Fußballliteratur und Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Ziegen: Unterschied zwischen den Seiten

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==Weltmeisterschaft 1954==
= Das „Ziegenproblem“ =


Fußball im Kino (50er-Jahre)
:"Der Sport versöhnt die Völker. Zwanzigtausend starren auf einen Ball. Es ist höchst langweilig. Aber dann holt das Teleobjektiv der Filmkamera einzelne Gesichter aus den Zwanzigtausend heraus: erschreckende Gesichter, verkrampfte Kinnladen, hassverzehrte Münder, Mordgier im Blick. [...] War dies des Menschen Antlitz? War so erschreckend des Zeitgenossen Gesicht? Wohin war man verschlagen, und welchem Zufalle verdankte er es [...] dass nicht auch er verrührt war in diesen Brei der Zwanzigtausend (Minister saßen auf den Bänken und wurden vom Kameraauge erfasst, Minister waren volksverbunden, sie waren es oder sie taten so: hervorragende Mimiker) und mit verklemmten Kierfern den Ball verfolgte? Ihm klopfte das Herz hier nicht, sein Blut pulste nicht schneller, er empfand nicht die Wut: an die Kehle dem Schiedsrichter, schlagt den Hund, Schiebung, ein Elfmeter, kein Elfmeter, Pfiffe! [...] Sie waren vereint, sie akkumulierten, sie waren eine gefährliche Häufung von Nullen, eine explosive Mischung, zwanzigtausend erregte Herzen und zwanzigtausend hohle Köpfe. Natürlich warteten sie auf ihren Führer, auf die Nummer Eins, auf den, der sich positiv mit ihnen konfrontiert und sie erst zur gewaltigen Ziffer macht, zum Volk ..." 
::Wolfgang Koeppen: Das Treibhaus 1953, suhrkamp S. 137/8


Fußball im Radio 1954
{{Kasten Mathematik|[[File:Monty open door.svg|links]]In einer Quizshow kann sich der Kandidat zwischen drei Türen entscheiden. Hinter einem wartet ein Auto als Hauptgewinn. Hinter den beiden anderen steht als Niete jeweils eine Ziege.
:"... was ich schamhaft und heimlich gewünscht hatte, ich war zum Weltmeister geworden, und das wollte ich mir nicht nehmen lassen durch Beschwichtigungen ... ''die Spieler gebärden sich, als ob sie ein Schloss gewonnen hätten'' ... ich hatte mehr gewonnen, mir liefen Tränen, Siegerehrung, eine Greisenstimme sprach im Hintergrund gegen den Jubel, der Reporter redete darüber hinweg ... ''der stolze Triumph unserer deutschen Weltmeister ... Höhepunkt'' ... nannte noch einmal die Namen der Spieler, des Bundestrainers, ich wurde ruhiger ... ''ich kann mir vorstellen, wie Sie in der Heimat Anteil nehmen werden ... jetzt erfolgt die feierliche Übergabe des Pokals an Fritz Walter, den Kapitän der deutschen Weltmeistermannschaft'' ... Fritz zeigte den Pokal, den ich nicht sah, die Hymne wurde gespielt, ich hörte Deutschland, Deutschland, über alles mehr geschrien als gesungen, ich verstand die Worte nicht genau, weil offenbar zwei Fassungen gleichzeitig gesungen wurden, die verbotene erste und die erlaubte dritte Strophe, vor wenigen Tagen erst, vor der Feierstunde zum 17. Juni war uns beigebracht worden, Einigkeit und Recht und Freiheit zu singen und nicht Deutschland, Deutschland, über alles, deutlich verstand ich brüderlich zusammenhält und die miteinander aufsteigenden Stimmen über alles in der Welt, ein dumpfer Jubel in der Wiederholung aus befreiten Kehlen, Deutschland, Deutschland, über alles, über alles in der Welt, ehe der Gesang in wildes Johlen ausuferte, das nach Ej! oder Ja! oder Heil! klang ..."
::F.C.Delius: Der Sonntag, an dem ich Weltmeister wurde, 1994, zitiert nach Buchners Schulbibliothek der Moderne, Bamberg 2000 S.74f


