Lineare Funktionen/Station 3 und Zylinder Pyramide Kegel/Rund um den Kegel: Unterschied zwischen den Seiten

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< Lineare Funktionen(Unterschied zwischen Seiten)
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{{Navigation verstecken
 
|{{Lernpfad Inhalt}}
|Lernschritte einblenden
|Lernschritte ausblenden
}}
__NOTOC__
__NOTOC__
==Der Kegel - Eine kleine Einführung==
<br>
In der vorherigen Lerneinheit hast du die Pyramide mit einem beliebigen Vieleck als Grundfläche kennengelernt.<br>
Ersetzt man nun das Vieleck der Grundfläche durch einen Kreis, so erhält man einen verwandten '''Spitzkörper:den Kegel'''! <br>
<br><br>
[[Datei:Eistüte_umgedreht.jpg|120px]] <span style="color:lightgrey">. . . .</span>[[Datei:Kegel_Pylon.jpg|180px]]<span style="color:lightgrey">. . . .</span> [[Datei:DSC04737 Istanbul - La Moschea Blu - Minareti - Foto G. Dall'Orto 29-5-2006.jpg|180px]]<span style="color:lightgrey">. . . .</span> [[Datei:Turmspitze.jpg|240px]]<br>


== Station 3: Beschreibung allgemeiner Geraden ==


[[Datei:Direction-1019747 1920.jpg|200px|rechts|Gerade]]
Ob Eistüte, Pylonen oder Turmspitzen, man findet sehr häufig kegelförmige Objekte in unserer Lebenswelt.
In Station 2 hast du gelernt, wie man die Steigung von Geraden im Koordinatensystem bestimmen kann. <br />
<br><br><br><br>


Allerdings haben wir bislang immer nur solche Geraden betrachtet, die Graph einer proportionalen Funktion waren, also Geraden, die durch den Ursprung verlaufen.
==Eigenschaften des Kegels==
<br>
{{Box|Aufgabe 1|2=
'''Fülle den Lückentext aus!'''
<br>
<div class="lueckentext-quiz">
Ein '''Kegel''' ist ein Körper, dessen '''Grundfläche''' ein '''Kreis''' (Grundkreis) ist. <br>
Die '''Mantelfläche''' des Kegels ist gewölbt. Der Abstand der Spitze S zur Grundfläche ist die '''Höhe''' des Kegels. Eine Verbindungsstrecke vom Kreisrand zur Kegelspitze heißt '''Mantellinie''' und wird mit "s" beschriftet. <br>
Ebenso wie bei der Pyramide unterscheidet man auch hier zwischen '''geraden''' (senkrechten) und '''schiefen''' Kegeln. Schaue dir dazu das folgende Geogebra-Applet an. <br>
Für uns sind allerdings nur gerade Kegel von Bedeutung.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}


'''In dieser Station lernst du, wie man beliebige Geraden durch eine Funktionsgleichung beschreiben kann, also auch solche, die keine Ursprungsgeraden sind.'''
<br>
'''Ziehe an der Kegelspitze S und beobachte, was passiert.'''  


== Sind solche Geraden überhaupt relevant? ==
<center><ggb_applet id="FFpfAu6U" width="416" height="347" border="888888" /></center>
Starte die App und '''überlege genau''', bevor du die Fragen beantwortest.


<center>{{LearningApp|app=pdz69nvsn01|width=900px|height=700px}}</center>


==Mantelfläche und Mantelflächeninhalt==


{{Box|1=Aufgabe 2|2=
'''Die Mantelfläche des Kegels'''


==Ursprungsgeraden reichen nicht!==
a) Stelle dir vor, du schneidest einen senkrechten Kegel entlang einer Mantellinie auf und breitest den Mantel eben aus. Beschreibe die geometrische Figur, die du für die Mantelfläche erhälst.
'''Ziehe die Begriffe unten in die richtige Lücke.'''


