Bildmodifikation mit Photoshop

Die Grundidee vom Signifikanztest hast du bereits verstanden. Auf dieser Seite lernst du nun den Aufbau und die Begrifflichkeiten eines Signifikanztests kennen.

Ein Signifikanztest besteht aus vier Schritten. In der folgenden Abbilung findest du eine Übersicht der vier Durchführungsschritte.

Im Folgenden werden die einzelnen Schritte ausführlich beschrieben. Lies dir die Informationen aufmerksam durch.

Vorüberlegung:
Skizziere die Binomialverteilung für die Stichporbe mit der bisher geltende bzw. angenommene Wahrscheinlichkeit. Diese Wahrscheinlichkeit wird im folgenden mit $p_0$ bezeichnet. Markiere in der Skizze den Rand rot indem der*die Auftragsgebende mit einer großen statistischen Sicherheit zeigen kann, dass die tatsächliche Wahrscheinlichkeit kleiner bzw. größer als $p_0$ geworden ist. Liegt der von dir markieret Bereich am linken Rand der Binomialverteilung so handelt es sich um einen linksseitigen Test. Liegt er am rechten Rand der Binomialverteilung so liegt ein rechtsseitiger Test vor.

1. Schritt: Wahl der Nullhypothese $H_0$ und der Gegenhypothese $H_1$
Vor Durchführung des Tests gibt es immer eine angenommene bzw. geltende Wahrscheinlichkeit $p_0$, die für die Grundgesamtheit gilt bzw.galt. Das Ziel des Tests ist es zu zeigen, dass die tatsächliche Wahrscheinlichkeit größer bzw. kleiner als $p_0$ geworden ist. Für den Signifikanztest werden dafür zwei Hypothesen formuliert: Die Nullhypothese $H_0$ und die Gegenhypothese $H_1$. Es ist einfacher zuerst die Gegenhypothese $H_1$ zu formuliern. Die Gegenhypothese $H_1$ entspricht immer den Interessen des Auftragsgebers. Also überlege dir, ob der Auftraggeber durch den Test zeigen möchte, dass die tatäschliche Wahrscheinlichkeit kleiner bzw. größer als $p_0$ durch bestimmte Einflüsse geworden ist ($H_1:p<p_0 bzw. H_1:p>p_0$) Wähle dies als Gegenhypothese $H_1$.  Die entsprechende Gegenaussage inklusive Grenzfall ($H_0:p\geq p_0 bzw. H_1:p\leq p_0$) ist dann die zugehörige Nullhypothese $H_0$.

2. Schritt: Festlegen des Stichprobenumfangs n und des Signifikanzniveaus $\alpha$
Der Stichprobenumfang n und das Signifikanzniveau $\alpha$ sind meistens in der Aufgabenstellung angegeben. Diese Größen musst du also einfach nur aus dem Aufgabentext rausschreiben. Das Signifikanzniveau $\alpha$ legt die maximale Irttumswahrscheinlichkeit fest, eine Nullhypothese $H_0$ fälschlicherweise zu verwerfen.

3. Schritt: Definition der Zufallsvariable X und angeben der Verteilung wenn $H_0$ stimmt
Die Zufallsvariable X muss so gewählt werden, dass sie von den zu überprüfenden Hypothesen abhängt. Zudem muss noch die Verteilung angegeben werden (die Verteilung deiner Skizze), also die Verteilung unter der Voraussetzung das der Grenzfall von $H_0$ stimmt. In diesem Lernpfad und in den Schul- und Abituraufgaben ist die Zufallsvariable X immer binomialverteilt. Dennoch ist es wichtig, dass du es notierst, sonst musst du mit Punktabzug rechnen.

4. Schritt: Entscheidungsregel angeben
In diesem Schritt werden die Intervalle für den Annahme- und Verwerfungsbereich angegeben. Der Verwerfungsbereich ist der Bereich, der in deiner Skizze rot markiert ist. Also der Bereich indem man aussagen kann, dass mit einer großen statitsichen Sicherheit $p_0$ gesunken bzw. gestiegen ist. Der Annahmebereich ist der restliche Bereich, in diesem Intervall kann man keine Aussage treffen. Für die Bestimmung der Intervalle wird ein kritischer Wert ermittelt. Ab diesem Wert liegen signifikante Abweichung (nach links oder rechts) zu der in $H_0$ definierten Nullhypothese $H_0$ vor. Ab diesem Wert wird die Nullhypothese zum ersten Mal verworfen.

