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| {{Navigation verstecken | | {{Navigation verstecken|{{Lernpfad Lineare Funktionen}}}} |
| |{{Lernpfad Inhalt}} | |
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| }} | |
| __NOTOC__
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| ==Der Kegel - Eine kleine Einführung==
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| <br>
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| In der vorherigen Lerneinheit hast du die Pyramide mit einem beliebigen Vieleck als Grundfläche kennengelernt.<br>
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| Ersetzt man nun das Vieleck der Grundfläche durch einen Kreis, so erhält man einen verwandten '''Spitzkörper:den Kegel'''! <br>
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| <br><br>
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| [[Datei:Eistüte_umgedreht.jpg|120px]] <span style="color:lightgrey">. . . .</span>[[Datei:Kegel_Pylon.jpg|180px]]<span style="color:lightgrey">. . . .</span> [[Datei:DSC04737 Istanbul - La Moschea Blu - Minareti - Foto G. Dall'Orto 29-5-2006.jpg|180px]]<span style="color:lightgrey">. . . .</span> [[Datei:Turmspitze.jpg|240px]]<br>
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| | <div class="grid"> |
| | <div class="width-1-4">[[Datei:Skateboard-1013948 1920.jpg|200px|Handstand]]</div> |
| | <div class="width-3-4"> |
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| Ob Eistüte, Pylonen oder Turmspitzen, man findet sehr häufig kegelförmige Objekte in unserer Lebenswelt.
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| <br><br><br><br>
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| ==Eigenschaften des Kegels==
| | '''Übung macht den Meister!''' Du hast in Station 3 erarbeitet, was lineare Funktionen sind und wie sie beschrieben und dargestellt werden. Hier kannst du überprüfen, ob du alles sicher verstanden hast und deine Fähigkeiten vertiefen. Have fun!.</div> |
| <br>
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| {{Box|Aufgabe 1|2=
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| '''Fülle den Lückentext aus!''' | |
| <br>
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| Ein '''Kegel''' ist ein Körper, dessen '''Grundfläche''' ein '''Kreis''' (Grundkreis) ist. <br>
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| Die '''Mantelfläche''' des Kegels ist gewölbt. Der Abstand der Spitze S zur Grundfläche ist die '''Höhe''' des Kegels. Eine Verbindungsstrecke vom Kreisrand zur Kegelspitze heißt '''Mantellinie''' und wird mit "s" beschriftet. <br>
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| Ebenso wie bei der Pyramide unterscheidet man auch hier zwischen '''geraden''' (senkrechten) und '''schiefen''' Kegeln. Schaue dir dazu das folgende Geogebra-Applet an. <br>
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| Für uns sind allerdings nur gerade Kegel von Bedeutung.
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| </div> | | </div> |
| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br>
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| '''Ziehe an der Kegelspitze S und beobachte, was passiert.'''
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| <center><ggb_applet id="FFpfAu6U" width="416" height="347" border="888888" /></center> | | {{Box|8. Zuordnungen| |
| | <center>{{LearningApp|app=pdj2zy17a01|width=100%|height=500px}}</center> |
| | |Üben}} |
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| | {{Box|9. Funktionsgleichung herausfinden| |
| | Wie lautet die passende Funktionsgleichung? |
| | <center>{{LearningApp|app=pm2k021oa01|width=100%|height=700px}}</center> |
| | |Üben}} |
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| ==Mantelfläche und Mantelflächeninhalt==
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| {{Box|1=Aufgabe 2|2= | | {{Box|10.Zuordnungen| |
| '''Die Mantelfläche des Kegels'''
| | <center>{{LearningApp|app=926998|width=100%|height=500px}}</center> |
| | |Üben}} |
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| a) Stelle dir vor, du schneidest einen senkrechten Kegel entlang einer Mantellinie auf und breitest den Mantel eben aus. Beschreibe die geometrische Figur, die du für die Mantelfläche erhälst.
| | {{Box|1=11. Wer wird Millionär|2= |
| | | Hol dir die Million! Schreibe ab der 50000€-Frage die richtigen Lösungen als ganzen Satz in dein Schulheft! |
| <span style="color:green">Beispiel:</span> <br> Die Mantelfläche des Zylinders ist ein Rechteck. Die Breite des Rechtecks ist gleich der Höhe des Zylinders, die Länge des Rechtecks ist gleich dem Umfang des Zylinders.
| | <center>{{LearningApp|app=pyys4ytm201|width=100%|height=500px}}</center> |
| {{Lösung versteckt|1=
| | |3=Üben}} |
| <div class="schuettel-quiz">
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| Die Mantelfläche des Kegels ist ein '''Kreisausschnitt''' (Kreissektor). Der '''Radius''' des Kreisausschnittes ist die '''Länge''' der '''Mantellinie''' s. Die '''Bogenlänge''' b ist der '''Umfang''' des Kegels.
