Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter der Scheitelpunktform und Quadratische Funktionen erkunden/Die Scheitelpunktform: Unterschied zwischen den Seiten

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|In diesem Kapitel lernst du ganz unterschiedlich aussehende Parabeln kennen. Du wirst
|In diesem Kapitel des Lernpfads wirst du Experte für die '''Scheitelpunktform''' quadratischer Funktionen. Du kannst
#herausfinden, wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
#selbstständig mithilfe der vorliegenden Applets reale Flugkurven, Gebäude oder Phänomene aus der Natur modellieren,
#entdecken, welche Parameter es in der [[{{BASEPAGENAME}}/Die Scheitelpunktform|Scheitelpunktform]] quadratischer Funktionen gibt.
#in einem Zuordnungsquiz selbst überprüfen, ob du alles verstanden hast, und  
 
#abschließend in Partnerarbeit Flugkurven in verschiedenen Sportarten untersuchen.  
Mit diesem Wissen kannst du dann selbst verschiedene Parabeln darstellen und beschreiben.
|Kurzinfo
|Kurzinfo
}}
}}
== Quadratische Funktionen verändern ==
Wenn du dir die Bilder von der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen im Alltag|Quadratische Funktionen im Alltag]] noch einmal anschaust, dann fällt auf, dass die abgebildeten Parabeln anders aussehen als die gerade kennengelernte Normalparabel. In der Natur und in Anwendungen wird der Funktionsterm der Normalparabel (y = x<sup>2</sup>) variiert und es entstehen die unterschiedlichsten Parabeln.
<gallery mode="packed-hover"><gallery mode="packed-hover">
Datei:Golden-gate-bridge-388917 640.jpg
Datei:Planten un Blomen.JPG
Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg
Datei:Elbphilharmonie Hamburg.JPG
</gallery>
Eine Anwendung wird dir im folgenden Video gezeigt. Das Deutsche Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) führt seit einigen Jahren Parabelflüge durch.
{{Video}} [http://www.dlr.de/portaldata/1/resources//webcast/dlr_parabelfluege_320x240.mp4 Video: Parabelflug des DLR]
Durch unterschiedliche Parabelflüge wird die Schwerkraft, die auf dem Mond bzw. auf dem Mars herrscht, nachempfunden. In der {{pdf-extern|http://www.dlr.de/rd/Portaldata/28/Resources/dokumente/publikationen/Broschuere_Parabelflug_lowres.pdf|Broschüre}} des DLR kannst du dir die zu fliegenden Parabeln auf Seite 16&nbsp;(31) angucken.
== Strecken, Stauchen und Spiegeln==
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|Achtung
|Dieser Abschnitt ist identisch zu dem 1. Abschnitt in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Die Parameter der Normalform|die Parameter der Normalform]]. Wenn du ihn dort schon bearbeitet hast, kannst du direkt weitergehen zum nächsten Abschnitt [[#Verschiebung in x-Richtung|"Verschiebung in x-Richtung"]].
|Hervorhebung1
}}
{{Box
|1=Aufgabe 1
|2='''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
::(1) <math>y=2x^2</math>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2) <math>y=\frac{1}{2}x^2</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;und&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(3) <math>y=-x^2</math> ?
'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
{{Lösung versteckt|1=Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
'''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "<math>a=</math>" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=a \cdot x^2</math> verändert.
<ggb_applet width="100%" height="500" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="eK5MmMmb" />
{{Lösung versteckt|Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:
1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''schmaler''', da die quadrierten x-Werte (<math>x^2</math>) durch den Vorfaktor 2 immer verdoppelt werden. Der zugehörige y-Wert wird dadurch größer.
2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''breiter''', da die quadrierten x-Werte (<math>x^2</math>) durch den Vorfaktor 1/2 immer halbiert werden. Der zugehörige y-Wert wird dadurch kleiner.
3. Die Parabel von Funktion (3) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''"umgedreht"''', da die quadrierten x-Werte (<math>x^2</math>) durch den Vorfaktor -1 immer negative Werte annehmen. Der y-Wert ist also immer negativ.}}|3=Arbeitsmethode}}
{{Box
|Aufgabe 2
|In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.
{{LearningApp|app=pysv88tea18|height=400px}}
{{Lösung versteckt|1=Schau nochmal in deine Lösung zu Aufgabe 1. Du kannst auch erneut verschiedene Werte für a in dem Applet dort eingeben und die Auswirkungen auf den Graphen betrachten.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
{{Lösung versteckt|Wenn a kleiner Null ist (<math>a<0</math>), dann ist die Parabel nach unten geöffnet.
Wenn a größer Null ist (<math>a>0</math>), dann ist die Parabel nach oben geöffnet.
Wenn a zwischen minus Eins und Eins liegt (<math>-1<a<1</math>), dann wird der Graph der Funktion breiter. Man nennt das auch eine gestauchte Parabel.
Wenn a kleiner als minus Eins (<math>a<-1</math>) oder größer als Eins ist (<math>a>1</math>), dann wird der Graph der Funktion gestreckt. Er ist somit schmaler als die Normalparabel.}}|Arbeitsmethode
}}