Elke Heidenreich erinnert sich
Hat sich der Kandidat für eine Tür entschieden, bietet ihm der Moderator einen Deal an:
:„Am 4. Juli 1954 passierte viel.
:Gegenüber war die Gaststätte Schulte. Die Ersten betranken sich schon am frühen Morgen. Wetten wurden abgeschlossen. Ich wurde zu Schulte geschickt, um für meinen Vater und meinen Onkel Hans mehrere Flaschen Stauder-Bier zu kaufen („Ruhrrevier trinkt Stauderbier“, so die damalige Werbung). Wer Leute kannte, die einen Fernseher hatten, war glücklich dran. Wir kannten niemanden mit Fernseher. Wir hatten den Loewe-Opta-Radioapparat mit dem grünen Auge in der Küche stehen, und mein Vater und mein Onkel Hans, Mutters Bruder, saßen am Küchentisch, tranken Stauder-Bier („Kind, hol noch vier Flaschen!") und diskutierten die bisherigen Fußballweltmeister: Uruguay, Italien - alles Stümper. WIR würden es machen, und meine Mutter sagte: „Sonst noch was? IHR habt gerade genug gemacht."
:[...] Was meine Mutter an dem Tag machte, weiß ich nicht mehr. Aber mein Vater und Onkel Hans saßen vorm Radio, ich saß am Fenster, und als die „Tooor, Tooor, Tooor, ich werd verrückt!"-Rufe nicht mehr zu überhören waren, sah ich aus allen Häusern Männer strömen: Herrn Metzkowitz und Herrn Josefiak, Herrn Mürl, Herrn Wiedemeier, Herrn Stein, Herrn Stratmann und Herrn Wille - sonst waren sie untereinander total zerstritten über Fragen wie West- oder Ostfront, wer mehr gelitten hatte, ob der Jude nicht letztlich doch selbst schuld war, wie Deutschland aussähe, wenn man den Krieg gewonnen hätte, ob der Führer wohl in Argentinien lebte, sie la-gen sich jetzt in den Armen, auch mein Vater rannte nach unten, auf der Straße war Geschrei, Bierflaschen flogen, und mein Onkel Hans, ein sanfter, stiller, leicht behinderter Mensch, der der Ver-nichtungsmaschinerie der Nazis gerade eben so entkommen war, stand neben mir im Erker, sah sich das Treiben auf der Kunigundastraße an und sagte: „Jetzt denken sie wieder Gott weiß, wer sie sind."
:Und meine Mutter sagte: "Hört das denn nie auf?"
:Die ganze Nacht wurde bei Schulte gesoffen, und gegen Morgen grölten sie das Lied, in dem uns heute Deutschland gehört und morgen die ganze Welt."
::aus: Wo waren Sie, als Deutschland zum ersten Mal Fußballweltmeister wurde? Zehn Augen- und Ohrenzeugen erinnern sich [http://www.zeit.de/2003/40/Wunder_2fEinleitung_40 (c) DIE ZEIT 25.09.2003 Nr. 40]


Klaus Theweleit erinnert sich auf seine Weise:
Zuerst öffnet er eine nicht gewählte Tür, hinter der sicher eine Ziege steht.
:„Heute steht in allen Büchern, der WM-Sieg der deutschen Kicker 1954 in Bern sei so etwas wie die Auslöschung der Kriegsniederlage gewesen. . . Deutschland wieder aufgenommen in den Kreis der anständigen Völker... die Nazi-Schande gelöscht. Mag sein, dass einige vergangenheitsbewältigende Reporter- und Funktionärsköpfe die Sache gleich so aufgefasst haben, also ihre Ausschlachtbarkeit erkannten - Nutzen bringender Fußball! Sonst ist es eher eine nachträgliche Übertreibung.
:Die Kriegsgeneration, jedenfalls wie ich sie um mich herum werkeln sah, feierte diesen Sieg nicht in solcher Weise. Sie war viel zu sehr mit ihren zwei Haupttätigkeiten beschäftigt. Die erste bestand in der absoluten Nichtbefassung mit der eigenen Verstricktheit ins Hitlertum; das fraß schon mal eine große Menge der Tagesenergie. Die zweite war die Befassung mit dem, was sie euphorisch den Wiederaufbau nannten. Für groß Fußballsinn blieb da nicht viel. Sie fügten diesen Sieg dem Schatz hinzu, den sie sich sowieso schon erworben hatten. Im Fach aller Fächer, dem übergreifenden Hauptfach Fleiß, waren sie längst im Besitz der allerverdientesten Bestnoten mit der Anstecknadel des »Wir sind wieder wer«. Weltmeister in deutschem Fleiß - ein bisschen wichtiger als Fußballsiege! - und sogar vor den so siegreichen Alliierten. Erst waren sie die Fleißigsten gewesen im Europa-Zerdeppern, dann die Fleißigsten im Ausblenden von Kriegsursachen und Kriegsfolgen, jetzt häuften sie fleißig Stein auf Stein und segelten voran mit bewimpelten Pirogen ins Wirtschaftswunderfleißland ...“
::Klaus Theweleit: Tor zur Welt, Fußball als Realitätsmodell, Kiepenheuer&Witsch, Köln 2006 S.42f