Hinweis zu Ermittlung des kritischen Werts:

Linksseitiger Test:
$P(X\leq kr)\leq festgelegte Signifikanzniveau$
Durch Erstellen einer Tabelle mit den kumulierten Wahrscheinlichkeiten für die Binomialverteilung kann der k Wert abgelesen werden bei dem die kumulierte Wahrscheinlichkeit gerade noch so unter dem festgelegten Signifikanzniveau liegt. Dies ist der kritische Wert kr, bis zu diesem Wert wird die Nullhypothese $H_0$ verworfen.

Rechtsseitiger Test:
$P(X\geq kr)\leq festgelegte Signifikanzniveau$ Mindestwahrscheinlichkeiten werden über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet. Es folgt $1-P(X\leq kr-1)\leq festgelegte Signifikanzniveau$. Durch Umformen der Gleichung erhält man $P(X\leq kr-1)\geq 1-festgelegtes Signifikanzniveau$ Durch Erstellen einer Tabelle mit den kumulierten Wahrscheinlichkeiten für die Binomialverteilung kann der k Wert abglesen werden bei dem die kumulierte Wahrscheinlichkeit zum ersten Mal über 1- festgelegte Signifikanzniveau liegt. Dies ist der kritische Wert kr -1. Diesen Wert rechnet man dann noch plus 1 und erhält somit den kritischen Wert. Ab diesem kritischen Wert wird die Nullhypothese $H_0$ verworfen.

Liegt das Ergegnis der Stichprobe im Annahmebereich, so ist keine Aussage möglich,da auch Verteilungen mit anderen Wahrscheinlichkeiten zu Grunde liegen könnten. Liegt dagegen das Stichporbenergebnis im Verwerfungsbereich, so kann man unter der festgelegten Irrtumswahrscheinlichkeit (=Signifikanzniveau $\alpha$) sagen, dass die Gegenhypothese $H_1$ gilt.

Versuche jetzt im Folgenden, eigenständig Signifikanztests durchzuführen! Hast du Probleme bei einzelnen Schritten, so lies die die Informationen oben nochmal genau durch!

Übung 1

Eine Partei sieht den Klimawandel nicht als Bedrohung an. Diese Partei hat ihre Argumente gegen die Bedrohung des Klimawandels im Jahr 2019 in vielen Debatten ausführlich erläutert. Die Partei interessiert sich, ob der Anteil der Menschen, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen im Vergleich zu 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gesunken ist. Sie beschließt in einer Umfrage zufällig 1000 Menschen zu befragen und das Ergebnis anschließend mit einem Signifikanztest zu beurteilen. Das Signifikanzniveau $\alpha$ legen sie auf 5% fest. Führe einen passenden Signifikanztest durch.

Vorüberlegung : Skizze zeichnen

Skizziere die Binomialverteilung für den Fall, dass immer noch 71% der Menschen in Deutschland sich durch den Klimawandel bedroht fühlen. Markiere in der Skizze den Bereich rot, indem die Partei mit einer großen statitischen Sicherheit zeigen kann, dass der Anteil gesunken ist.
Um welche Art von Test handelt es sich? (Hinweis: Diese Vorüberlegungen hast du bereits in Übung 2 auf der Seite " Grundidee vom Signifikanztest durchgeführt).

Da der Verwerfungsbereich im linken Rand der Binomialverteilung liegt, handelt es sich um einen linksseitigen Test.

1. Schritt: Wahl der Nullhypothese $H_0$ und der Gegenhypothese $H_1$

Die Gegenhypothese $H_1$ ist immer so formuliert, dass sie den Interessen des Auftragsgebers entspricht. Die zugehörige Gegenaussage inklusive Grenzfall ist dann die entsprechende Nullhypothese $H_0$

$H_0:p\geq0,71$ und $H_1:p<0,71$

2. Schritt: Festlegen des Stichprobenumfangs n und des Signifikanzniveaus $\alpha$

n=1000 und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}

3. Schritt: Definition der Zufallsvaraible X und angeben der Verteilung wenn $H_0$ stimmt

X ist die Anzahl der 1000 Befragten, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen.