{{Box
{{Box
|Aufgabe 3
|Aufgabe 1
|'''Knobelaufgabe'''
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 9)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt.
Finde Werte für a, d und e, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.
{{LearningApp|app=pcssvbrfj16|height=500px}}
|Arbeitsmethode
}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe 4|2='''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.|3=Arbeitsmethode}}
{{Box
|Merke
|Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für:
 
'''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.


'''a < 0''': Die Parabel ist nach unten geöffnet.
<ggb_applet id="cDyjWjkp" width="960" height="610" />


'''a < -1''' bzw. '''a > 1''': Die Parabel ist gestreckt.


'''-1 < a < 1''': Die Parabel ist gestaucht.
{{Lösung versteckt|1=Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.
 
Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.
|Merksatz
}}
 
== Verschiebung in x-Richtung ==
 
{{Box
|Aufgabe 5
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 5) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
::(1)  <math>y=(x-2)^2</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2) <math>y=(x+2)^2</math> ?
 
'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
{{Lösung versteckt|1=Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die zwei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
 
'''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
 
 
In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "<math>d=</math>" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=(x-d)^2</math> verändert.
 
<ggb_applet width="100%" height="478" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="grh32PSP" />
{{Lösung versteckt|Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:
 
1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach rechts verschoben''', da die x-Werte ''vor dem quadrieren'' mit 2 subtrahiert werden (<math>(x-2)^2</math>). Der Scheitelpunkt liegt nicht mehr bei <math>S_1(0|0)</math>, sondern weiter rechts im Punkt <math>S_2(2|0)</math>.
 
2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach links verschoben''', da die x-Werte ''vor dem quadrieren'' mit 2 addiert werden (<math>(x+2)^2</math>). Der Scheitelpunkt liegt nicht mehr bei <math>S_1(0|0)</math>, sondern weiter links im Punkt <math>S_2(-2|0)</math>.}}
|Arbeitsmethode
}}
 
{{Box
|Aufgabe 6
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
Fabians Vermutung darüber, wie sich der Graph einer Funktion verändert, wenn man zu dem x‑Wert etwas addiert oder subtrahiert steht im Widerspruch zu seinen Beobachtungen in dem Applet. Merle versucht diesen vermeintlichen Widerspruch mit Hilfe einer Tabelle zu erklären.
 
'''a)''' Lies dir die Unterhaltung von Fabian und Merle durch und versuche die Begründung nachzuvollziehen.
[[Datei:Verschiebung horizontal.JPG|rahmenlos|center|Gespräch horizontale Verschiebung|750px]]
'''b)''' Erstelle geschickt ohne zu rechnen eine Tabelle für die Funktion <math>y=(x+3)^2</math>.
{{Lösung versteckt|1='''1.''' Zeichne eine Tabelle wie sie in Aufgabenteil a) dargestellt ist in deinen Hefter.
 
'''2.''' Füge zunächst nur die x-Werte hinzu, für die du die Tabelle erstellen möchtest - zum Beispiel von -6 bis 2.
 