Ror Wolf: Neunzehnhundertvierundfünfzig
Dann fragt er den Kandidaten, ob er die Tür wechseln will.
:[...]
}}
:Boss Rahn, im Fallen jubelnd, hat getroffen,
:mit seinem linken Fuß, das sieht man gern,
:an einem schiefergrauen Tag in Bern.
:Für Deutschland ist der ganze Himmel offen.
:Der Chef: man sieht, wie er in Bern verschmitzt
:hoch auf den Schultern seiner Männer sitzt.
::zit. nach Rainer Moritz (Hg.): Doppelpass und Abseitsfalle, Reclam 1995 S. 214


===Weblinks und Downloads===
*[http://www.stiftunglesen.de/wundervonbern/ Das Wunder von Bern], die Broschüre zum Kinostart Oktober 2003 - Unterrichtsmaterial (1,34 MB)
*[http://www.bpb.de/publikationen/59P3AK,0,0,Das_Wunder_von_Bern.html Das Wunder von Bern], Filmheft der Bundeszentrale für politische Bildung (www.bpb.de)
*[http://www.bpb.de/publikationen/DSVSJU,0,0,Was_symbolisiert_das_Wunder_von_Bern.html Was symbolisiert das "Wunder von Bern"?] Den gesellschaftspolitischen Beitrag, den der Fußball leisten kann, zeigt Norbert Seitz in seinem Essay anhand des "Wunders von Bern" auf. Es sei ein Teil des deutschen "Geschichtsgefühls" geworden. Aus Politik und Zeitgeschichte (B 26/2004)
*[http://www.zeit.de/2004/28/WundervonBern© DIE ZEIT 01.07.2004 Nr.28 „Als wir scharf und sprühend waren“] "Nach 50 Jahren glauben die Deutschen mehr denn je an das Wunder von Bern. Warum bloß?" Ein ZEIT-Beitrag von Christof Siemes


==Weltmeisterschaft 1974==
{{Aufgabe|Ist es vorteilhaft für den Kandidaten zu wechseln? Löse die Aufgabe mit einem Baumdiagramm!
* Ludwig Harig/Dieter Kühn: ''Netzer kam aus der Tiefe des Raumes. Notwendige Beiträge zur Fußballweltmeisterschaft.'' - Leider nur gebraucht erhältlich
}}


==Weltmeisterschaft 1990==


==Weltmeisterschaft 2006==
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*[http://www.goethe.de/ges/spr/prj/tor/fum/ans/deindex.htm Die Zeitschrift "ANSTOSS"]
:"Das Magazin ANSTOSS ist die Zeitschrift des Kunst- und Kulturprogramms zur FIFA WM 2006. Die Zeitschrift bietet den etwa vierzig Projekten ein Forum, die von der Nationalen DFB Kulturstiftung gefördert werden. Sie zielt dabei auf ein Publikum, das intelligent, neugierig und urban ist und sich vor allem für die Überschneidungen zwischen dem Massenphänomen Fußball und den Elitegenres Bildende Kunst, Literatur, Musik, Tanz, Film und Kunstfotografie interessiert.
:6 Ausgaben erscheinen in der Zeit von November 2004 bis August 2006."