<div class="lueckentext-quiz">  
<span style="color:green">Beispiel:</span> <br> Die Mantelfläche des Zylinders ist ein Rechteck. Die Breite des Rechtecks ist gleich der Höhe des Zylinders, die Länge des Rechtecks ist gleich dem Umfang des Zylinders.
Bis jetzt haben wir immer nur Funktionen '''proportionaler''' Zusammenhänge der Form <math>f(x)=m\cdot x</math> betrachtet. Die Graphen zu diesen Funktionen waren immer Geraden, die durch den '''Ursprung''' verlaufen.
{{Lösung versteckt|1=
<div class="schuettel-quiz">
Die Mantelfläche des Kegels ist ein '''Kreisausschnitt''' (Kreissektor). Der '''Radius''' des Kreisausschnittes ist die '''Länge''' der '''Mantellinie''' s. Die '''Bogenlänge''' b ist der '''Umfang''' des Kegels.
</div>
}}<br>
b) Zeichne die Mantelfläche eines Kegels und beschrifte sie entsprechend. <br>
[[Datei:Kegel_Mantelfläche.jpg|400px]]
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Kegel_Mantelfläche2.jpg|690px]]
}}
|3=Arbeitsmethode}}
<br><br>
{{Box|1=Aufgabe 3|2=
'''Der Mantelflächeninhalt des Kegels''' <br>
Der Mantelflächeninhalt des Kegels berechnet sich über folgende Formel:<br>
<math>M_{K}=\frac {1} {2} b\cdot s=\pi \cdot r\cdot s</math> <br><br>
'''Versuche diese Formel herzuleiten!''' <br>
Gehe dazu schrittweise vor und zeige zuerst, dass <math>M_{K}=\frac {1} {2} b\cdot s</math> ist. Nutze auch die beschriftete Zeichnung der Mantelfläche als Hilfestellung!
{{Lösung versteckt|1=
Der Mantelflächeninhalt des Kegels entspricht dem Flächeninhalt des Kreisausschnittes mit Radius s und Bogenlänge b. <br>
*<span style="color:red">b ist die Bogenlänge des Kreisaussektors mit Radius s und gleichzeitig der Umfang des Kegels mit Radius r!</span>
|2=Hinweis anzeigen|3=Hinweis ausblenden}}
Hier findest du verschiedene Tipps, wie du vorgehen kannst (wenn du nicht weiter kommst).
{{Lösung versteckt|1=
* Stelle zunächst eine Formel für die Bogenlänge b (bzw. den "Umfang" des Kreisausschnittes) und für den Flächeninhalt des Kreisausschnittes (also den Mantelflächeninhalt des Kegels) auf.<br>
* Stelle nun einen Zusammenhang zwischen Bogenlänge und Flächeninhalt des Kreisausschnittes her!
|2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1= '''Zusammenhang zwischen Bogenlänge und Flächeninhalt des Kreisausschnittes:'''<br>
Stelle die Formel für die Bogenlänge b nach <math>\pi </math> um und setze dies in die Formel für den Mantelflächeninhalt des Kegels ein! Nun kannst du noch kürzen und du erhälst die Formel <math>M_{K}=\frac {1} {2} b\cdot s</math>.
|2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=
Die Bogenlänge b ist gleich dem Umfang des Kegels mit Radius r! Somit kannst du für b oben die Formel für den Kegelumfang einsetzen, kürzen und du erhälst die Formel <br>
<math>M_{K}=\frac {1} {2} b\cdot s=\pi \cdot r\cdot s</math>
|2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
|3=Arbeitsmethode}}


Wie du eben gesehen hast, gibt jedoch Situationen, die mit solchen Funktionen und Geraden '''nicht mehr beschrieben''' werden können.
{{Box|1=Aufgabe 4|2=
'''Der Mittelpunktswinkel <math>\alpha </math> des Kreissektors (bzw. der Mantelfläche)''' <br>