'''3.''' Wie ist der Term <math>y=(x+3)^2</math> im Vergleich zu <math>y=x^2</math> verschoben? Schau dir an, mit welchem Trick Merle und Fabian die Tabelle in Aufgabenteil a) erstellt haben.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Die Tabelle für <math>y=(x+3)^2</math> sieht wie folgt aus:


{{{!}} class="wikitable"
{{{!}} class="wikitable"
{{!}}-
{{!}}-
{{!}} '''x''' {{!}}{{!}} -6 {{!}}{{!}} -5 {{!}}{{!}} -4 {{!}}{{!}} -3 {{!}}{{!}} -2 {{!}}{{!}} -1 {{!}}{{!}} 0 {{!}}{{!}} 1 {{!}}{{!}} 2
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter d !! Parameter e
{{!}}-
{{!}}-
{{!}} '''y''' {{!}}{{!}} 9 {{!}}{{!}} 4 {{!}}{{!}} 1 {{!}}{{!}} 0 {{!}}{{!}} 1 {{!}}{{!}} 4 {{!}}{{!}} 9 {{!}}{{!}} 16 {{!}}{{!}} 25
{{!}} Angry Birds {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.13(x-7)^2+4.85</math> {{!}}{{!}} -0.15 ≤ a ≤ -0.13 {{!}}{{!}} 6.80 ≤ d ≤ 7.20 {{!}}{{!}} 4.70 ≤ e ≤ 5.00
{{!}}-
{{!}} Golden Gate Bridge {{!}}{{!}} <math>f(x)=0.04(x-5.7)^2+1</math> {{!}}{{!}} 0.03 ≤ a ≤ 0.05 {{!}}{{!}} 5.00 ≤ d ≤ 6.40 {{!}}{{!}} 0.80 ≤ e ≤ 1.10
{{!}}-
{{!}} Springbrunnen {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.33(x-4,85)^2+5.3</math> {{!}}{{!}} -0.40 ≤ a ≤ -0.30 {{!}}{{!}} 4.70 ≤ d ≤ 5.00 {{!}}{{!}} 5.10 ≤ e ≤ 5.50
{{!}}-
{{!}} Elbphilharmonie (Bogen links) {{!}}{{!}} <math>f(x)=0.40(x-2,50)^2+4.35</math> {{!}}{{!}} 0.33 ≤ a ≤ 0.47 {{!}}{{!}} 2.40 ≤ d ≤ 2.60 {{!}}{{!}} 4.25 ≤ e ≤ 4.40
{{!}}-
{{!}} Elbphilharmonie (Bogen mitte) {{!}}{{!}} <math>f(x)=0.33(x-5.85)^2+3.4</math> {{!}}{{!}} 0.30 ≤ a ≤ 0.36 {{!}}{{!}} 5.70 ≤ d ≤ 6.00 {{!}}{{!}} 3.20 ≤ e ≤ 3.60
{{!}}-
{{!}} Elbphilharmonie (Bogen rechts) {{!}}{{!}} <math>f(x)=0.22(x-9,40)^2+3.60</math> {{!}}{{!}} 0.18 ≤ a ≤ 0.27 {{!}}{{!}} 9.30 ≤ d ≤ 9.50 {{!}}{{!}} 3.55 ≤ e ≤ 3.65
{{!}}-
{{!}} Gebirgsformation {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.2(x-5.4)^2+2.3</math> {{!}}{{!}} -0.30 ≤ a ≤ -0.10 {{!}}{{!}} 5.10 ≤ d ≤ 5.70 {{!}}{{!}} 2.10 ≤ e ≤ 2.50
{{!}}-
{{!}} Motorrad-Stunt {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.07(x-7.7)^2+5.95</math> {{!}}{{!}} -0.10 ≤ a ≤ -0.04 {{!}}{{!}} 7.30 ≤ d ≤ 8.10 {{!}}{{!}} 5.70 ≤ e ≤ 6.20
{{!}}-
{{!}} Basketball {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.32(x-6.5)^2+6.45</math> {{!}}{{!}} -0.35 ≤ a ≤ -0.29 {{!}}{{!}} 6.20 ≤ d ≤ 6.80 {{!}}{{!}} 6.20 ≤ e ≤ 6.70
{{!}}}
{{!}}}
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösungsvorschläge anzeigen|3=Lösungsvorschläge verbergen}}
|Arbeitsmethode
|Arbeitsmethode
}}
}}




{{Box|Aufgabe 7|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.|Arbeitsmethode}}
{{Box
{{Box
|Merke
|Aufgabe 2
|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel '''entlang der x-Achse verschoben'''. Für <math>y=(x-d)^2</math> gilt:
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 3)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


'''d > 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.
'''a)''' Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch.