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| </div>
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| }}<br>
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| b) Zeichne die Mantelfläche eines Kegels und beschrifte sie entsprechend. <br>
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| [[Datei:Kegel_Mantelfläche.jpg|400px]]
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| {{Lösung versteckt|1=
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| [[Datei:Kegel_Mantelfläche2.jpg|690px]]
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br><br>
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| {{Box|1=Aufgabe 3|2= | |
| '''Der Mantelflächeninhalt des Kegels''' <br>
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| Der Mantelflächeninhalt des Kegels berechnet sich über folgende Formel:<br>
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| <math>M_{K}=\frac {1} {2} b\cdot s=\pi \cdot r\cdot s</math> <br><br>
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| '''Versuche diese Formel herzuleiten!''' <br>
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| Gehe dazu schrittweise vor und zeige zuerst, dass <math>M_{K}=\frac {1} {2} b\cdot s</math> ist. Nutze auch die beschriftete Zeichnung der Mantelfläche als Hilfestellung!
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| {{Lösung versteckt|1=
| |
| Der Mantelflächeninhalt des Kegels entspricht dem Flächeninhalt des Kreisausschnittes mit Radius s und Bogenlänge b. <br>
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| *<span style="color:red">b ist die Bogenlänge des Kreisaussektors mit Radius s und gleichzeitig der Umfang des Kegels mit Radius r!</span>
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| |2=Hinweis anzeigen|3=Hinweis ausblenden}} | |
| Hier findest du verschiedene Tipps, wie du vorgehen kannst (wenn du nicht weiter kommst).
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| {{Lösung versteckt|1=
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| * Stelle zunächst eine Formel für die Bogenlänge b (bzw. den "Umfang" des Kreisausschnittes) und für den Flächeninhalt des Kreisausschnittes (also den Mantelflächeninhalt des Kegels) auf.<br>
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| * Stelle nun einen Zusammenhang zwischen Bogenlänge und Flächeninhalt des Kreisausschnittes her!
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| |2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
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| {{Lösung versteckt|1= '''Zusammenhang zwischen Bogenlänge und Flächeninhalt des Kreisausschnittes:'''<br>
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| Stelle die Formel für die Bogenlänge b nach <math>\pi </math> um und setze dies in die Formel für den Mantelflächeninhalt des Kegels ein! Nun kannst du noch kürzen und du erhälst die Formel <math>M_{K}=\frac {1} {2} b\cdot s</math>.
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| |2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
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| {{Lösung versteckt|1=
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| Die Bogenlänge b ist gleich dem Umfang des Kegels mit Radius r! Somit kannst du für b oben die Formel für den Kegelumfang einsetzen, kürzen und du erhälst die Formel <br>
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| <math>M_{K}=\frac {1} {2} b\cdot s=\pi \cdot r\cdot s</math>
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| |2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|1=Aufgabe 4|2=
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| '''Der Mittelpunktswinkel <math>\alpha </math> des Kreissektors (bzw. der Mantelfläche)''' <br>
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| Stelle eine Gleichung zur Berechnung des Mittelpunktwinkels <math>\alpha </math> auf!
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| {{Lösung versteckt|1= Dazu muss man eine Verhältnisgleichung aufstellen!
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| |2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
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| {{Lösung versteckt|1= Der Winkel <math>\alpha </math> des Kreisausschnitts verhält sich zum Winkel des vollen Kreises wie ...
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| |2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
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| {{Lösung versteckt|1= ... die Bogenlänge des Kreisausschnittes (=Umfang des Kegels mit Radius r) zum Umfang des vollen Kreises mit Radius s!
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| |2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| '''Anmerkung:'''<br><br>
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| Über den Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel <math>\alpha </math>, dem Vollkreiswinkel und den beiden zu betrachtenden Radien r und s kann man ebenfalls die Formel für den Mantelflächeninhalt aufstellen:<br>
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| <math>M_{K}=\pi s^{2}\cdot \frac {\alpha } {360^{o}}=\pi s^{2}\cdot \frac {r} {s} =\pi \cdot r\cdot s</math><br>
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| Die oben aufgestellte Verhältnisgleichung wird einfach in die bereits bekannte Flächeninhaltsformel des Kreissektors eingesetzt!
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| ==Oberfläche und Oberflächeninhalt==
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| {{Box|1=Aufgaben 5|2=
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| Notiere auf deinem Laufzettel, wie sich die Oberfläche eines Kegels zusammensetzt und stelle eine Formel für den Oberflächeninhalt auf. <br><br>
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| {{Lösung versteckt|1=
| |
| Die Oberfläche eines Kegels setzt sich aus einem Kreis mit Radius r (Grundfläche) und einem Kreisausschnitt mit Radius s und Bogenlänge b zusammen. <br>
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| <math>O_{K}=G+M=\pi r^{2}+\pi r\cdot s</math>
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| ==Volumen des Kegels==
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| <br>
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| {{Box|1=Aufgabe 6|2=
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| '''Experimentelle Bestimmung des Kegelvolumens''' mit Hilfe der beiden abgebildeten Füllkörper:<br>
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| <center>[[Datei:Füllkörper_Kegel_Zylinder.jpg|300px]]</center> | |
| Das Experiment wird vor der gesamten Klasse durchgeführt!