Dies ist vor allem dann der Fall, wenn beim x-Wert 0 der zugehörige y-Wert '''nicht gleich 0''' ist. In unserem Fall bedeutete das, dass zum Zeitpunkt t=0 die zugehörige Wassermenge nicht 0m<sup>3</sup>, sondern zum Beispiel 400m<sup>3</sup> war.  
Stelle eine Gleichung zur Berechnung des Mittelpunktwinkels <math>\alpha </math> auf!
{{Lösung versteckt|1= Dazu muss man eine Verhältnisgleichung aufstellen!
|2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1= Der Winkel <math>\alpha </math> des Kreisausschnitts verhält sich zum Winkel des vollen Kreises wie ...
|2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1= ... die Bogenlänge des Kreisausschnittes (=Umfang des Kegels mit Radius r) zum Umfang des vollen Kreises mit Radius s!
|2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
|3=Arbeitsmethode}}


Trotzdem stellt der Graph noch eine '''Gerade''' dar, da die Wassermenge immer noch '''gleichmäßig''' zu- oder abnimmt.Diese ist jedoch im Vergleich zur '''Ursprungsgeraden''' nach oben oder unten verschoben.
'''Anmerkung:'''<br><br>
Über den Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel <math>\alpha </math>, dem Vollkreiswinkel und den beiden zu betrachtenden Radien r und s kann man ebenfalls die Formel für den Mantelflächeninhalt aufstellen:<br>
<math>M_{K}=\pi s^{2}\cdot \frac {\alpha } {360^{o}}=\pi s^{2}\cdot \frac {r} {s} =\pi \cdot r\cdot s</math><br>
Die oben aufgestellte Verhältnisgleichung wird einfach in die bereits bekannte Flächeninhaltsformel des Kreissektors eingesetzt!


Wie aber sieht eine Funktionsgleichung aus, die eine "allgemeine" Gerade richtig beschreiben kann?
</div>


==Oberfläche und Oberflächeninhalt==


== Lineare Funktion - Funktionsterm ==
{{Box|1=Aufgaben 5|2=
[[Datei:Search-1013910 1920.jpg|160px|Untersuchen|right]]
Notiere auf deinem Laufzettel, wie sich die Oberfläche eines Kegels zusammensetzt und stelle eine Formel für den Oberflächeninhalt auf. <br><br>
Wir wissen bereits, wie der Funktionsterm von Funktionen aussieht, deren Graphe eine Ursprungsgerade ist:
{{Lösung versteckt|1=
 
Die Oberfläche eines Kegels setzt sich aus einem Kreis mit Radius r (Grundfläche) und einem Kreisausschnitt mit Radius s und Bogenlänge b zusammen. <br>
<math>f(x) =m\cdot x.</math>
<math>O_{K}=G+M=\pi r^{2}+\pi r\cdot s</math>
 
}}
Jetzt stellt sich aber die Frage, wie denn dann ein Funktionsterm aussehen muss, der jeder beliebige Gerade beschreiben kann?
|3=Arbeitsmethode}}
 
Um dies herauszufinden, folge bitte den Anleitungen in der nächsten App. Viel Erfolg!
 
<ggb_applet id="BwMMnRCQ" width="100%" height="450" border="888888" />
 
 
[[File:Feuerwerks-gif.gif|230px|right|Feuerwerks-gif]]
'''Ergebnis:'''
 
Jede beliebige Gerade im Koordinatensystem kann durch die Funktionsgleichung <math>f(x)=m\cdot x+t</math> beschrieben werden.
 
 
Alle diese Funktionen, deren Graph eine Gerade ist und deren Funktionsgleichung die Form <math>f(x)=m\cdot x+t</math> hat, heißen '''lineare Funktionen'''.
 
