm gleich 1000mm² bzw. 10cm² ist.
Die Tabelle oben zeigt, dass 1cm = 10mm ist. Somit ist 1cm² = 1 (cm x cm) = 1x (10mm x 10mm) = 100mm².
Ebenso gilt für beispielsweise 2dm² = 2 x (dm x dm) = 2 x (10cm x 10cm) = 2 x (100cm²) = 200 cm² und hierfür gilt wiederum:
200 cm² = 200 x (cm x cm) = 200 x (10mm x 10mm) = 200 x (100mm²) = 20000mm²


:Hier hast du zwei Kreise. Bei dem linken Kreis kannst du einen Bruch einstellen, der sich automatisch auch beim rechten Kreis einstellt.


:Verschiebe wieder zuerst den Nenner und dann den Zähler.


:Die Bruchteile des Kreises auf der rechten Seite lassen sich erweitern.
Verdeutlichen wir und dies nochmal anhand einer Tabelle:


:Bearbeite nun folgende Aufgaben und schreibe alles auf deinen Laufzettel, deine Antworten wirst du für ein Quiz noch brauchen.<br>
{| class="wikitable sortable"
:{|
!Einheit bei Flächen
|[[Bild:Comic_Frage_klein.gif]]
!Produkt
!Umrechnung
!
|-
|'''Quadratmillimeter'''
| mm x mm = mm²
|1mm²
|
|-
|'''Zentimeter'''
| cm x cm = cm²
|1cm² = 100mm²
|
|-
|'''Dezimter: dm'''
| dm x dm = dm²
|1dm² = 100cm² = 10000mm²
|
|-
|'''Meter'''
| m x m = m²
|1m² = 100dm² = 10000cm² = 1000000mm²
|
|-
|'''Kilometer'''
| km x km = km²
|1km² = 1000000m² = 100000000dm² = 10000000000cm² = 1000000000000mm²
|
|
# Stelle den Bruch <small>&nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{4}</math> &nbsp;&nbsp;</small> ein und erweitere mit '''4'''.
#* Wie verändert sich dabei der rechte Kreis?
#* Wie verändern sich die Brüche unter den Kreisen?
# Stelle nun einen Bruch ein und erweitere ihn so, dass der Zähler und der Nenner rechts dreimal so groß sind wie links.
#* Mit welcher Zahl musst du erweitern?
# Stelle den Bruch &nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{2}</math> &nbsp;&nbsp; ein. Erweitere mit '''5'''.
#* Vergleiche auf beiden Seiten die Zähler und die Nenner. Wie haben sie sich beim Erweitern mit '''5''' verändert?
|}
|}
<br>


<div style="margin-left:4em"><span> </span>
==== Aufgaben ====
<span></span><div id="ggbContainer3c56da33cd824e63536a516ddc530f90"></div><span></span></div>
 
<br>
<div>[[Bild:UhrPic.jpg|250px|center]]
<br>
'''Für diese drei Aufgaben habt ihr 10 Minuten Zeit!'''</div>


===Quiz: Hast du alle Fragen richtig beantwortet? ===


:Hast du auch versucht alle Fragen zu beantworten? <br>
{{Box|1. Aufgabe|


<div style="margin-left:2em">[https://files.zum.de/lernpfad_brueche/Ubungen/Quiz/Test_erweitern/Test_erweitern.html Teste dich] und überprüfe deine Antworten.</div>
Verwandle in die in Klammern angegebene Einheit.


a)    8 dm² ( cm² ) 
     
b)  27 m² ( dm² )
         
c)  43 km² ( m² )
             
d)  18 cm² ( mm² )


|Arbeitsmethode}}


'''Schreibe dir den Merksatz in dein Heft:'''
{{Box|1=Merke|2=
[[Bild:Comic_Merke.gif|left]]
&nbsp; '''Ein Bruch wird erweitert, indem man den Zähler und den Nenner mit der selben Zahl multipliziert.'''
<br>


&nbsp; Beispiel: <math>\frac{1}{3}=\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5}=\frac{5}{15}</math>
{{Box|2. Aufgabe|
|3=Merksatz}}


<br>
Drücke in der in Klammern angegebenen Einheit aus.
<br>


==Station Besonderheiten beim Erweitern ==
a) 3800 cm² ( dm² )
===Warum sich der Wert beim Erweitern nicht ändert -    Schokolade oder keine Schokolade, das ist hier die Frage ===


[[Bild:Schokolade.png|right]]
b) 5900 dm² ( m² )
:Frau Fragezeichen hat immer ganz viele Fragen, die sie alleine nicht beantworten kann.


