Textaufgaben/Verteilungsaufgaben und Chaos und Fraktale: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Lernpfad|Dieses Themengebiet wurde für den '''Mathe-Tag''' an der '''Universität Würzburg''' ausgearbeitet.  Die Sieger der Fümo-Mathematik-Olympiade durften einen Tag an der Uni verbringen um gemeinsam  mit Professoren und Lehrern unterhaltsame und interessante Themen der Mathematik zu entdecken. Drei Kurse wurden in einem Stationenbetrieb durchlaufen (jeweils 1 Stunde). Kurs 1 war ein Lernpfad im Computerraum. Die Themenstellungen in Kurs 2 und Kurs 3 wurden mit Schüler anhand von Arbeitsblättern erarbeitet.
;Hinweis
Es empfiehlt sich die Links in einem neuem Fenster öffnen. Halte dazu die Shift-Taste gedrückt, wenn du auf den Link klickst.}}
{{Babel-1|M-digital}}
== Kurs 1: Chaotische Bäume interaktiv ==
Informiere dich [http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/ hier] über die Begriffe Chaos und Fraktale.


[[Datei:Elephant drawing.jpg|rechts|200px]]
Fraktale sind also geometrische Formen, deren Struktur sich immer wieder - allerdings verkleinert - wiederholt. Vergrößert man umgekehrt Teile der Figur, so stößt man stets auf die gleiche Grundstruktur und dieses Vergrößern kann beliebig oft geschehen.
Im letzten Kapitel werden noch Beispiele aus den Verteilungsaufgaben behandelt.


Auch diese Art von Aufgaben war bei unseren Vorfahren sehr beliebt. Verteilungsaufgaben dienen dazu alle möglichen Dinge oder auch Personen zu ganz bestimmten Bedingungen aufzuteilen.
'''Beispiele:'''
* Zoomfahrt in eine Mandelbrot-Menge als [http://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom1024x768.avi Avi-Video] oder als [http://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge#Bildergalerie_einer_Zoomfahrt Bildergalerie]
* Der [http://de.wikipedia.org/wiki/Romanesco Romanesco-Kohlkopf] ist hoch-fraktal.


Solche Aufteilungen können Erbschaften, Gewinne oder auch materielle Güter (Autos, Gummibärchen usw.) betreffen.


=== Pythagoras-Baum mit 60°-Winkel ===
Öffne das folgenes [http://mathematica.ludibunda.ch/Fractale-de2.html  Applet] in einem neuen Fenster und beantworte die folgenden Arbeitsaufträge:
* Durch mehrmaliges Klicken auf "Draw" entsteht eine Figur. Beschreibe diese Figur. Wie sieht sie aus?
* Lösche die Figur mit der Reset-Taste. Lasse nun nur die erste Stufe anzeigen. Aus welchen geometrischen Formen ist sie aufgebaut? Beschreibe diese möglichst genau! Wo ist der 60°-Winkel zu finden?
* Lasse die Figur jetzt Stufe für Stufe zeichnen und beschreibe jeweils, wie jede weitere Stufe aus der vorhergehenden entsteht.
*Woher kommt der Name [[Mathematik-digital/Pythagorasbaum|Pythagorasbaum]]?


== Einführung ==
=== Pythagoras-Baum und verschiedene Winkel===
Verändere nun in dem [http://mathematica.ludibunda.ch/Fractale-de2.html  Applet] auch den Winkel:
*Untersuche die Bäume für 10° und 80°. Welcher Zusammenhang besteht?
*Bei welchem Winkel wird der Baum achsensymmetrisch?
*Wie verändert sich das Aussehen der Bäume bei Winkeln zwischen 1° und 45°?
===Spielen im pythagoräischen Garten ===
Durch ziehen am roten Punkt dieses [http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pytree/pytree.html Applets] kannst du den Pythagorasbaum verändern. Findest du den Broccoli?