 
{{Box|1=Merke|2=  
Jede Funktion, die durch die Funktiongleichung  <math>f(x)=m\cdot x+t</math> beschrieben wird, heißt '''lineare Funktion'''.
Der Graph einer linearen Funktion ist immer (irgend) eine '''Gerade'''. <br/>
 
<center>[[Datei:Merksatz lin Funktion.png|600px|Geradengleichung]]</center>
 
*Man nennt t den '''y-Achsenabschnitt''' der Geraden.
*m bezeichnet die '''Steigung der Geraden.'''<br>
*Verläuft der Graph durch die Punkte P(x<sub>P</sub>/y<sub>P</sub>) und Q(x<sub>Q</sub>/y<sub>Q</sub>), so gilt für die Geradensteigung: <math>m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-y_Q}</math>.
 
'''Beispiel'''
Bei obiger Gerade gilt:
* y-Achsenabschnitt: <math>t = 3</math>
* Steigung: <math>m = \frac{6-4,5}{6-3}=\frac{1,5}{3}=0,5</math>
Damit lautet die Funktionsgleichung: '''<math>f(x)=0,5x+3</math>'''
|3=Merksatz}}
 


== Übungen zum Verständnis ==


{{Box|10. Ordne zu|
==Volumen des Kegels==
Starte die App und entscheide, welche der dargestellten Graphen zu einer linearen Funktion gehören!
|Üben}}
 
<center>{{LearningApp|app=pbuumpt6101|width=800px|height=500px}}</center>
 
 
{{Box|Aufgabe 6|Schreibe in den Schulheft hinter jede Aussage, ob sie richtig oder falsch ist. '''Begründe''' deine Entscheidung.
*"Jede lineare Funktion ist eine proportionale Funktion."
*"Jeder proportionale Funktion ist eine lineare Funktion."|Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|
Aussage 1 ist falsch.
 
<u>Grund: </u>Der Graph einer linearen Funktion kann '''irgendeine''' Gerade sein, die nicht durch den Ursprung verlaufen muss. Wenn der Graph aber nicht durch den Ursprung verläuft, kann er nicht zu einer proportionalen Funktion gehören.
Aussage 2 ist richtig.
 
<u>Grund: </u>Der Graph jeder proportionalen Funktion ist eine Ursprungsgerade. Da eine Ursprungsgerade natürlich auch eine Gerade ist, ist die Funktion, zu der der Graph gehört auch eine lineare Funktion.<br>
<br>
<br>
Text zum Verstecken}}
{{Box|1=Aufgabe 6|2=
 
'''Experimentelle Bestimmung des Kegelvolumens''' mit Hilfe der beiden abgebildeten Füllkörper:<br>
 
<center>[[Datei:Füllkörper_Kegel_Zylinder.jpg|300px]]</center>
 
Das Experiment wird vor der gesamten Klasse durchgeführt!
{{Box|11. Finde die Funktionsgleichung!|
<br><br>
Starte die App und entscheide, welcher Funktionsterm den dargestellten Graphen richtig beschreibt.
|Üben}}
 
<center>{{LearningApp|app=pt90oidw501|width=700px|height=600px}}</center>
 
 
==''--- aktuelle Meldung: Entwarnung im Bergwerk ---''==
 
Das Bergwerk hat ein Gesamtvolumen von 1800m<sup>3</sup> und steht bereits völlig unter Wasser, als es endlich gelingt, neue Pumpen in Betrieb zu nehmen. Die neuen Pumpen haben eine max. Pumpleistung von 150m³ Wasser pro Stunde. <br>Wie lange wird es dauern, bis das Bergwerk wieder frei von Grundwasser ist?<br><br>


Entscheide für dich selbst, in welchem Schwierigkeitsniveau du die Aufgabe bearbeiten möchtest!<br/>
'''Beschreibe das Experiment auf deinem Laufzettel und notiere das Ergebnis!'''
|3=Arbeitsmethode}}


<div class="grid">
<br><br>
<div class="width-1-2">
{{Box|1=Aufgabe 7|2=
1. Version der Aufgabe - '''mittlerer Schwierigkeitsgrad'''
'''Herleitung des Kegelvolumens'''<br>