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| <br><br>
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| '''Beschreibe das Experiment auf deinem Laufzettel und notiere das Ergebnis!'''
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br><br>
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| {{Box|1=Aufgabe 7|2= | |
| '''Herleitung des Kegelvolumens'''<br>
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| Beweise, dass ein Kegel und eine Pyramide mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe auch gleiches Volumen besitzen! <br>
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| Nutze dazu auch das folgende Geogebra-Applet, bei dem du dich im ersten Schritt '''anschaulich''' von der Richtigkeit der Aussage überzeugen kannst. Schreibe anschließend einen allgemeingültigen Beweis auf.
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| <ggb_applet id="bPeH6yeB" width="100%" height="450" border="888888" />
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| {{Lösung versteckt|1=
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| Der Beweis kann analog zu dem Beweis aus Aufgabe 5 der Lerneinheit "Rund um die Pyramide" geführt werden (Volumenvergleich zweier Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe)!<br>
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| '''Stichworte: Zentrische Streckung!'''
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}} | |
| Hier geht es zur [[/Zusammenfassung/]]!
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| | == Entspannung für Schnelle == |
| | Du liegst gut in der Zeit? Dann such dir doch eines der beiden "Spiele" aus... :) |
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| ==Übungsaufgaben: Berechnungen rund um den Kegel==
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| <br>
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| {{Box|1=Aufgabe 8|2=
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| Aus einem Kreisausschnitt wird ein Trichter geformt (s. Abbildung). Welches Volumen fasst der Trichter? <br>
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| [[Datei:Übung_Kegel_Trichter.jpg|560px]]
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| {{Lösung versteckt|1=
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| Der Trichter ist ein Kegel. Zur Berechnung des Volumens benötigen wir den Radius r und die Höhe h des Kegels. <br>
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| Die Bogenlänge b des Kreisausschnitts mit Radius s berechnet sich durch:
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| <math>b=2\pi s\cdot \frac {\alpha } {360^{o} }=\pi s\cdot \frac {\alpha } {180^{o} }=\pi \cdot 20cm \cdot \frac {120^{o} } {180^{o} }=\frac {40\pi } {3} cm \approx 41,89cm</math> | | '''Hangman''' |
| | <center>{{LearningApp|app=pdszymszt01|width=100%|height=400px}}</center> |
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| Die Bogenlänge b entspricht dem Umfang des Grundkreises des Kegels mit Radius r, also <math>b=2\pi r</math>! <br><br>
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| <math>\Rightarrow r= \frac {b} {2\pi }=\frac {40\pi } {3} \cdot \frac {1} {2\pi } cm= \frac {20} {3}cm \approx 6,67 cm</math>
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| Die Höhe h wird über den Satz von Pythagoras berechnet (oben in der Abbildung kannst du das benötigte rechtwinklige Dreieck erkennen!): <br>
| | '''Wortgitter''' |
| <math>h=\sqrt {s^{2}-r^{2} }= \sqrt {\left(20cm\right)^{2}-\left(\frac {20} {3}cm\right)^{2} } = \sqrt {\frac {3200} {9}cm^{2} } \approx 18,86 cm</math> <br>
| | <center>{{LearningApp|app=pxmwczto301|width=100%|height=400px}}</center> |
| <span style="color:green">''(Hier könnte man jetzt noch teilweise die Wurzel ziehen! Also <math>\sqrt {\frac {3200} {9}cm^{2} }=\frac {20} {3}\cdot \sqrt {8}cm</math>)''</span> <br>
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| Nun kann das Kegelvolumen berechnet werden: <br>
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| <math>V=\frac {1} {3}\pi r^{2}\cdot h= \frac {1} {3} \pi \cdot \left(\frac {20} {3}\right)^{2} \cdot \sqrt {\frac {3200} {9} }cm \approx 877,61 cm^{3}</math>
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| Der Trichter hat ein Volumen von ungefähr 877,61 cm³, also weniger als ein Liter!
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|1=Aufgabe 9|2=
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| Bearbeite im Buch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) auf Seite 26 Nr. 6 a), b) und c)! <br><br>
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| ODER <br><br>
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| Bearbeite im Buch (Fokus Mathematik, Ausgabe 2016) auf Seite 49 Nr. 14! <br><br>
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| ''Die Lösungen werden gemeinsam in der Klasse besprochen!''
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| | '''Alle Aufgaben erledigt? Dann kann's weitergehen!''' |
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| {{Fortsetzung|weiter=Zusatzaufgaben|weiterlink=../Zusatzaufgaben}} | | {{Fortsetzung|weiter=Station 4|weiterlink=../../Station_4}} |
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| | [[Kategorie:Funktionen]] |
| | [[Kategorie:Lineare Funktion]] |
| | [[Kategorie:LearningApps]] |
| [[Kategorie:Interaktive Übung]] | | [[Kategorie:Interaktive Übung]] |
| [[Kategorie:GeoGebra]]
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| [[Kategorie:R-Quiz]]
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