* [http://www.dfb-kulturstiftung.de/projekte/literatur/dort-wo-der-ball-rollt.plakate-52.de.html '''Fußball+Poesie'''] - ''Dort wo der Ball rollt'' - die Plakataktion der Literaturhäuser zur WM 2006


* [http://www.fluter.de/look/article.tpl?IdLanguage=5&IdPublication=2&NrIssue=47&NrSection=40&NrArticle=4904 ''Fußball zwischen zwei Buchdeckeln''] - Eine literarische Aufstellung von Anne Haeming & Barbara Lich  (1.4.2006)
*Oder hast du das „Ziegenproblem“ noch nicht so richtig verstanden?
:"Fußball kann man nicht nur spielen und schauen. Über Fußball kann man auch eine Menge lesen. Im WM-Jahr stellt fluter.de kluge Klassiker und unterhaltsame Neuerscheinungen vor. Damit auch der Bücherschrank für die Weltmeisterschaft gerüstet ist." (www.fluter.de: Magazin der Bundeszentrale für politische Bildung)


* [http://www.literaturhaeuser.net/projekte/2005/wm_2006_autorinnen.htm ''Aus der Tiefe des Traumes''] Das Debüt von Deutschlands literarischer Damenelf
:Dann öffne folgende Seite mit einer anschaulichen Beschreibung in einem neuen Fenster. Betrachte aber noch nicht die Lösung!
:<small>"Bisher ... gab es kaum eine weibliche Stimme – höchste Zeit daher, im Jahr der Fußball-WM in Deutschland eine literaturgeschichtliche Wende anzuregen: Das Netzwerk der Literaturhäuser hat elf Autorinnen gebeten, einen Stoff zu bearbeiten, der bisher den Männern vorbehalten schien ..."</small>


==Fußball und Literatur==
:{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.mister-mueller.de/mathe/beispiele/ziege/ziegenproblem.html Ziegenproblem anschaulich erklärt]
*[http://www.goethe.de/ges/spr/prj/tor/lit/deindex.htm Fußball und Literatur] Eine umfangreiche und kommentierte Literaturliste zum Thema (www.goethe.de)


* Praxis Deutsch: Zeitschrift für den Deutschunterricht März 2006 (196): ''Fußball'' (mit CD und DVD zum Bestellen)


==Siehe auch==
* [[Fußball]]


[[Kategorie:Deutsch]][[Kategorie:Literatur]]
*Hast du dir schon überlegt, ob sich die Wahrscheinlichkeit beim Wechseln ändert und möchtest deine Hypothese überprüfen?
 
:Oder möchtest du einfach die Quiz-Show nachspielen?
 
:Dann öffne das Java-Applet und spiele das „Ziegenproblem“ nach! Die Türen öffnen sich durch anklicken. '''„Reset Doors“''' schließt die Türen wieder.
 
:Versuche dich an zwei Strategien: Behalte deine ausgewählte Tür oder wechsle die Tür jedes mal.
 
:{{Rechtsklick Fenster}}[http://www.shodor.org/interactivate/activities/AdvancedMontyHall/?version=1.6.0_13&browser=MSIE&vendor=Sun_Microsystems_Inc.&flash=10.0.22 Ziegenproblem, nur mit Schweinchen]
 
 
----
 
 
[[File:Monty-GoatRevealed.svg|right]]
'''→ Versuche dich nun selbst an der Lösung des „Ziegenproblems“!'''
 
Brauchst du ein wenig Unterstützung, so bearbeite die folgenden Aufgaben Schritt für Schritt.
 
 
{{Aufgaben-M|5.1|Bevor die Show beginnt, wird das Auto hinter eine zufällige Tür gestellt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht das Auto hinter jeder Tür? Zeichne ein Baumdiagramm!}}
 
{{Lösung versteckt|:Das Auto steht hinter jeder Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{1}{3}\ .</math>
 
 
:[[Datei:BaumZiegenproblemAuto.jpg]]}}
 
 
{{Aufgaben-M|5.2|Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählt der Kandidat sofort die Tür mit dem Hauptgewinn? Erweitere dein Baumdiagramm aus Aufgabe 5.1.}}
 
{{Lösung versteckt|:Der Kandidat wählt sofort die Tür mit dem Hauptgewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{1}{3}\ .</math>
 
 
:[[Datei:BaumZiegenproblemKandidat.jpg]]}}
 
 
{{Aufgaben-M|5.3|Der Moderator öffnet nun eine der nicht gewählten Türen, aber natürlich nicht die mit dem Auto. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht das Auto hinter der '''anderen''' Tür? Erweitere auch hier dein Baumdiagramm.}}
 
Lösungshilfe: {{versteckt|:Hier gibt es verschiedene Fälle, je nachdem, wo der Hauptgewinn steht und welche Tür der Kandidat wählt.
 