[[Datei:Sport-1013938 1920.jpg|150px|Balance mit Stab]]
Beweise, dass ein Kegel und eine Pyramide mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe auch gleiches Volumen besitzen! <br>
Nutze dazu auch das folgende Geogebra-Applet, bei dem du dich im ersten Schritt '''anschaulich''' von der Richtigkeit der Aussage überzeugen kannst. Schreibe anschließend einen allgemeingültigen Beweis auf.
<ggb_applet id="bPeH6yeB" width="100%" height="450" border="888888" />
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Aufgabe|2=
Der Beweis kann analog zu dem Beweis aus Aufgabe 5 der Lerneinheit "Rund um die Pyramide" geführt werden (Volumenvergleich zweier Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe)!<br>
a) Welcher der Graphen stellt die beschriebene Situation richtig dar? Begründe deine Entscheidung!
'''Stichworte: Zentrische Streckung!'''
 
{{Lösung versteckt|Identifiziere, welche Angabe aus der Aufgabenstellung dem y-Achsenabschnitt entspricht und welche Angabe der Steigung entspricht! Bei welchem Graph passt beides?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
 
b) Nach wie vielen Stunden ist das Bergwerk vollständig leergepumpt? Begründe deine Antwort.
{{Lösung versteckt|Das Bergwerk ist leer, wenn kein Wasser mehr drin ist... ;)|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
 
c) Gib die Funktionsgleichung zu der roten Geraden an.
{{Lösung versteckt|Du benötigst die Steigung und den y-Achsenabschnitt. Welches Vorzeichen hat die Steigung? ;)
|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
 
d) Wie groß ist der Funktionswert (y-Wert) zur Zeit <math>t=12h</math>?
 
[[Datei:Pumpe1.png|420px|Pumpe_Bergwerk]]
{{Lösung versteckt|1=
Der rote Graph stellt die Situation richtig dar, denn: <br>
*Zu Beginn (t=0) befinden sich 1800m<sup>3</sup> Wasser im Bergwerk, also f(0) = 1800
*Innerhalb einer Stunde nimmt die Wassermenge um 150m<sup>3</sup> ab. D.h. die Steigung des Graphen ist m = -150.
 
Daraus folgt die Funktionsgleichung der roten Geraden: <math>f(t) = -150\cdot t +1800</math>
 
''Achtung mitdenken: Hier steht t für die Variable (Zeit) nicht für den y-Achsenabschnitt, der ist 1800!''
}}
|3=Üben}}
}}
}}
</div>
|3=Arbeitsmethode}}
<div class="width-1-2">
Hier geht es zur [[/Zusammenfassung/]]!
2. Version der Aufgabe - '''hoher Schwierigkeitsgrad'''


[[Datei:Sport-1013936 1920.jpg|150px|Balance]]


==Übungsaufgaben: Berechnungen rund um den Kegel==
<br>
{{Box|1=Aufgabe 8|2=
Aus einem Kreisausschnitt wird ein Trichter geformt (s. Abbildung). Welches Volumen fasst der Trichter? <br>
[[Datei:Übung_Kegel_Trichter.jpg|560px]]
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Aufgabe|2=
Der Trichter ist ein Kegel. Zur Berechnung des Volumens benötigen wir den Radius r und die Höhe h des Kegels. <br>
a) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die die Situation korrekt beschreibt.
Die Bogenlänge b des Kreisausschnitts mit Radius s berechnet sich durch:
{{Lösung versteckt|Identifiziere, welche Angabe aus der Aufgabenstellung dem y-Achsenabschnitt entspricht und welche Angabe der Steigung entspricht! Bei welchem Graph passt beides?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
 
b) Zeichne den Funktionsgraphen zu deiner Funktionsgleichung!
{{Lösung versteckt|Die Wassermenge wird weniger! ;)|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}


c) Nach wie vielen Stunden ist das Bergwerk leergepumpt? Findest zu zwei verschiedene Lösungswege?
<math>b=2\pi s\cdot \frac {\alpha } {360^{o} }=\pi s\cdot \frac {\alpha } {180^{o} }=\pi \cdot 20cm \cdot \frac {120^{o} } {180^{o} }=\frac {40\pi } {3} cm \approx 41,89cm</math>
{{Lösung versteckt|1. Lösung mit Hilfe des Graphen