:Deshalb kommen regelmäßig Stefan, Marie und Tobi und helfen Frau Fragezeichen dabei.
c) 470000 m² ( km² )


:Jeder bekommt dann immer eine leckere Tafel Schokolade.
d) 25 km² ( cm² )


:Auch heute ist es wieder so weit, doch diesmal haben Stefan, Marie und Tobi noch einige Freunde mitgebracht:
|Arbeitsmethode}}


:Nele, Johannes, Benni, Sabine, Moni und dich.
{{Box|1=3. Aufgabe|2=


:Frau Fragezeichen freut sich riesig über so viel Besuch, doch sie hat nur drei Tafeln Schokolade.
Berechne jeweils den Flächeninhalt der Rechtecke in einer geeigneten Einheit.


:Da fällt ihr auch schon die erste Frage ein...
a) b = 5 cm, c = 70 dm


::[[Bild: Tafelnaufteilen.png]]
b) a = 1200 mm, b = 9 dm
<br>
<div style="margin-left:2em">[https://files.zum.de/lernpfad_brueche/Lernpfad_extern/Erweitern/Schokolade/schokolade.html Hilf mit], dann ist die erste Frage schon geschafft.</div>
<br>
<br>
{{Box|1=Feststellung|2=
[[Bild:Feststellung.gif|left]]


<br>Egal mit welcher Zahl du die Schokoladenstücke erweitert hast, du und deine Freunde,<br> ihr habt zum Schluss immer gleich viel Schokolade bekommen.
c) c = 5 km, d = 3000 m


|3=Kurzinfo}}
d) a = 50 cm, d = 200 mm
<br><br>


===Mit welchen Zahlen darfst du erweitern? ===
e) a = 1200 dm, b = 15 m (Gib hier den Flächeninhalt in cm² an.)


:[[Bild:ComicNull.png]]
f) b = 5 m, c= 200 cm (Gib hier den Flächeninhalt in dm² an.)
<br>
<br>
:Was ist wohl <span style="color:red">N N N</span> ? Finde es heraus!


<div style="margin-left:2em">
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=


[[Bild:Feststellung.gif|left]]
==Weitere Arbeitsaufträge==


Wenn du einen Bruch, z.B. &nbsp;&nbsp; <math>\frac{1}{6}</math> &nbsp; &nbsp;mit '''0''' erweitern willst, dann musst du den Zähler<br> und den Nenner mit '''0''' multiplizieren. Für den Zähler ist das auch nicht schlimm,<br> aber für den Nenner! Denn der Nenner darf niemals Null sein!!!<br><br><br>'''Warum?'''<br> <math>\frac{1}{6}</math> &nbsp;&nbsp;ist nichts anderes als 1:6.<br> Und wenn du jetzt im Nenner '''0''' hättest, dann würdest du durch '''0''' teilen und das soll man nicht!<br><br><span style="color:red">N N N</span> heißt nicht anderes als der <span style="color:red">N</span>enner darf <span style="color:red">N</span>iemals <span style="color:red">N</span>ull sein!
{{Box|1=Anwendungsaufgabe Kinderzimmer|2=
<br>
<br>
'''Schreibe dir den Merksatz in dein Heft''':


{{Box|1=Merke|2=
<div class="grid">
[[Bild:Comic_Merke.gif|left]]
<div class="width-3-4">
<br>'''Du kannst Brüche immer Erweitern, ohne dass sich der Wert ändert.''' <br><br> '''Der <span style="color:red">N</span>enner darf <span style="color:red">N</span>iemals <span style="color:red">N</span>ull sein!'''<br><br>
|3=Merksatz}}
}}
</div>
<br><br>


==Station Übungen zum Erweitern ==
Nora und Paul besichtigen die neue Wohnung, in die sie umziehen wollen.