[[Datei:KatharinaP_Kapitel5_Anschauungsbsp.png]]
=== Farne ===
[[Datei:KatharinaP_Kapitel5_Anschauungsbsp2.png]]
[[bild:Farn.jpg|Farn|left]]
Es gibt auch Fraktale, die Ähnlichkeit mit einem Farn haben.<br>
Eine Möglichkeit diese Pflanzen nachzubilden zeigt folgendes [http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/fgalerie/fraktale/fraktaler_baum.html Applet].<br>
Die Ausgangsfigur besteht hier jeweils aus Strecken. <br>
Versuche durch Ziehen an den Endpunkten das folgende Bild zu erzeugen.
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=== Weitere Informationen ===
*[http://www.connect-ed.de/~ernstgro/fraktale/PythagorasbaumApplet.html Bunter Baum]
*[http://www.fh-friedberg.de/users/boergens/marken/04_01/pythagorasfraktal.htm Phythagoras-Baum FH Friedeberg]
*[http://www.connect-ed.de/~ernstgro/fraktale/DrachenApplet.html Applet bis Stufe 12]
*[http://www.pk-applets.de/fra/folgen/folge3.html Weitere Farne]
*[http://www.jjam.de/Java/Applets/Fraktale/Pythagoras_Baum.html Applet]
*[http://www.mathe-knapp.de/Applet-Galerie/Bunter%20Pythagorasbaum.html Applet 90°, 3 variable Punkte]
*[http://md-martin.de/schule/informatik/Applets/Applets/Igel/PythagorasBaum.html Applet, Länge, Winkel variabel]
Anwendungen<br>
*[http://www.quarks.de/dyn/3955.phtml Chaos und Verkehr]
*[http://www.quarks.de/dyn/3882.phtml Chaos und Wetter]
*[http://www.quarks.de/dyn/3894.phtml Lebendiges Chaos]
*[http://www.quarks.de/dyn/3903.phtml Ordnung im Chaos (Küstenlinien, Börsenkurse, Apfelmännchen)]
*[http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/pages/node5.htm Operationen am Farnblatt]


Schreibe nun den Merktext in dein Übungsheft!
== Kurs 2: Drachenfalten einmal anders ==
'''Arbeitsblätter mit Lösungen'''
*{{pdf|Drachenfalten_Mathetag.pdf|Arbeitsblätter zu Kurs 2}}
*{{pdf|Drachenfalten_Lösung.pdf|Lösung}}
'''Weitere Links'''
*[http://www.oberleitner.de/martin/chaos/entw/entw.htm Animation bis Stufe 4]
*[http://www.oberleitner.de/martin/chaos/stuf/dr01.htm Farbiges Applet bis Stufe 14]
*[http://did.mat.uni-bayreuth.de/~alfred/Dragon/d1.html Applet]
*[http://www.cevis.uni-bremen.de/education/PapDra15.gif Stufen 1 - 5]
*[http://www.cevis.uni-bremen.de/education/PapDra67.gif Stufe 6 und 7]


{{Box|Merke|
== Kurs 3: Dreimal Sierpinski ==
Schritt für Schritt
'''Arbeitsblätter mit Lösungen'''
# Lies den Aufgabentext aufmerksam durch.
*{{pdf|Sierpinski_Mathetag.pdf|Arbeitsblätter zu Kurs 3}}
# Unterstreiche, wenn nötig, wichtige Informationen.
*{{pdf|Sierpinski_Lösung.pdf|Lösung}}
# Entnimm dem Text die Beziehungen und trage sie in eine Tabelle ein.
'''Weitere Links'''
# Stelle die zur Aufgabe gehörige Gleichung auf.
*[http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/fgalerie/fraktale/sierpinski_dreieck.html Sierpinski Dreieck, Eckpunkte variierbar, bis Stufe 6]
# Löse die Gleichung und ermittle die restlichen Anteile.
*[http://www.jjam.de/Java/Applets/Fraktale/Sierpinski_Dreieck.html Sierpinski Dreieck Stufen unbegrenzt]
# Mache die Probe und schreibe eine Antwort.|Merksatz}}
*[http://matheuropa.lfs-koeln.de/pascal/muster.htm Pascalsches Dreieck]
*[http://www.virtuelle-schule-de.bnv-bamberg.de/vmu1/mathevs/sierpinski.htm noch mehr Sierpinski]
*[http://www.virtuelle-schule-de.bnv-bamberg.de/vmu1/mathevs/pascal.htm Pascal und Sierpinski]


 
{{Mitgewirkt|
== Aufgaben ==
*[[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]] 22:24, 25. Feb 2007 (CET)}}
 
=== Anfänger===
 
 
{{Box|1=Übung|2=Löse die folgenden Textaufgaben in deinem Übungsheft.
 
Die folgenden Aufgaben können auch mehrere richtige Antworten enthalten!
 