'''d < 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.
'''b)''' Als Beispiel ist bei dem Merksatz im Hefter der Funktionsterm <math>y=0,5(x+1)^2-2</math> einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform gegeben. Skizziere den zugehörigen Graphen in das Koordinatensystem.
|Merksatz
{{Lösung versteckt| Denke noch mal daran, was die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> einzeln für eine Auswirkung auf die Lage des Graphen einer Funktion haben. Notiere deine Überlegungen. Kombiniert ergeben sie die Lage des Graphen der Funktion in Scheitelpunktform.|Hilfe|verbergen}}
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:SPF Aufg2-Lösung.png|rahmenlos|300px|Lernpfad QF erkunden/erforschen, Kapitel SPF]]


== Verschiebung in y-Richtung ==
{{Box
|Aufgabe 8
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
::(1) <math>y=x^2+3</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2) <math>y=x^2-3</math> ?
'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
{{Lösung versteckt|1=Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die beiden Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
'''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "<math>e=</math>" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=x^2+e</math> verändert. 


<ggb_applet id="HcpKPj4G" width="677" height="550" border="888888" />
Der Parameter <math>a=0,5</math> ist größer als Null aber kleiner als Eins, weshalb die Parabel nach oben geöffnet und gestaucht ist.
{{Lösung versteckt|Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:


1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach oben verschoben''', da die x-Werte ''nach dem quadrieren'' mit 3 addiert werden.
Da im Funktionsterm <math>(x+1)^2</math> steht, ist der Parameter <math>d=-1</math>  negativ. Die Parabel ist also um eine Einheit nach links verschoben ist.


2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach unten verschoben''', da die x-Werte ''nach dem quadrieren'' mit 3 subtrahiert werden.}}
Der Parameter <math>e=-2</math> ist negativ, weshalb die Parabel um zwei Einheiten nach unten verschoben ist.|Lösung|versteckt}}
|Arbeitsmethode
|Arbeitsmethode
}}
}}
{{Box
{{Box
|Aufgabe 9
|Merke
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 7-8) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
|Terme quadratischer Funktionen können in der Form <math>y=a(x-d)^2+e</math> angegeben werden (wobei a ≠ 0). Diese Darstellungsform nennt man '''Scheitelpunktform''', da sich direkt aus dem Term der Scheitelpunkt ablesen lässt. Er hat die Koordinaten <math>S(d/e)</math>.
 
|Merksatz}}
Graphen zeichnen einmal „verkehrt herum”: Bei dieser Aufgabe sind die Funktionsgraphen und Terme bereits gezeichnet bzw. angegeben. Was fehlt, sind die passenden Koordinatensysteme.
 
'''a)''' Zeichne in deinem Hefter die passenden Koordinatensysteme für '''drei''' der quadratischen Funktionen:
 
[[Datei:Koordinatensystem finden.PNG|rahmenlos|850px|Funktionen für Aufgabe]]
 
{{Lösung versteckt|1=Der Parameter d kommt bei keiner der Parabeln vor, das heißt der Graph ist weder nach rechts noch nach links verschoben.
 
Der Parameter a sorgt für eine Stauchung oder Streckung der Parabel. Der Parameter e verschiebt die Parabel in y-Richtung, also entlang der y-Achse nach oben oder unten.
 
Nutze für die Abstände auf der x- und y-Achse jeweils 1 Kästchen und gehe in Einserschritten voran.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|Die Koordinatensysteme zu den Parabeln und Funktionstermen sollten wie folgt liegen:
[[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 1.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 1]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 2.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 2]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 3.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 3]]
 
Für die Lage der Achsen ist wichtig, dass für alle Funktionen hier gilt: <math>d=0</math>.
 
Daraus folgt, dass der Scheitelpunkt jeder Parabel hier '''auf der y-Achse''' liegt. Seine Koordinaten sind also jeweils <math>S(0|e)</math>.
 
Die x-Achse liegt '''e Einheiten von dem Scheitelpunkt entfernt'''. Je nach Vorzeichen von e über oder unter dem Scheitelpunkt.
 
Der Maßstab der Achsen muss so gewählt sein, dass jedes Kästchen für eine Einheit steht. Sonst passen die Werte der anderen Punkte der Parabeln nicht zu der Funktionsgleichung.}}
 
'''b)''' Wenn du das Koordinatensystem für die Funktion <math>(1)  y=0,5\cdot x^2+2</math> gezeichnet hast, wie kommst du dann ganz einfach auf das Koordinatensystem der Funktion <math>(4) y=0,5\cdot x^2+5</math>? Formuliere einen Tipp.
 