X ist im Grenzfall $B_{1000,0.71}$ -verteilt

4. Schritt: Entscheidungsregel angeben

Suche den kritischen Wert, für den die kumulierte Wahrscheinlichkeit gerade noch kleiner gleich 5% ist. Erstelle dafür eine Tabelle mit den kumulierten Wahrscheinlichkeiten in deinem Taschenrechner.(Hinweis: Bei den meisten Taschenrechner gibst du dafür die Funktion binomcdf(1000, 0.71, X) ein.)

$P(X\leq kr)\leq0,05$

Aus Ablesen der Tabelle erhalten wir den kritischen Wert 685. Bis zu diesem Wert lehnen wir die Nullhypothese $H_0$ ab. Es ergeben sich folgende Annahme- und Verwerfungsbereich: Annahmebereich:{686, ..., 1000}, Verwerfungsbereich:{0, ...685}

In der Umfrage kommt raus, dass sich 750 Menschen von den 1000 Befragten sich durch den Klimawandel bedroht fühlen. Was kann die Partei mit diesem Ergebnis aussagen?

Da das Ergebnis im Annahmebereich liegt, kann keine Aussage getroffen werden.

Übung 2

Eine Umweltgruppe will rausfinden, ob durch die hohe Öffentlichkeit des Themas des Klimawandels 2019 unteranderem auch ausgelöst durch die Fridays For Future Demos der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen im Vegleich zu 2019 wo der Wert bei 71% lag gestiegen ist. Sie beschließt in einer Umfrage zufällig 1000 Menschen zu befragen und das Ergebnis anschließend mit einem Signifikanztest zu beurteilen. Das Signifikanzniveau $\alpha$ legen sie auf 5% fest. Führe einen passenden Signifikanztest durch.

Vorüberlegung : Skizze zeichnen

Skizziere die Binomialverteilung für den Fall, dass immer noch 71% der Menschen in Deutschland sich durch den Klimawandel bedroht fühlen. Markiere in der Skizze den Bereich rot, indem die Umweltgruppe mit einer großen statitischen Sicherheit zeigen kann, dass der Anteil gestiegen ist.
Um welche Art von Test handelt es sich?

Da der Verwerfungsbereich im rechten Rand der Binomialverteilung liegt, handelt es sich um einen rechtsseitigen Test.

1. Schritt: Wahl der Nullhypothese $H_0$ und der Gegenhypothese $H_1$

Die Gegenhypothese $H_1$ ist immer so formuliert, dass sie den Interessen des Auftragsgebers entspricht. Die zugehörige Gegenaussage inklusive Grenzfall ist dann die entsprechende Nullhypothese $H_0$

$H_0:p\leq0,71$ und $H_1:p>0,71$

2. Schritt: Festlegen des Stichprobenumfangs n und des Signifikanzniveaus $\alpha$

n=10000 und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}

3. Schritt: Definition der Zufallsvaraible X und angeben der Verteilung wenn $H_0$ stimmt

X ist die Anzahl der 1000 Befragten, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen.

X ist im Grenzfall $B_{1000,0.71}$ -verteilt

4. Schritt: Entscheidungsregel angeben

Gesucht ist der Wert, bei dem die kumulierte Wahrscheinlichkeit für X mindestens dem kritischen Wert sein soll, und diese Wahrscheinlichkeit soll kleiner gleich 5% sein.( Hinweis: Die Tabelle für die kumulierten Wahrscheinlichkeit erstellst du mit den meisten Taschenrechner über die Funktion binomcdf(1000, 0.71, X))
Erinnere dich daran wie du Mindestwahrscheinlichkeiten berechnen kannst.

$P(X\geq kr)\leq0,05$

Mindestwahrscheinlichkeiten werden über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet, es folgt $1-P(X\leq kr-1)\leq0,05$. Durch Umformen der Gleichung erhält man $P(X\leq kr-1)\geq 0,95$.Man liest also den Wert ab, bei dem die kumulierte Wahrscheinlichkeit zum ersten mal größer gleich 0,95 ist. In diesem Fall 733. Da dies der kritische Wert minus 1 ist, rechnet man noch plus 1 und erhält somit den kritischen Wert, indem Fall 734. Es ergeben sich folgende Annahme- und Verwerfungsbereiche: Annahmebereich {0,...,733}, Verwerfungsbereich {734,...1000}

In der Umfrage kommt raus, dass sich 748 Menschen von den 1000 Befragten sich durch den Klimawandel bedroht fühlen. Wie können die Schüler*innen dieses Ergebnis interpretieren?