Bearbeite von links nach rechts alle vier Übungen.
Paul misst die beiden Kinderzimmer aus: Das erste ist 5 m lang und 4 m breit, das zweite 6 m lang und 3 m breit.  


Gibt es mehrere Aufgaben oder Schwierigkeiten zur Auswahl, dann musst du nur '''eine''' der Aufgaben bearbeiten.
Nora sagt: "Beide Zimmer sind gleich groß, denn 5 plus 4 ist 9 und 6 plus 3 ist auch 9."


Die Farben können dir bei deiner Entscheidung helfen:
Was meinst du? Fertigt für eure Lösung im Heft eine Skizze an.
{|
| style="background:#C1FFC1;" |leicht
|&nbsp;
| style="background:#ffe775;" |mittelschwer
|&nbsp;
| style="background:#FFA07A;" |schwer
|}


<div style="margin-left:2em">
<div class="grid" cellpadding="10px">
<div class="width-1-4" style="background:#ABCDEF; text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;">1. Übung</div>
<div class="width-1-4" style="background:#ABCDEF; text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;">2. Übung</div>
<div class="width-1-4" style="background:#ABCDEF; text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;">3. Übung</div>
<div class="width-1-4" style="background:#ABCDEF; text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;">4. Übung</div>
</div>
</div>
<div class="grid" cellpadding="10px">
  <div class="width-1-4">[[Bild:UhrPic.jpg|250px|center]]
  <div class="width-1-4" style="text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;">'''Berechne die erweiterte Zahl'''</div>
  '''Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit!'''</div>
<div class="width-1-4" style="text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;">'''Mit welcher Zahl wurde erweitert?'''<br>oder<br> '''Erweitere auf den gleichen Wert'''</div>
<div class="width-1-4" style="text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;">'''Quiz: Richtig oder falsch'''<br>oder<br>'''Quiz: Welcher Bruch wurde erweitert'''</div>
  <div class="width-1-4" style="text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;">'''Erweitere auf den gleichen Nenner'''</div>
</div>
</div>
<div class="grid" cellpadding="10px">
<div class="width-1-4" style="background:#C1FFC1; text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;">[https://files.zum.de/lernpfad_brueche/Ubungen/Ubungen_Erweitern/Erweitere%20mit/erweiteremit_leicht.html leicht]</div>
<div class="width-1-4" style="background:#C1FFC1; text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;">[https://files.zum.de/lernpfad_brueche/Ubungen/Ubungen_Erweitern/Finde%20die%20Erweiterungszahl/findediezahl.html Mit welcher Zahl wurde erweitert?]</div>
<div class="width-1-4" style="background:#C1FFC1; text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;"></div>
<div class="width-1-4" style=" background:#C1FFC1;text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;"></div>
</div>
<div class="grid" cellpadding="10px">
<div class="width-1-4" style="background:#ffe775; text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;">[https://files.zum.de/lernpfad_brueche/Ubungen/Ubungen_Erweitern/Erweitere%20mit/erweiteremit_mittel.html mittelschwer]</div>
<div class="width-1-4" style="background:#ffe775; text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;">[https://files.zum.de/lernpfad_brueche/Ubungen/Ubungen_Erweitern/Erweitere%20auf%20den%20gleichen%20Wert/gleicherwert.html Erweitere auf den gleichen Wert (mittelschwer)]</div>
<div class="width-1-4" style="background:#ffe775; text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;">[https://files.zum.de/lernpfad_brueche/Ubungen/Quiz/rof/quiz_rof.html Quiz: Richtig oder falsch?]</div>
<div class="width-1-4" style=" background:#ffe775;text-align:center; padding:5px 0px 5px 0px;">[https://files.zum.de/lernpfad_brueche/Ubungen/Ubungen_Erweitern/Erweitere%20auf%20gleichen%20Nenner/ErwaufNenner.html Los geht's]</div>
</div>
<div class="grid" cellpadding="10px">
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!style="background:#ABCDEF;"|1. Übung
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|align="center" valign="top" |'''Berechne die erweiterte Zahl'''
|align="center" valign="top" |'''Mit welcher Zahl wurde erweitert?'''<br> oder <br>'''Erweitere auf den gleichen Wert'''
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{{Weiter|Kürzen von Brüchen|Brüche kürzen}}