{{Lösung versteckt|Ein Tipp könnte wie folgt lauten:
[[Datei:Beispiel-Tipp Koordinatensystem finden.png|rahmenlos|600px|Beispiel Tipp]]}}
|Arbeitsmethode
}}


{{Box
{{Box
|Aufgabe 10
|Aufgabe 3
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 8)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
|Das folgende Quiz beschäftigt sich mit dem Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsarten (Funktionsterm, Graph und Situationen) quadratischer Funktionen. Hier kannst du dir für die drei Darstellungsarten zum Thema Basketball ein Beispiel anzeigen lassen.
 
Lucio hat noch ein Problem bei der Unterscheidung von Termen in der Form <math>f(x)=x^2+9</math> und <math>f(x)=(x+3)^2</math>. Lies dir die folgende Unterhaltung durch. Führe sie anschließend in deinem Hefter fort, indem du dir eine Antwort auf Lucios Problem überlegst.


[[Datei:Lucio, Fabian Binomische Formel.png|rahmenlos|center|Unterhaltung zu typischem Fehler|600px]]
{{Lösung versteckt|[[Bild:Quadratische Funktionen beim Basketball.png|800px]]
|Beispiel|verbergen}}


{{Lösung versteckt
|1=Schaue dir noch einmal die [https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln/binomische-formeln Binomischen Formeln] an.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}


{{Lösung versteckt|Die Terme <math>f(x)=(x+3)^2</math> und <math>f(x)=x^2+9</math> sind nicht gleich.
'''a)''' Beantworte die Fragen bitte selbstständig. Es ist jeweils genau eine Antwort richtig.


Man darf das Quadrat nicht einfach in die Klammer von <math>f(x)=(x+3)^2</math> ziehen: <math>f(x)=(x+3)^2\neq x^2+3^2</math>
{{LearningApp|app=pozha6j7n16|width=100%|height=500px}}


Die erste Binomische Formel besagt vielmehr:


<math>f(x)=(x+3)^2=(x+3)(x+3)=x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9</math>.}}
'''b)''' Die Lösungsübersicht am Ende verrät dir, wie viel Prozent du erreicht hast. Wenn du dich noch nicht sicher genug im Umgang mit den verschiedenen Darstellungsarten fühlst, kannst du das Quiz gerne erneut durchführen.  
|Arbeitsmethode
|Arbeitsmethode
}}
}}
{{Box|Aufgabe 11|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 3) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.|Arbeitsmethode}}
{{Box
|Merke
|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+e</math> gilt:
'''e > 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.
'''e < 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.
|Merksatz
}}
== Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte ==
{{Box
|
|Hier sind die Merksätze, die dir auf dieser Seite begegnet sind, noch einmal gesammelt dargestellt.
|Kurzinfo
}}


{{Box
{{Box
|Merke
|Aufgabe 4
|Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für:
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 9) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|32x32px]][[Datei:Puzzle-1020221_640.jpg|rahmenlos|80x80px]].
 
'''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.
 
'''a < 0''': Die Parabel ist nach unten geöffnet.
 
'''a < -1''' bzw. '''a > 1''': Die Parabel ist gestreckt.
 
'''-1 < a < 1''': Die Parabel ist gestaucht.


Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.
'''a)''' Überlege dir - ohne deinem Partner zu verraten - eine Sportart, bei der die Flugkurve eines Balls (oder eines ähnlichen Sportutensils) durch eine quadratische Funktion näherungsweise modelliert werden kann. Notiere den Term (sowie die Maßeinheit) in deinem Hefter. Zur Visualisierung kannst du das untenstehende GeoGebra-Applet nutzen.
|Merksatz
}}


