Einführung in die Differentialrechnung

Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung

Einstiegsaufgaben

Blumenvase

In eine Vase wird gleichmäßig Wasser eingefüllt. Die Höhe des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Zeit kann mit folgender Funktion beschrieben werden: $w(t)=0,001(t+8)^3$

Mit welcher Geschwindigkeit nimmt die Wasserhöhe zum Zeitpunkt t=12 Sekunden zu?

Barringer-Krater

In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.

Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden: $k(x)=0,002x^2$ für $0<=x<=300$

Hier kommt noch ein Koordinatensystem mit der Funktion hin

Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bus zu 100% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?

Mittlere Änderungsrate

Blumenvase

In die abgebildete Vase wird gleichmäßig Wasser eingelassen. Die Tabelle stellt dar, wie sich die Wasserhöhe (gemessen vom Tischboden) in der Vase beim Einfüllvorgang im Zeitverlauf verändert.

Zeit (Sekunden)	Höhe (cm)
0	0,51
3	1,33
6	2,74
9	4,91
12	8,00
15	12,17
18	17,58

Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.

Bsp.
In den drei Sekunden zwischen Sekunde 6 und 9 steigt das Wasser um 4,91 cm - 2,74 cm = 2,17 cm. Daher nimmt das Wasser pro Sekunde um 2,17 cm : 3 s = 0,72 cm/s zu. Die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 6 und Sekunde 9 beträgt daher 0,72 cm pro Sekunde (abgekürzte Schreibweise: 0,72 cm/s)

a) In den ersten drei Sekunden steigt die Wasserhöhe um 1,33 cm - 0,51 cm = 0,82 cm. Pro Sekunde steigt es daher um 0,82 cm : 3 s = 2,73 cm/s.
b) In den drei Sekunden von Sekunde 3 auf Sekunde 6 nimmt die Wasserhöhe um 2,74 cm - 1,33 cm = 1,41 cm zu. Die mittlere Änderungsrate ist daher 1,41 cm : 3 s = 0,471 cm/s.
c) Zwischen Sekunde 15 und 18 liegen wiederum 3 Sekunden. In diesem Zeitraum steigt das Wasser um 17,58 cm - 12,17 cm = 4,17 cm. Pro Sekunde nimmt das Wasser in diesem Zeitraum daher um 4,17 cm : 3 s = 1,389 cm/s zu.
d) Bei Sekunde 3 beträgt die Wasserhöhe 1,33 cm, während sie bei Sekunde 12 genau 8 cm beträgt. In diesen 9 Sekunden ist die Wasserhöhe also um 8 cm - 1,33 cm = 6,67 cm gesteigen. Die mittlere Änderungsrate zwischen Sekunde 3 und 12 beträgt daher 6,67 cm : 9 s = 0,741 cm/s.

e) Das Wasser nimmt in den ersten 18 Sekunden um 17,58 cm - 0,51 cm = 17,07 cm zu. Die mittlere Änderungsrate beträgt in diesem Zeitintervall daher 17,07 cm : 18 s = 0,948 cm/s.

In eine Vase wird gleichmäßig Wasser eingefüllt. Die Höhe des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Zeit kann mit folgender Funktion beschrieben werden: $w(t)=0,001(t+8)^3$

Beantworte die Fragen, indem du die Schieberegler für t und t1 entsprechend einstellst:
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 14 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 13 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 12,5 Sekunden?
...

Sekantensteigung

Barringer-Krater

Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(x₀|f(x₀)) und B(x₁|f(x₁)) kann mit $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$ berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine soche Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man Sekante. $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$ ist dann die Sekantensteigung.

In der Graphik der Lösung der vorherigen Aufgabe kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.

Die beiden Schnittpunkte der Sekante nähern sich immer mehr einander an. Wenn der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, gibt es nur noch einen Schnittpunkt der Geraden mit dem Graphen der Funktion.

• Die Steigung ist (ungefähr) 3.
• Die Steigung ist (ungefähr) 2,5.
• Die Steigung ist (ungefähr) 2.

• Die Steigung ist $m=\frac{4-1}{2-1}=3$.
• Wählt man $x_1=1,5$, so ergibt sich $m=2,5$.
• Wenn man x₁ sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau.

Anstatt x₁ immer mehr x₀ anzunähern, kann man auch die Differenz $h=\Delta x=x_1-x_0$ klein werden lassen. Es ist dann $x_1=x_0+h$.

Die Sekantensteigung ist $m=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{(1+0,1^n)^2-1}{0,1^n}$.

Dies muss für verschiedene n ausgerechnet werden. (Bei der Tabellenfunktion des Taschenrechners muss statt n als Variable x gewählt werden.)

n	h	x1	Sekantensteigung m
0	1	2	3
1	0,1	1,1	2,1
2	0,01	1,01	2,01
3	0,001	1,001	2,001
4	0,0001	1,0001	2,0001
5	0,00001	1,00001	2,00001

Vorlage:Aufgaben-M

Differenzenquotient

Reflexionsaufgabe: Gemeisamkeiten herausarbeiten als Vorbereitung der Plenumsphase

Plenumsphase? Möglicher Inhalt: Verbindung zwischen durchschnittlicher Änderungsrate, Sekantenssteigung und Differenzenquotient (allgemeine Beschreibung für die beiden Konzepte) herstellen.

Differentialquotient

Der Differentialquotient f'(x₀ )

• beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x₀ und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x₀ und x₁ den Wert x₁ immer mehr dem Wert x₀ annnährt,
• beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x₀|f(x₀)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x₀|f(x₀)) und B(x₁|f(x₁)) den Punkt B(x₁|f(x₁)) immer mehr dem Punkt A(x₀|f(x₀)) annähert.

Vorlage:ProtokollierenSchreiben Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in Ihr Heft.

Andere Schreibweise:

Statt den Wert x₁ immer mehr dem Wert x₀ anzunähern, können wir auch die Differenz der beiden Werte $h=x_1-x_0$ immer kleiner werden lassen.

$f'(x_0)=lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Dies nennt man die h-Schreibweise des Differentialquotienten.

Vorlage:Untersuchen Vergleichen Sie die beiden Applets und untersuchen Sie die Veränderungen.

Vorlage:Aufgaben-M

Ableitungsfunktion

Ableitungsfunktion Applet als Link übernehmen?Passt doch eigentlich so.

Kontext plus Übung

Diagnoseinstrument