2. Lösung nur mit Hilfe der Funktionsgleichung|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
Die Bogenlänge b entspricht dem Umfang des Grundkreises des Kegels mit Radius r, also <math>b=2\pi r</math>! <br><br>
<math>\Rightarrow r= \frac {b} {2\pi }=\frac {40\pi } {3} \cdot \frac {1} {2\pi } cm= \frac {20} {3}cm \approx 6,67 cm</math>


{{Lösung versteckt|1=
Die Höhe h wird über den Satz von Pythagoras berechnet (oben in der Abbildung kannst du das benötigte rechtwinklige Dreieck erkennen!): <br>
[[Datei:Pumpe1.png|420px|Pumpe_Bergwerk]]
<math>h=\sqrt {s^{2}-r^{2} }= \sqrt {\left(20cm\right)^{2}-\left(\frac {20} {3}cm\right)^{2} } = \sqrt {\frac {3200} {9}cm^{2} } \approx 18,86 cm</math> <br>
Der rote Graph im oberen Schaubild stellt die Situation richtig dar, denn: <br>
<span style="color:green">''(Hier könnte man jetzt noch teilweise die Wurzel ziehen! Also <math>\sqrt {\frac {3200} {9}cm^{2} }=\frac {20} {3}\cdot \sqrt {8}cm</math>)''</span> <br>
*Zu Beginn (t=0) befinden sich 1800m<sup>3</sup> Wasser im Bergwerk, also f(0) = 1800
Nun kann das Kegelvolumen berechnet werden: <br>
*Innerhalb einer Stunde nimmt die Wassermenge um 150m<sup>3</sup> ab. D.h. die Steigung des Graphen ist m = -150.
<math>V=\frac {1} {3}\pi r^{2}\cdot h= \frac {1} {3} \pi \cdot \left(\frac {20} {3}\right)^{2} \cdot \sqrt {\frac {3200} {9} }cm \approx 877,61 cm^{3}</math>  


Daraus folgt die Funktionsgleichung der roten Geraden: <math>f(t) = -150\cdot t +1800</math><br>
Der Trichter hat ein Volumen von ungefähr 877,61 cm³, also weniger als ein Liter!
''Achtung mitdenken: Hier steht t für die Variable (Zeit) nicht für den y-Achsenabschnitt, der ist 1800!''<br><br>
 
Nach 12 Stunden ist das Bergwerk vom Wasser befreit.
<math>f(t)=-150t+1800</math> und wenn das Wasser weg ist gilt: <math>f(t)=0</math>, also <math>-150t+1800=0</math>.
 
Auflösung der Gleichung liefert: <math>t=12</math>
}}
|3=Üben}}
}}
}}
</div>
|3=Arbeitsmethode}}
</div>


{{Box|1=Aufgabe 9|2=
Bearbeite im Buch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) auf Seite 26 Nr. 6 a), b) und c)! <br><br>
ODER <br><br>
Bearbeite im Buch (Fokus Mathematik, Ausgabe 2016) auf Seite 49 Nr. 14! <br><br>
''Die Lösungen werden gemeinsam in der Klasse besprochen!''
|3=Arbeitsmethode}}


'''Alle Aufgaben erledigt? Dann kann's weitergehen!'''