:*1. Fall: Hat der Kandidat bereits die Tür mit dem Auto gewählt, öffnet der Moderator zufällig eine der beiden anderen Türen.
 
::'''Beispiel:''' Der Kandidat hat zufällig Tür 2 mit dem Hauptgewinn gewählt. Der Moderator öffnet nun zufällig Tür 1 oder 3.
 
 
::[[Datei:ZiegenproblemBeispiel1.jpg]]
 
 
:*2. Fall Steht hinter der gewählten Tür eine Ziege, kann der Moderator nur eine Tür öffnen.
 
::'''Beispiel 2:''' Das Auto steht hinter Tür 1. Der Kandidat wählt Tür 2. Der Moderator muss Tür 3 öffnen.
 
 
::[[Datei:ZiegenproblemBeispiel2.jpg]]}}
 
 
{{Lösung versteckt|:Lese die Wahrscheinlichkeiten im Baudiagramm ab:
 
 
:[[Datei:BaumZiegenproblemModerator.jpg]]}}
 
 
{{Aufgaben-M|5.4|Löse nun das „Ziegenproblem“. Berechne dazu die Wahrscheinlichkeiten der Pfade. Kannst du jetzt die Frage beantworten, ob sich ein Wechsel lohnt oder nicht?}}
 
Lösungshinweis: {{versteckt|Betrachte die Pfade, bei denen der Kandidat sein Tor behält und jene, bei denen er wechselt.}}
 
 
{{Lösung versteckt|*Betrachten wir zuerst die Gewinnwahrscheinlichkeit „ohne Wechsel“. Der Kandidat gewinnt nur, wenn er sofort die richtige Tür wählt:
 
 
:[[Datei:ZiegenproblemohneWechsel.jpg]]
 
 
:<math>\Rightarrow \quad p(\mathrm{Gewinn\ ohne\ Wechsel})=3 \cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{3}</math>
 
 
 
*Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade, bei denen der Kandidat gewinnt, wenn er prinzipiell die Tür wechselt. So erhälst du die Gewinnwahrscheinlichkeit „mit Wechsel“:
 
 
:[[Datei:ZiegenproblemmitWechsel.jpg]]
 
 
:<math>\Rightarrow \quad p(\mathrm{Gewinn\ mit\ Wechsel})=6 \cdot \frac{1}{9}=\frac{2}{3}</math>
 
 
 
*<u>Fazit:</u> Wenn man die Türe wechselt '''verdoppelt''' sich die Gewinnwahrscheinlichkeit von &nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{3}</math>&nbsp;&nbsp;auf&nbsp;&nbsp;<math>\frac{2}{3}</math>&nbsp;&nbsp; !!!
}}
 
 
----
 
 
'''Für Interessierte:'''
 
Interessiert dich das Ziegenproblem genauer, oder leuchtet dir die Lösung noch nicht ein?
 
*Öffne noch einmal das Ziegenproblem mit den Schweinchen. Du kannst die Anzahl der Türen erhöhen: Schiebe den Regler '''„Number of doors“''' weiter nach rechts. Hast du eine Tür gewählt, öffnet der Moderator alle anderen Türen, bis auf die mit dem Hauptgewinn.
 
:Würdest du '''jetzt''' wecheln???
 
:{{Rechtsklick Fenster}}[http://www.shodor.org/interactivate/activities/AdvancedMontyHall/?version=1.6.0_13&browser=MSIE&vendor=Sun_Microsystems_Inc.&flash=10.0.22 Ziegenproblem, nur mit Schweinchen]
 
 
 
*Du kannst jetzt auch unter dieser Seite die Erklärungen lesen.
 