{{Lösung versteckt|Der folgende vierschrittige Lösungsplan kann dir helfen zu einer guten Funktion zu gelangen.
#Stelle dir deine ausgewählte Sportart genau vor. Wie weit und wie hoch fliegt z.B. der Ball? Wo findet ein Abschlag o.ä. statt und wo landet der Ball? Eine beschriftete Skizze kann dir helfen.
#Was bedeuten die realen Annamhmen für deine Funktion? Wo liegen die Schnittpunkte und der Scheitelpunkt?
#Finde mithilfe von Rechnungen oder des GeoGebra-Applets geeignete Parameter für deine Funktion. Notiere dann den Funktionsterm.
#Überlege, ob deine Funktionsgleichung wirklich geeignet ist, um die Flugkurve deiner im 1. Schritt gewählten Sportart zu modellieren.
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{{Box
|Merke
|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel '''entlang der x-Achse verschoben'''. Für <math>y=(x-d)^2</math> gilt:


'''d > 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.
'''b)''' Tausche nun deinen Term mit deinem Partner aus. Überlege, welche Sportart durch den Funktionsterm  beschrieben werden könnte. Zur Hilfe kannst du erneut das GeoGebra-Applet oder die Hilfe nutzen.


'''d < 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.
'''c)''' Vergleicht, inwieweit ihr die von eurem Partner gemeinte Sportart erkannt habt. Diskutiert warum die Terme genau diese Sportarten beschreiben beziehungsweise inwiefern die Terme nicht eindeutig sind.
|Merksatz
|Arbeitsmethode}}
}}


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{{Box
|Merke
|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+e</math> gilt:


'''e > 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.


'''e < 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.
{{Fortsetzung|weiter=Die Parameter der Normalform|weiterlink=Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter der Normalform}}
|Merksatz
}}




[[Datei:Binoculars-1026426 640.jpg|rahmenlos|links|Ausblick|150px]]


Die auf dieser Seite gewonnenen '''Erkenntnisse können kombiniert werden''' und ergeben quadratische Funktionen der Form <math>y=a(x-d)^2+e</math>. Diese Form heißt '''Scheitelpunktform''', da die Parameter d und e die Koordinaten des Scheitelpunktes <math>S(d|e)</math> der Parabel angeben.
'''Erstellt von: --[[Benutzer:Carsten|Carsten]] ([[Benutzer Diskussion:Carsten|Diskussion]]) 15:24, 5. Nov. 2016 (CET)


Auf der [[{{BASEPAGENAME}}/Die Scheitelpunktform|nächsten Seite]] lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Übungen|Übungen]].
Überarbeitet von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])


{{Fortsetzung|weiter=Die Scheitelpunktform|weiterlink=Quadratische Funktionen erkunden/Die Scheitelpunktform}}


Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])
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[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik]]

Version vom 17. Dezember 2021, 11:35 Uhr

gRIFIKBERSCHREIBUNG)

Quadratische Funktionen erkunden

< Mathematik-digital

In diesem Kapitel des Lernpfads wirst du Experte für die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen. Du kannst

  1. selbstständig mithilfe der vorliegenden Applets reale Flugkurven, Gebäude oder Phänomene aus der Natur modellieren,
  2. in einem Zuordnungsquiz selbst überprüfen, ob du alles verstanden hast, und
  3. abschließend in Partnerarbeit Flugkurven in verschiedenen Sportarten untersuchen.


Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 9) Notizblock mit Bleistift.

Finde Werte für a, d und e, so dass die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.

GeoGebra


Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.

Hintergrundbild Lösungsvorschlag Parameter a Parameter d Parameter e
Angry Birds -0.15 ≤ a ≤ -0.13 6.80 ≤ d ≤ 7.20 4.70 ≤ e ≤ 5.00
Golden Gate Bridge 0.03 ≤ a ≤ 0.05 5.00 ≤ d ≤ 6.40 0.80 ≤ e ≤ 1.10
Springbrunnen -0.40 ≤ a ≤ -0.30 4.70 ≤ d ≤ 5.00 5.10 ≤ e ≤ 5.50
Elbphilharmonie (Bogen links) 0.33 ≤ a ≤ 0.47 2.40 ≤ d ≤ 2.60 4.25 ≤ e ≤ 4.40
Elbphilharmonie (Bogen mitte) 0.30 ≤ a ≤ 0.36 5.70 ≤ d ≤ 6.00 3.20 ≤ e ≤ 3.60
Elbphilharmonie (Bogen rechts) 0.18 ≤ a ≤ 0.27 9.30 ≤ d ≤ 9.50 3.55 ≤ e ≤ 3.65
Gebirgsformation -0.30 ≤ a ≤ -0.10 5.10 ≤ d ≤ 5.70 2.10 ≤ e ≤ 2.50
Motorrad-Stunt -0.10 ≤ a ≤ -0.04 7.30 ≤ d ≤ 8.10 5.70 ≤ e ≤ 6.20
Basketball -0.35 ≤ a ≤ -0.29 6.20 ≤ d ≤ 6.80 6.20 ≤ e ≤ 6.70


Aufgabe 2

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 3) Notizblock mit Bleistift.

a) Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch.

b) Als Beispiel ist bei dem Merksatz im Hefter der Funktionsterm einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform gegeben. Skizziere den zugehörigen Graphen in das Koordinatensystem.