<div class="multiplechoice-quiz">
Peter und Susanne kaufen gemeinsam einen Fernseher um 249€. Peter bezahlt eineinhalbmal so viel wie Susanne. Wie viel Euro hat jeder der beiden bezahlt? (!99,90€) (99,60€) (!149,10€) (!99€) (149,40€) (!150€)
</div><br />
<div class="multiplechoice-quiz">
48 Glasmurmeln sind auf 4 Kinder so zu verteilen, dass jedes Kind um 4 mehr als das vorhergehende erhält. Wie viele Murmeln bekommt jedes Kind? (!12) (14) (10) (!16) (!10) (18) (6)
</div><br />
<div class="multiplechoice-quiz">
Manuela kauft eine Hose, einen Pullover und einen Gürtel und bezahlt 130€. Der Pullover ist viermal so teuer wie der Gürtel und die Hose ist doppelt so teuer wie der Pullover. Wie viel kosten die drei gekauften Teile? (!30) (10) (!50) (40) (80) (!90) (!20)
</div>
&nbsp;<br />&nbsp;
|3=Üben}}
 
{{Box|1=Aufgabe|2=Wie viele Wollknäuel von jeder Farbe sind in dem Korb?
 
In einem Korb befinden sich 36 verschiedenfarbige Wollknäuel. Es sind halb so viele rote wie blaue Wollknäuel, 6 gelbe Wollknäuel mehr als blaue und doppelt so viele grüne Wollknäuel wie gelbe. 
 
{{Lösung versteckt|Im Korb befinden sich 4 blaue, 2 rote, 10 gelbe und 20 grüne Wollknäuel.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
=== Fortgeschrittene===
 
 
 
{{Box|1=Aufgabe|2=Löse die folgenden Textaufgaben in deinem Übungsheft.
 
* Opa Willi vererbt seinen Töchtern ein Vermögen von 15 000€. Laut Testament bekommt Tochter B halb so viel wie Tochter A und Tochter C um 2000€ mehr als Tochter B. Wie viel erhält jede Tochter?<br />
''Lösung:''
 
<div class="lueckentext-quiz">Tochter A bekommt '''6500 ()''' €, Tocher B '''3250 ()''' € und Tochter C erhält '''5250 ()''' €. </div>&nbsp;<br />
 
 
* Sportwoche! Natürlich wollen alle schon vorher wissen, welche Zimmer es gibt um eine Zimmereinteilung zu machen. Der Besitzer der Herberge gibt an, dass er Drei- und Fünfbettzimmer hat, insgesamt 12 Zimmer mit 46 Betten. Kannst du der Klasse helfen die Kinder richtig aufzuteilen?<br />
''Lösung:''<br /><div class="lueckentext-quiz">Es gibt '''7 ()''' Dreibettzimmer und '''5 ()''' Fünfbettzimmer. </div>&nbsp;<br />
 
 
* Mario, Patrick und Michael besitzen zusammen 100€. Mario hat 1,5 mal so viel wie Patrick, während Michaels Besitz um 5€ mehr als 2/3 des Betrages ausmacht, den Patrick besitzt. Berechne, wie viel jeder besitzt!<br />
''Lösung:''<br /><div class="lueckentext-quiz">Mario besitzt '''45 ()''' €, Patrick gehören '''30 ()''' € und Michael die restlichen '''25 ()''' €. </div>&nbsp;<br />
 
* In der Klasse 3b gibt es 25 Schüler und Schülerinnen. In der letzten Matheschularbeit haben doppelt so viele Schüler und Schülerinnen eine 1 geschrieben wie eine 5. Weiters gab es doppelt so viele Dreien wie Einsen und dreimal so viele Zweien wie Fünfen. Außerdem gab es eine 4 weniger als Zweien.
Wie viele Schüler und Schülerinnen haben welche Note geschrieben?<br />
''Lösung:''<br /><div class="lueckentext-quiz">Es gibt '''4 ()''' Einsen, '''6 ()''' Zweien, '''8()''' Dreien, '''5()''' Vieren und '''2()''' Fünfen. </div>&nbsp;<br />&nbsp;
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
=== Experten ===
 
{{Box|1=Aufgabe|2=Wie viele km legte Herr Schumacher in Summe zurück?
 
Herr Schumacher fährt am ersten Tag den 5. Teil seines ganzen Weges und noch 300 km,<br />
am 2. Tag fährt er den 4. Teil des ganzen Weges und noch 250 km, <br />
doch an beiden Tagen fährt er gleich viele Kilometer. 
 
{{Lösung versteckt|Er fuhr 1000 Kilometer.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe|2=Noch etwas Tierisches zum Schluss
 
Auf einem Bauernhof tummeln sich Hühner und Schafe. Zusammen haben sie 22 Köpfe und 60 Füße. Wie viele Hühner und Schafe sind es?
 