|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|1=Check dein Wissen|2=
<div>[[Bild:UhrPic.jpg|250px|center]]
'''Für diese drei Aufgaben habt ihr 5 Minuten Zeit!'''</div>
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'''Vorsicht: Ab Frage 7 auch auf Einheiten achten!'''</div>
<quiz>
{Wie verändern sich der Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn man eine Seitenlänge verdoppelt?}
- Der Flächeninhalt bleibt gleich.
+ Der Flächeninhalt verdoppelt sich
- Das Rechteck ist dann viermal so groß.
{Der Umfang eines Rechtecks bleibt gleich wenn man eine beliebige Seitenlängen a verdoppelt und die andere Seitenlänge halbiert}
- wahr
+ falsch
{Der Flächeninhalt eines Rechtecks bleibt gleich wenn man eine beliebige Seitenlängen a verdoppelt und die andere Seitenlänge halbiert}
+ wahr
- falsch
{Die Werte von Flächeninhalt und Umfang sind beim Quadrat gleich groß}
- wahr
+ falsch
{Der Umfang eines Rechtecks bleibt gleich, wenn man eine Seite um 2cm verkleinert, die andere Seite dafür aber um 2 cm verlängert. (Wichtig: Wir betrachten hier nur Rechtecke, bei denen beide Seiten mindestens 3 cm lang sind!!!)}
+ wahr
- falsch
{Der Flächeninhalt eines Rechtecks bleibt gleich, wenn man eine Seite um 2cm verkleinert, die andere Seite dafür aber um 2 cm verlängert. (Wichtig: Wir betrachten hier nur Rechtecke, bei denen beide Seiten mindestens 3 cm lang sind!!!)}
- wahr
+ falsch
{Die folgenden vier Fragen beziehen sich auf folgenden Sachverhalt: Ein Rechteck ist 4m lang und 9m breit.
Welche Aussagen sind richtig?
Der Flächeninhalt beträgt 32m²}
- wahr
+ falsch
{Der Umfang beträgt 26 cm²}
- wahr
+ falsch
{Man kann 18 kleinere Rechtecke mit Flächeninhalt 2m² einbauen.}
+ wahr
- falsch
{Ein Quadrat mit Seitenlänge 6m hat den gleichen Umfang.}
+ wahr
- falsch
</quiz>
|3=Arbeitsmethode}}
==Für die ganz Schnellen bzw. für zu Hause==
[[Bild:Haus.jpg|150px|right]]
Klickt auf den folgenden Link und bearbeitet die Aufgaben zum Flächeninhalt:
<br><br><br>
* [[Umfang und Flächeninhalt vom Rechteck]]
{{Autoren:Franziska Engerer, Lisa Henkelmann, Katharina Hesse}}


{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Flächeninhalt des Rechtecks,Flächeninhalt,Rechteck,Mathematik,Lernpfad,5. Klasse</metakeywords>
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[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]

Version vom 15. Oktober 2018, 21:20 Uhr

Lernpfad
Haus.jpg

Zielsetzung: Schüler entdecken Schritt für Schritt die Formel des Flächeninhalts und lernen damit zu rechnen.

Altersstufe: 5. Jahrgangsstufe am Gymnasium

Zeitbedarf: ca. 70 Minuten

Materialen: Computer (mit Java und GeoGebra) und Heft.