{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.mister-mueller.de/mathe/beispiele/ziege/ziegenproblem.html Ziegenproblem anschaulich erklärt]
 
 
 
*Unter dem Wikipedia-Link kannst du dich noch genauer über die Hintergründe des Ziegenproblems informieren:
{{Rechtsklick Fenster}}{{wpde|Ziegenproblem|Das Ziegenproblem}}
 
 
----
 
 
Du hast den Lernpfad nun erfolgreich bewältigt. <colorize>Vielen Dank</colorize> fürs Mitmachen!
 
 
[[Mathematik-digital/Zufallsexperimente_Bogner|→ zurück zur Übersicht!]]

Version vom 7. September 2009, 17:20 Uhr

Das „Ziegenproblem“

Vorlage:Kasten Mathematik


Aufgabe

Ist es vorteilhaft für den Kandidaten zu wechseln? Löse die Aufgabe mit einem Baumdiagramm!



  • Oder hast du das „Ziegenproblem“ noch nicht so richtig verstanden?
Dann öffne folgende Seite mit einer anschaulichen Beschreibung in einem neuen Fenster. Betrachte aber noch nicht die Lösung!
Vorlage:Rechtsklick Fenster Ziegenproblem anschaulich erklärt


  • Hast du dir schon überlegt, ob sich die Wahrscheinlichkeit beim Wechseln ändert und möchtest deine Hypothese überprüfen?
Oder möchtest du einfach die Quiz-Show nachspielen?
Dann öffne das Java-Applet und spiele das „Ziegenproblem“ nach! Die Türen öffnen sich durch anklicken. „Reset Doors“ schließt die Türen wieder.
Versuche dich an zwei Strategien: Behalte deine ausgewählte Tür oder wechsle die Tür jedes mal.
Vorlage:Rechtsklick FensterZiegenproblem, nur mit Schweinchen



Monty-GoatRevealed.svg

→ Versuche dich nun selbst an der Lösung des „Ziegenproblems“!

Brauchst du ein wenig Unterstützung, so bearbeite die folgenden Aufgaben Schritt für Schritt.


Vorlage:Aufgaben-M

Das Auto steht hinter jeder Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von


BaumZiegenproblemAuto.jpg


Vorlage:Aufgaben-M

Der Kandidat wählt sofort die Tür mit dem Hauptgewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von


BaumZiegenproblemKandidat.jpg


Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshilfe: Vorlage:Versteckt


Lese die Wahrscheinlichkeiten im Baudiagramm ab:


BaumZiegenproblemModerator.jpg


Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshinweis: Vorlage:Versteckt


  • Betrachten wir zuerst die Gewinnwahrscheinlichkeit „ohne Wechsel“. Der Kandidat gewinnt nur, wenn er sofort die richtige Tür wählt:


ZiegenproblemohneWechsel.jpg



  • Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade, bei denen der Kandidat gewinnt, wenn er prinzipiell die Tür wechselt. So erhälst du die Gewinnwahrscheinlichkeit „mit Wechsel“:


ZiegenproblemmitWechsel.jpg



  • Fazit: Wenn man die Türe wechselt verdoppelt sich die Gewinnwahrscheinlichkeit von     auf     !!!



Für Interessierte:

Interessiert dich das Ziegenproblem genauer, oder leuchtet dir die Lösung noch nicht ein?

  • Öffne noch einmal das Ziegenproblem mit den Schweinchen. Du kannst die Anzahl der Türen erhöhen: Schiebe den Regler „Number of doors“ weiter nach rechts. Hast du eine Tür gewählt, öffnet der Moderator alle anderen Türen, bis auf die mit dem Hauptgewinn.
Würdest du jetzt wecheln???
Vorlage:Rechtsklick FensterZiegenproblem, nur mit Schweinchen


  • Du kannst jetzt auch unter dieser Seite die Erklärungen lesen.

Vorlage:Rechtsklick Fenster Ziegenproblem anschaulich erklärt


  • Unter dem Wikipedia-Link kannst du dich noch genauer über die Hintergründe des Ziegenproblems informieren:

Vorlage:Rechtsklick FensterDas ZiegenproblemWikipedia-logo.png



Du hast den Lernpfad nun erfolgreich bewältigt. Vielen Dank fürs Mitmachen!


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