{{Lösung versteckt|Peter hat eine interessante Lösungsmöglichkeit gefunden. Er überlegt so: <br />Wenn es gleich viele, also 11 Hühner und 11 Schafe gibt, dann sind das 22+44=66 Füße,<br />
also um 6 Füße mehr als die 60 angegebenen. daher müssen es weniger als 11 Schafe sein!<br />
Nimmt man ein Schaf weniger, dafür ein Huhn mehr, so verkleinert sich die Zahl der Füße um 2.<br /> Wir brauchen aber eine Verringerung um 6. Überlege weiter!
|Tipp einblenden|Tipp ausblenden}}
 
{{Lösung versteckt|Auf dem Bauernhof leben 14 Hühner und 8 Schafe.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
 
Im Wartezimmer eines Tierarztes befinden sich insgesamt 13 Tiere (Katzen, Hunde, Papageien und Hamster) und ihre 13 Besitzer. Zusammen haben die Tiere 50 Beine. Wie viele Papageien sind im Wartezimmer?
 
{{Lösung versteckt|Im Wartezimmer ist 1 Papagei.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
 
{{Weiter|../Kapitelübersicht|Kapitelübersicht}}
 
{{Weiter|../Wissenstest|Wissenstest}}
 
 
----
 
{{Lernpfad Textaufgaben}}
 
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Textaufgaben]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]

Version vom 25. Februar 2007, 21:24 Uhr

Lernpfad
Chaos und Fraktale
Dieses Themengebiet wurde für den Mathe-Tag an der Universität Würzburg ausgearbeitet. Die Sieger der Fümo-Mathematik-Olympiade durften einen Tag an der Uni verbringen um gemeinsam mit Professoren und Lehrern unterhaltsame und interessante Themen der Mathematik zu entdecken. Drei Kurse wurden in einem Stationenbetrieb durchlaufen (jeweils 1 Stunde). Kurs 1 war ein Lernpfad im Computerraum. Die Themenstellungen in Kurs 2 und Kurs 3 wurden mit Schüler anhand von Arbeitsblättern erarbeitet.
Hinweis
Es empfiehlt sich die Links in einem neuem Fenster öffnen. Halte dazu die Shift-Taste gedrückt, wenn du auf den Link klickst.


Vorlage:Babel-1

Kurs 1: Chaotische Bäume interaktiv

Informiere dich hier über die Begriffe Chaos und Fraktale.

Fraktale sind also geometrische Formen, deren Struktur sich immer wieder - allerdings verkleinert - wiederholt. Vergrößert man umgekehrt Teile der Figur, so stößt man stets auf die gleiche Grundstruktur und dieses Vergrößern kann beliebig oft geschehen.

Beispiele:


Pythagoras-Baum mit 60°-Winkel

Öffne das folgenes Applet in einem neuen Fenster und beantworte die folgenden Arbeitsaufträge:

  • Durch mehrmaliges Klicken auf "Draw" entsteht eine Figur. Beschreibe diese Figur. Wie sieht sie aus?
  • Lösche die Figur mit der Reset-Taste. Lasse nun nur die erste Stufe anzeigen. Aus welchen geometrischen Formen ist sie aufgebaut? Beschreibe diese möglichst genau! Wo ist der 60°-Winkel zu finden?
  • Lasse die Figur jetzt Stufe für Stufe zeichnen und beschreibe jeweils, wie jede weitere Stufe aus der vorhergehenden entsteht.
  • Woher kommt der Name Pythagorasbaum?

Pythagoras-Baum und verschiedene Winkel

Verändere nun in dem Applet auch den Winkel:

  • Untersuche die Bäume für 10° und 80°. Welcher Zusammenhang besteht?
  • Bei welchem Winkel wird der Baum achsensymmetrisch?
  • Wie verändert sich das Aussehen der Bäume bei Winkeln zwischen 1° und 45°?

Spielen im pythagoräischen Garten

Durch ziehen am roten Punkt dieses Applets kannst du den Pythagorasbaum verändern. Findest du den Broccoli?

Farne

Farn

Es gibt auch Fraktale, die Ähnlichkeit mit einem Farn haben.
Eine Möglichkeit diese Pflanzen nachzubilden zeigt folgendes Applet.
Die Ausgangsfigur besteht hier jeweils aus Strecken.
Versuche durch Ziehen an den Endpunkten das folgende Bild zu erzeugen.

















Weitere Informationen

Anwendungen

Kurs 2: Drachenfalten einmal anders

Arbeitsblätter mit Lösungen

Weitere Links

Kurs 3: Dreimal Sierpinski

Arbeitsblätter mit Lösungen

Weitere Links

Vorlage:Mitgewirkt

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