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| {{Box|Lernpfad|In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken.
| | Als '''Ressourcenproduktivität''' (auch: Ressourceneffizienz) bezeichnet man die die Produktivität der natürlichen Ressourcen, d. h. des Produktionsfaktors [[Boden (Produktionsfaktor)|Boden]]. Im weiteren Sinne bedeutet sie die Produktivität jeder Ressource. Je nach dem Produktionsfaktor auf den sie sich bezieht, spricht man dann von Arbeitsproduktivität und Kapitalproduktivität. |
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| Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/ Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe [http://www.austromath.at/medienvielfalt/ Medienvielfalt im Mathematikunterricht] entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist.
| | == Linkliste == |
| | * {{wpde|Ressourcenproduktivität}} |
| | * {{wpde|Ressourceneffizienz}} |
| | * {{wpde|Arbeitsproduktivität}} |
| | * {{wpde|Kapitalproduktivität}} |
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| <br>'''Voraussetzungen: '''
| | {{Historisches Stichwort}} |
| <br>'''Zeitbedarf: ''' etwa 3 Schulstunden
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| <br>'''Materialien:'''{{pdf|Infini_AB1.pdf|Das bestimmte Integral}}; {{pdf|Infini AB02.pdf|Aufgaben mit Lösung}}; {{pdf|Infini_AB7.pdf|Integralfunktion}}|Lernpfad}}
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| __NOTOC__
| | [[Kategorie:Wirtschaft]] |
| ==Das Flächenproblem==
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| {|
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| |[[Bild:Integral Grundstück.png|200px|left]]
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| |Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.
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| *Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm Wasserverbrauch]?
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| *Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]?
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| |}
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| ==Unter- und Obersumme==
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| {{Box|1=Begriffsklärung|2=
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2">Informiere dich in dem Video wie man mit der Untersumme und Obersumme die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse bestimmen kann?
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| </div>
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| <div class="width-1-2">{{#evu:https://www.youtube.com/watch?v=2bW8Zr7oTlY
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| |alignment=right|dimensions=350
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| }}</div>
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| </div>
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| |3=Unterrichtsidee }}
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| {{Box|1=Aufgabe 1|2=Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x². [[bild:Int_abb1.png|220px|right]]
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| #Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
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| #Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
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| #Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.|3=Üben}}
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| <div class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Lösungsvorschläge anzeigen" data-collapsetext="Lösungsvorschläge verbergen">
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| {| class="wikitable"
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| |-
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| | x || 0 || 0,5 || 1 || 1,5 ||2 || 2,5 || 3 || 3,5 || 4
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| |-
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| | f(x) || 0 || 0,0625 || 0,25 || 0,5625 || 1 || 1,5625 || 2,25 || 3,0625 || 4
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| |}
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| Für den '''Flächeninhalt der Obersumme''' gilt:<br>
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| S = f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + f (1) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (4) <math>\cdot</math> 0,5 = 0,5 <math>\cdot</math>f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375 <br>
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| Für den '''Flächeninhalt der Untersumme''' gilt:<br>
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| s = f (0) <math>\cdot</math> 0,5 + f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (3,5) <math>\cdot</math> 0,5 = 4,375 <br>
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| '''Mittelwert: 5,375'''
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| </div>
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| {{Box|1=Aufgabe 2|2= Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.5 x².
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| #Zerlege das Intervall [0;1] mit dem Schieberegler in gleichlange Teilintervalle und bestimme die zugehörige Ober- und Untersumme mit dem Applet.
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| <ggb_applet id="dhat8XGx" width="100%" height="500" border="888888" />
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| |3=Üben}}
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| *Berechnung von Unter- und Obersummen mit [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme_geogebra.htm GeoGebra]
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| ==Das bestimmte Integral==
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| *Informiere dich im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral"}} über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral".
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| *Auf dem {{pdf|Infini AB02 ohne Lösung.pdf|Arbeitsblatt}} sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! {{pdf|Infini AB02L.pdf|Lösung}}
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| *Berechne: <math>\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>
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| *Überprüfe die Lösung mit folgendem {{Ggb|LP_best_Int.ggb|Applet}}, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!
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| ==Flächenberechnung==
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| [[bild:Int_abb2a.png|220px|right]]
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| *[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue1.htm Aufgaben zur Flächenberechnung] mit Geogebra
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| * Kläre die Bedeutung des Begriffs [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue2.htm "negativer Flächeninhalt"]!
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| *Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse]!
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| <br>
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| ==Integralfunktion==
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| * Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Integralfunktion]. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
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| *Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
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| *Bearbeite nun als Zusammmenfassung das {{pdf|Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt "Die Integralfunktion"}}.
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| ==Zusätzliche Übungsaufgaben==
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| *[http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/beispiel_unb_grenze.htm Integration mit unbekannten Grenzen]
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| ==Für Interessierte==
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| *Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mit [http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm ausführlichem Beweis]
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| *Informiere dich im Internet über die Geschichte der Integralrechnung.
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| *Bei welchen Fragestellungen kommt die Integralrechung zum Einsatz? Finde möglichst vielfältige Beispiele.
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| {{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
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| [[Kategorie:Integralrechnung|!]]
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| [[Kategorie:ZUM2Edutags]]
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| <metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Einführung in die Integralrechnung,Mathematik,Einführung,Integralrechnung,12. Klasse,Oberstufe,Lernpfad</metakeywords>
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| [[Kategorie:Mathematik]]
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| [[Kategorie:Mathematik-digital]]
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| [[Kategorie:Sekundarstufe 2]]
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| [[Kategorie:Lernpfad]]
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| [[Kategorie:Interaktive Übung]]
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| [[Kategorie:GeoGebra]] | |