Mathematik-digital


Arbeitsaufträge

Kästchen zählen
Ihr kennt bereits die verschiedenen geometrischen Figuren.

Heute wollen wir uns mit dem Flächeninhalt von geometrischen Figuren beschäftigen.

Betrachtet dazu die Zeichnungen und ermittelt, aus wie vielen Kästchen die Rechtecke bestehen.

UhrPic.jpg

Für diese Aufgabe habt ihr 3 Minuten Zeit!

1. Rechteck


Rechteck01.png


Hast du richtig gezählt?

  

Das Rechteck besteht aus ...

16 Kästchen.
18 Kästchen.
20 Kästchen.

2. Rechteck


Rechteck02.png


Hast du richtig gezählt?

Das Rechteck besteht aus ...

8 Kästchen.
6 Kästchen.
7 Kästchen.

3. Rechteck


Rechteck03.png

Hast du richtig gezählt?

Das Rechteck besteht aus ...

8 1/2 Kästchen.
9 Kästchen.
8 Kästchen.

InfoPic.jpg

Vorsicht: Hier müsst ihr auch die halben Kästchen zählen!!!


Zeichnen

Zeichnet ein Rechteck in eurem Heft mit Flächeninhalt 16 Kästchen.

Ihr seht im nächsten Bild 3 verschiedene Rechtecke abgebildet:

Mehrere Rechtecke.png

UhrPic.jpg
Für diese Aufgabe habt ihr 5 Minuten Zeit!


Wie ihr leicht sehen könnt, besteht das Rechteck R1 aus 6 Kästchen. Gleichzeitig sind die Seitenlängen des Rechtecks a = c = 3cm und b = d = 2cm.

Das Rechteck R2 besteht aus 2 Kästchen. Wie sind denn hier die Seitenlängen?

Das Rechteck R3 besteht aus 12 Kästchen. Könnt ihr auch hier die Seitenlängen angeben?

Was fällt euch dabei auf?


Arbeit im Heft

Übertragt die Rechtecke auf vorherigen Aufgabe in euer Heft. Schreibt dabei unter jedes Rechteck die Seitenlängen und den Flächeninhalt.

Aus unseren Beobachtungen sehen wir, dass die Anzahl der Kästchen eines Rechtecks

immer gleich des Produkts der beiden Seitenlängen ist.

UhrPic.jpg
Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit!

Wir notieren:

Im Rechteck R1 haben wir die Seitenlängen a = 2 und b = 3 und der Flächeninhalt beträgt 2 x 3 = 6
Im Rechteck R2 haben wir die Seitenlängen e = 2 und f = 1 und der Flächeninhalt beträgt 2 x 1 = 2
Im Rechteck R3 haben wir die Seitenlängen i = 4 und j = 3 und der Flächeninhalt beträgt 4 x 3 = 12

Daher übertragen wir noch folgenden Satz in unserer Heft


Satz

Flächeninhalt des Rechtecks

  1. Die Fläche eines Rechtecks ergibt sich aus dem Produkt der Seitenlängen.
  2. Es gilt also:


InfoPic.jpg
Das F steht hier für Flächeninhalt!!!

Ein anschauliches Beispiel

Zum Schluss könnt ihr nun noch beobachten, wie sich der Flächeninhalt eines Rechtecks ändert, wenn man die Seitenlängen verändert. Wenn ihr die Punkte der Schieberegler e und f nach links und rechts bewegt, ändert sich auch der Flächeninhalt des Rechtecks.


Andere geometrische Figuren

Wie könnte man den Flächeninhalt von diesen Figuren berechnen ohne die Kästchen zu zählen?

Vieleck1.png

UhrPic.jpg
Für diese Aufgabe habt ihr 8 Minuten Zeit!


Vieleck2.png

Maßeinheiten

Bisher haben wir uns nur mit der Angabe des Flächeninhalt durch Kästchen beschäftigt.

Nun wollen wir uns mit den Maßeinheiten bei Flächenberechnung beschäftigen.

Dazu wollen wir aber erst einmal die Maßeinheiten der Streckenmessung wiederholen.