Denke noch mal daran, was die Parameter und einzeln für eine Auswirkung auf die Lage des Graphen einer Funktion haben. Notiere deine Überlegungen. Kombiniert ergeben sie die Lage des Graphen der Funktion in Scheitelpunktform.

Lernpfad QF erkunden/erforschen, Kapitel SPF


Der Parameter ist größer als Null aber kleiner als Eins, weshalb die Parabel nach oben geöffnet und gestaucht ist.

Da im Funktionsterm steht, ist der Parameter negativ. Die Parabel ist also um eine Einheit nach links verschoben ist.

Der Parameter ist negativ, weshalb die Parabel um zwei Einheiten nach unten verschoben ist.
Merke

Terme quadratischer Funktionen können in der Form angegeben werden (wobei a ≠ 0). Diese Darstellungsform nennt man Scheitelpunktform, da sich direkt aus dem Term der Scheitelpunkt ablesen lässt. Er hat die Koordinaten .


Aufgabe 3

Das folgende Quiz beschäftigt sich mit dem Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsarten (Funktionsterm, Graph und Situationen) quadratischer Funktionen. Hier kannst du dir für die drei Darstellungsarten zum Thema Basketball ein Beispiel anzeigen lassen.

Quadratische Funktionen beim Basketball.png


a) Beantworte die Fragen bitte selbstständig. Es ist jeweils genau eine Antwort richtig.



b) Die Lösungsübersicht am Ende verrät dir, wie viel Prozent du erreicht hast. Wenn du dich noch nicht sicher genug im Umgang mit den verschiedenen Darstellungsarten fühlst, kannst du das Quiz gerne erneut durchführen.


Aufgabe 4

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 9) und einen Partner Notepad-117597.svgPuzzle-1020221 640.jpg.

a) Überlege dir - ohne deinem Partner zu verraten - eine Sportart, bei der die Flugkurve eines Balls (oder eines ähnlichen Sportutensils) durch eine quadratische Funktion näherungsweise modelliert werden kann. Notiere den Term (sowie die Maßeinheit) in deinem Hefter. Zur Visualisierung kannst du das untenstehende GeoGebra-Applet nutzen.

Der folgende vierschrittige Lösungsplan kann dir helfen zu einer guten Funktion zu gelangen.

  1. Stelle dir deine ausgewählte Sportart genau vor. Wie weit und wie hoch fliegt z.B. der Ball? Wo findet ein Abschlag o.ä. statt und wo landet der Ball? Eine beschriftete Skizze kann dir helfen.
  2. Was bedeuten die realen Annamhmen für deine Funktion? Wo liegen die Schnittpunkte und der Scheitelpunkt?
  3. Finde mithilfe von Rechnungen oder des GeoGebra-Applets geeignete Parameter für deine Funktion. Notiere dann den Funktionsterm.
  4. Überlege, ob deine Funktionsgleichung wirklich geeignet ist, um die Flugkurve deiner im 1. Schritt gewählten Sportart zu modellieren.


b) Tausche nun deinen Term mit deinem Partner aus. Überlege, welche Sportart durch den Funktionsterm beschrieben werden könnte. Zur Hilfe kannst du erneut das GeoGebra-Applet oder die Hilfe nutzen.

c) Vergleicht, inwieweit ihr die von eurem Partner gemeinte Sportart erkannt habt. Diskutiert warum die Terme genau diese Sportarten beschreiben beziehungsweise inwiefern die Terme nicht eindeutig sind.

GeoGebra


Die Parameter der Normalform


Erstellt von: --Carsten (Diskussion) 15:24, 5. Nov. 2016 (CET)

Überarbeitet von: Elena Jedtke (Diskussion)

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