{{Fortsetzung|weiter=Zur Übung|weiterlink=/Übung}}
{{Fortsetzung|weiter=Zusatzaufgaben|weiterlink=../Zusatzaufgaben}}


[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:Lineare Funktion]]
[[Kategorie:GeoGebra]]
[[Kategorie:R-Quiz]]
[[Kategorie:R-Quiz]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Aktuelle Version vom 23. April 2022, 15:40 Uhr

Der Kegel - Eine kleine Einführung


In der vorherigen Lerneinheit hast du die Pyramide mit einem beliebigen Vieleck als Grundfläche kennengelernt.
Ersetzt man nun das Vieleck der Grundfläche durch einen Kreis, so erhält man einen verwandten Spitzkörper:den Kegel!


Eistüte umgedreht.jpg . . . .Kegel Pylon.jpg. . . . DSC04737 Istanbul - La Moschea Blu - Minareti - Foto G. Dall'Orto 29-5-2006.jpg. . . . Turmspitze.jpg


Ob Eistüte, Pylonen oder Turmspitzen, man findet sehr häufig kegelförmige Objekte in unserer Lebenswelt.



Eigenschaften des Kegels


Aufgabe 1

Fülle den Lückentext aus!

Ein Kegel ist ein Körper, dessen Grundfläche ein Kreis (Grundkreis) ist.
Die Mantelfläche des Kegels ist gewölbt. Der Abstand der Spitze S zur Grundfläche ist die Höhe des Kegels. Eine Verbindungsstrecke vom Kreisrand zur Kegelspitze heißt Mantellinie und wird mit "s" beschriftet.
Ebenso wie bei der Pyramide unterscheidet man auch hier zwischen geraden (senkrechten) und schiefen Kegeln. Schaue dir dazu das folgende Geogebra-Applet an.
Für uns sind allerdings nur gerade Kegel von Bedeutung.


Ziehe an der Kegelspitze S und beobachte, was passiert.

GeoGebra


Mantelfläche und Mantelflächeninhalt

Aufgabe 2

Die Mantelfläche des Kegels

a) Stelle dir vor, du schneidest einen senkrechten Kegel entlang einer Mantellinie auf und breitest den Mantel eben aus. Beschreibe die geometrische Figur, die du für die Mantelfläche erhälst.

Beispiel:
Die Mantelfläche des Zylinders ist ein Rechteck. Die Breite des Rechtecks ist gleich der Höhe des Zylinders, die Länge des Rechtecks ist gleich dem Umfang des Zylinders.

Die Mantelfläche des Kegels ist ein Kreisausschnitt (Kreissektor). Der Radius des Kreisausschnittes ist die Länge der Mantellinie s. Die Bogenlänge b ist der Umfang des Kegels.


b) Zeichne die Mantelfläche eines Kegels und beschrifte sie entsprechend.
Kegel Mantelfläche.jpg

Kegel Mantelfläche2.jpg



Aufgabe 3

Der Mantelflächeninhalt des Kegels
Der Mantelflächeninhalt des Kegels berechnet sich über folgende Formel:


Versuche diese Formel herzuleiten!
Gehe dazu schrittweise vor und zeige zuerst, dass ist. Nutze auch die beschriftete Zeichnung der Mantelfläche als Hilfestellung!

Der Mantelflächeninhalt des Kegels entspricht dem Flächeninhalt des Kreisausschnittes mit Radius s und Bogenlänge b.

  • b ist die Bogenlänge des Kreisaussektors mit Radius s und gleichzeitig der Umfang des Kegels mit Radius r!

Hier findest du verschiedene Tipps, wie du vorgehen kannst (wenn du nicht weiter kommst).

  • Stelle zunächst eine Formel für die Bogenlänge b (bzw. den "Umfang" des Kreisausschnittes) und für den Flächeninhalt des Kreisausschnittes (also den Mantelflächeninhalt des Kegels) auf.
  • Stelle nun einen Zusammenhang zwischen Bogenlänge und Flächeninhalt des Kreisausschnittes her!

Zusammenhang zwischen Bogenlänge und Flächeninhalt des Kreisausschnittes:

Stelle die Formel für die Bogenlänge b nach um und setze dies in die Formel für den Mantelflächeninhalt des Kegels ein! Nun kannst du noch kürzen und du erhälst die Formel .