UhrPic.jpg
Nehmt euch zum Durchlesen der Wiederholung und des Abschnitts "Maßeinheiten beim Flächeninhalt des Rechtecks" 8 Minuten Zeit!


Wiederholung

Ihr kennt bereits:

Einheit kurz Umrechnung Grafische Darstellung
Millimeter mm SSS Millimeter.jpg
Zentimeter cm 1 cm = 10 mm Zentimeter.jpg
Dezimter: dm dm 1 dm = 10 cm = 100 mm Dezimeter.jpg
Meter m 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm Meter.jpg
Kilometer km 1 km = 1000 m = 10000 dm = 100000 cm = 1000000 mm

Maßeinheiten beim Flächeninhalt des Rechtecks

Betrachten wir nur eine Fläche, zum Beispiel unser lilafarbenes Rechteck von oben. Rechteck22.jpg

Die Seite a ist 2 cm lang (ebenso die Seite c) Die Seite b ist 4 cm lang (ebenso die Seite d)

Aus unserer Formel wissen wir, dass hier gilt F = 2 x 4 = 8. Aber welche Einheit ordnen wir nun unserem Rechteck zu?


Die Seiten a und b (bzw. c und d) können wir in cm angeben. Aber das Ergebnis, eine Fläche, lässt sich nicht durch cm ausdrücken, da eine Fläche nicht gleich einer Strecke ist!!!


Verdeutlichen wir uns das anhand einer Zeichnung.

Hier seht ihr eine Strecke der Länge 8 cm und ein Rechteck mit Flächeninhalt 8 __ .

Rechteck und Fläche.png

An diesem Beispiel könnt ihr erkennen dass die Steckeneinheit "cm" nicht zu der Fläche des Rechtecks passt. Schließlich multiplizieren wir bei einer Fläche ja eine Seitenlänge mit der anderen und rechnen somit auch mm x mm, bzw. cm x cm oder dm x dm ... Daher brauchen wir für die Fläche die Maßeinheiten wie mm², sprich Quadratmillimeter, da wir mm mit mm multiplizieren.


InfoPic.jpg
Man kann nur Seitenlängen mit gleicher Einheit miteinander muliplizieren!!!

Es funktioniert also 5cm x 7cm = 35 cm² zu rechnen. Will man hingegen 4cm x 25 mm berechnen, so muss man eine der beiden Einheiten umwandeln.

Es bieten sich hier also folgende 2 Möglichkeiten an: 4cm x 25mm = 40mm x 25mm = 1000mm² oder 4cm x 2,5cm = 10cm²


InfoPic.jpg
Die Umrechnungsgrößen sind nicht die gleichen wie bei Streckenlängen!!!

Am obigen Beispiel seht ihr sehr gut, dass das Ergebnis des Produkts der Seitenlängen 4cm und 25mm gleich 1000mm² bzw. 10cm² ist. Die Tabelle oben zeigt, dass 1cm = 10mm ist. Somit ist 1cm² = 1 (cm x cm) = 1x (10mm x 10mm) = 100mm². Ebenso gilt für beispielsweise 2dm² = 2 x (dm x dm) = 2 x (10cm x 10cm) = 2 x (100cm²) = 200 cm² und hierfür gilt wiederum: 200 cm² = 200 x (cm x cm) = 200 x (10mm x 10mm) = 200 x (100mm²) = 20000mm²


Verdeutlichen wir und dies nochmal anhand einer Tabelle:

Einheit bei Flächen Produkt Umrechnung
Quadratmillimeter mm x mm = mm² 1mm²
Zentimeter cm x cm = cm² 1cm² = 100mm²
Dezimter: dm dm x dm = dm² 1dm² = 100cm² = 10000mm²
Meter m x m = m² 1m² = 100dm² = 10000cm² = 1000000mm²
Kilometer km x km = km² 1km² = 1000000m² = 100000000dm² = 10000000000cm² = 1000000000000mm²

Aufgaben

UhrPic.jpg
Für diese drei Aufgaben habt ihr 10 Minuten Zeit!