Da das Ergebnis im Verwerfungsbereich liegt, kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% davon aussgegegangen werden, dass der Anteil der Menschen die den Klimawandel als Bedohung ansehen im Vergleich zu 2019 gestiegen ist.

Neben dem links- und rechtsseitigen Test gibt es auch noch den zweiseitigen Test. Bei dieser Art des Tests will der*die Auftragsgeber*in zeigen, dass eine Aussage falsch ist. Der Auftragsgebende weiß allerdings noch nicht, ob der tasächliche Wert nach links oder rechts abweicht. Die Durchfühung des Tests erfolgt analog zum links- und rechtsseitigen Test, mit nur minimalen Unterschieden.
1.) Die Nullhypothese $H_0$ wird nicht als Intervall formuliert, sondern als Punkt( $H_0:p=$ bisher geltende bzw. angenommene Wahrscheinlichkeit). Die Gegenhypothese $H_1$ ist entsprechend die Gegenaussage ($H_1:p\neq$ bisher geltende Wahrscheinlichkeit).
2. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird halbiert und auf beide Ränder der Binomialverteilung aufgeteilt . Der Verwerfungsbereich besteht somit aus der Vereinignung von zwei Intervallen.


Führe in der nächsten Übung einen zweiseitigen Signifikanztest durch.

Übung 3

Journalisten für eine Zeitung wollen einen Bericht über den Klimawandel veröffentlichen. Unteranderem wollen sie auch berichten, ob der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen im Vergleich zu 2019 (71%) gesunken bzw. gestiegen ist.Sie beschließt in einer Umfrage zufällig 1000 Menschen zu befragen und das Ergebnis anschließend mit einem Signifikanztest zu beurteilen. Das Signifikanzniveau $\alpha$ legen sie auf 10% fest. Führe einen passenden Signifikanztest durch.

Vorüberlegung : Skizze zeichnen

Skizziere die Binomialverteilung für den Fall, dass immer noch 71% der Menschen in Deutschland sich durch den Klimawandel bedroht fühlen. Markiere in der Skizze den Bereich rot, indem die Journalisten mit einer großen statitischen Sicherheit zeigen können, dass der Anteil gestiegen bzw. gesunken ist.
Um welche Art von Test handelt es sich?

Da der Verwerfungsbereich an beiden Rändern der Binomialverteilung liegt, handelt es sich um einen zweiseitigen Test.

1. Schritt: Wahl der Nullhypothese $H_0$ und der Gegenhypothese $H_1$

Lies dir die Informationen zu dem zweiseitigen Test nochmal durch.

$H_0:p=0.71$ und $H_1:p\neq0.71$

2. Schritt: Festlegen des Stichprobenumfangs n und des Signifikanzniveaus $\alpha$

n=10000 und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=10%}

3. Schritt: Definition der Zufallsvaraible X und angeben der Verteilung wenn $H_0$ stimmt

X ist die Anzahl der 1000 Befragten, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen.

X ist $B_{1000,0.71}$ -verteilt

4. Schritt: Entscheidungsregel angeben

Berechne zwei kritische Werte analog zum links- und rechtsseitigen Test. Teile dafür das festgelegte Signifikanzniveau auf beide Ränder auf.

1.) $P(X\leq kr)\leq0,05$ Aus Ablesen in der Tabelle erhält man den kritischen Wert 685.
2.) $P(X\leq kr-1)\geq0,95$ Aus Ablesen in der Tabelle erhält man den kritischen Wert 734.

Somit ergibt sich folgender Annahme- und Verwerfungsbereich: Annahmebereich: {686, ..., 733}, Verwerfungsbereich: {0,..685}$\cup${734, ..., 1000}.

In der Umfrage kommt raus, dass sich 745 Menschen von den 1000 Befragten sich durch den Klimawandel bedroht fühlen. Wie können die Journalisten dieses Ergebnis interpretieren?

Da das Ergebnis im Verwerfungsbereich liegt, kann mit einer großen statistischen Sicherheit gesagt werden, dass der Anteil, der Menschen die den Klimawandel als Bedrohung sehen, im Vergleich zu 2019 gestiegen ist.

Fehlerarten beim Signifikanztest