Die Bogenlänge b ist gleich dem Umfang des Kegels mit Radius r! Somit kannst du für b oben die Formel für den Kegelumfang einsetzen, kürzen und du erhälst die Formel


Aufgabe 4

Der Mittelpunktswinkel des Kreissektors (bzw. der Mantelfläche)

Stelle eine Gleichung zur Berechnung des Mittelpunktwinkels auf!

Dazu muss man eine Verhältnisgleichung aufstellen!
Der Winkel des Kreisausschnitts verhält sich zum Winkel des vollen Kreises wie ...
... die Bogenlänge des Kreisausschnittes (=Umfang des Kegels mit Radius r) zum Umfang des vollen Kreises mit Radius s!

Anmerkung:

Über den Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel , dem Vollkreiswinkel und den beiden zu betrachtenden Radien r und s kann man ebenfalls die Formel für den Mantelflächeninhalt aufstellen:

Die oben aufgestellte Verhältnisgleichung wird einfach in die bereits bekannte Flächeninhaltsformel des Kreissektors eingesetzt!


Oberfläche und Oberflächeninhalt

Aufgaben 5

Notiere auf deinem Laufzettel, wie sich die Oberfläche eines Kegels zusammensetzt und stelle eine Formel für den Oberflächeninhalt auf.

Die Oberfläche eines Kegels setzt sich aus einem Kreis mit Radius r (Grundfläche) und einem Kreisausschnitt mit Radius s und Bogenlänge b zusammen.


Volumen des Kegels


Aufgabe 6

Experimentelle Bestimmung des Kegelvolumens mit Hilfe der beiden abgebildeten Füllkörper:

Füllkörper Kegel Zylinder.jpg

Das Experiment wird vor der gesamten Klasse durchgeführt!

Beschreibe das Experiment auf deinem Laufzettel und notiere das Ergebnis!



Aufgabe 7

Herleitung des Kegelvolumens

Beweise, dass ein Kegel und eine Pyramide mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe auch gleiches Volumen besitzen!
Nutze dazu auch das folgende Geogebra-Applet, bei dem du dich im ersten Schritt anschaulich von der Richtigkeit der Aussage überzeugen kannst. Schreibe anschließend einen allgemeingültigen Beweis auf.

GeoGebra

Der Beweis kann analog zu dem Beweis aus Aufgabe 5 der Lerneinheit "Rund um die Pyramide" geführt werden (Volumenvergleich zweier Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe)!

Stichworte: Zentrische Streckung!

Hier geht es zur Zusammenfassung!


Übungsaufgaben: Berechnungen rund um den Kegel


Aufgabe 8

Aus einem Kreisausschnitt wird ein Trichter geformt (s. Abbildung). Welches Volumen fasst der Trichter?
Übung Kegel Trichter.jpg

Der Trichter ist ein Kegel. Zur Berechnung des Volumens benötigen wir den Radius r und die Höhe h des Kegels.
Die Bogenlänge b des Kreisausschnitts mit Radius s berechnet sich durch:

Die Bogenlänge b entspricht dem Umfang des Grundkreises des Kegels mit Radius r, also !

Die Höhe h wird über den Satz von Pythagoras berechnet (oben in der Abbildung kannst du das benötigte rechtwinklige Dreieck erkennen!):

(Hier könnte man jetzt noch teilweise die Wurzel ziehen! Also )
Nun kann das Kegelvolumen berechnet werden:

Der Trichter hat ein Volumen von ungefähr 877,61 cm³, also weniger als ein Liter!


Aufgabe 9

Bearbeite im Buch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) auf Seite 26 Nr. 6 a), b) und c)!

ODER

Bearbeite im Buch (Fokus Mathematik, Ausgabe 2016) auf Seite 49 Nr. 14!

Die Lösungen werden gemeinsam in der Klasse besprochen!