1. Aufgabe


Verwandle in die in Klammern angegebene Einheit.

a) 8 dm² ( cm² )

b) 27 m² ( dm² )

c) 43 km² ( m² )

d) 18 cm² ( mm² )


2. Aufgabe


Drücke in der in Klammern angegebenen Einheit aus.

a) 3800 cm² ( dm² )

b) 5900 dm² ( m² )

c) 470000 m² ( km² )

d) 25 km² ( cm² )


3. Aufgabe

Berechne jeweils den Flächeninhalt der Rechtecke in einer geeigneten Einheit.

a) b = 5 cm, c = 70 dm

b) a = 1200 mm, b = 9 dm

c) c = 5 km, d = 3000 m

d) a = 50 cm, d = 200 mm

e) a = 1200 dm, b = 15 m (Gib hier den Flächeninhalt in cm² an.)

f) b = 5 m, c= 200 cm (Gib hier den Flächeninhalt in dm² an.)

Weitere Arbeitsaufträge

Anwendungsaufgabe Kinderzimmer

Nora und Paul besichtigen die neue Wohnung, in die sie umziehen wollen.

Paul misst die beiden Kinderzimmer aus: Das erste ist 5 m lang und 4 m breit, das zweite 6 m lang und 3 m breit.

Nora sagt: "Beide Zimmer sind gleich groß, denn 5 plus 4 ist 9 und 6 plus 3 ist auch 9."

Was meinst du? Fertigt für eure Lösung im Heft eine Skizze an.

UhrPic.jpg
Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit!


Check dein Wissen
UhrPic.jpg
Für diese drei Aufgaben habt ihr 5 Minuten Zeit!
InfoPic.jpg
Vorsicht: Ab Frage 7 auch auf Einheiten achten!

  

1 Wie verändern sich der Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn man eine Seitenlänge verdoppelt?

Der Flächeninhalt bleibt gleich.
Der Flächeninhalt verdoppelt sich
Das Rechteck ist dann viermal so groß.

2 Der Umfang eines Rechtecks bleibt gleich wenn man eine beliebige Seitenlängen a verdoppelt und die andere Seitenlänge halbiert

wahr
falsch

3 Der Flächeninhalt eines Rechtecks bleibt gleich wenn man eine beliebige Seitenlängen a verdoppelt und die andere Seitenlänge halbiert

wahr
falsch

4 Die Werte von Flächeninhalt und Umfang sind beim Quadrat gleich groß

wahr
falsch

5 Der Umfang eines Rechtecks bleibt gleich, wenn man eine Seite um 2cm verkleinert, die andere Seite dafür aber um 2 cm verlängert. (Wichtig: Wir betrachten hier nur Rechtecke, bei denen beide Seiten mindestens 3 cm lang sind!!!)

wahr
falsch

6 Der Flächeninhalt eines Rechtecks bleibt gleich, wenn man eine Seite um 2cm verkleinert, die andere Seite dafür aber um 2 cm verlängert. (Wichtig: Wir betrachten hier nur Rechtecke, bei denen beide Seiten mindestens 3 cm lang sind!!!)

wahr
falsch

7 Die folgenden vier Fragen beziehen sich auf folgenden Sachverhalt: Ein Rechteck ist 4m lang und 9m breit. Welche Aussagen sind richtig?

Der Flächeninhalt beträgt 32m²

wahr
falsch

8 Der Umfang beträgt 26 cm²

wahr
falsch

9 Man kann 18 kleinere Rechtecke mit Flächeninhalt 2m² einbauen.

wahr
falsch

10 Ein Quadrat mit Seitenlänge 6m hat den gleichen Umfang.

wahr
falsch

Für die ganz Schnellen bzw. für zu Hause

Haus.jpg

Klickt auf den folgenden Link und bearbeitet die Aufgaben zum Flächeninhalt:



Vorlage:Autoren:Franziska Engerer, Lisa Henkelmann, Katharina Hesse

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