Mathematik-digital/Einführung in quadratische Funktionen/Bremsweg und Einführung in quadratische Funktionen/Bremsbeschleunigung: Unterschied zwischen den Seiten

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=== Einstieg ===
=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===
[[Bild:YouTube_Bremsentest.jpg|right|300px]]
'''Ist bei doppelter Geschwindigkeit auch der Bremsweg doppelt so lang?''' Was meinst du?


Diese Frage wurde im Fernsehen bei Kopfball.de untersucht. In dem [http://www.wdr.de/tv/kopfball/sendungsbeitraege/2008/0406/bremsweg.jsp Video aus der Sendung] findest du eine Antwort!!
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.
Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.  


In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:<br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit in m/s und a<sub>B</sub> = Bremsbeschleunigung in m/s²).


=== Tabelle, Graph und Formel ===
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.<br />
''Hinweis:'' Der Einfachkeit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.


Die Polizei hat Messungen durchgeführt, um den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und seinem Bremsweg zu erkunden. Klar ist: Je schneller eine Auto fährt, desto länger ist sein Bremsweg. Aber ist das wirklich so einfach...?
:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" />


Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat:
<br />&nbsp;
<br />
<br />
<br />
{{Arbeiten|
NUMMER=1|
ARBEIT=
Wie muss a<sub>B</sub> gewählt werden, damit ...<br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?<br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?<br />
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?


Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.


::::{|border="1" cellspacing="0" cellpadding="4" width="200"
:{{Lösung versteckt|1=
|align = "right"|'''Geschwindigkeit (in km/h)'''
#a<sub>B</sub> = 3,25 m/s<sup>2</sup>
|align = "right"|<font size = "3">10</font>
#a<sub>B</sub> = 5,71 m/s<sup>2</sup>
|align = "right"|<font size = "3">20</font>
#a<sub>B</sub> = 1,73 m/s<sup>2</sup>
|align = "right"|<font size = "3">30</font>
}}
|align = "right"|<font size = "3">40</font>
}}
|align = "right"|<font size = "3">50</font>
|align = "right"|<font size = "3">80</font>
|align = "right"|<font size = "3">100</font>
|align = "right"|<font size = "3">120</font>


|-
|align = "right"|'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;Bremsweg (in m)'''
|align = "right"|<font size = "3">1</font>
|align = "right"|<font size = "3">4</font>
|align = "right"|<font size = "3">9</font>
|align = "right"|<font size = "3">16</font>
|align = "right"|<font size = "3">25</font>
|align = "right"|<font size = "3">64</font>
|align = "right"|<font size = "3">100</font>
|align = "right"|<font size = "3">144</font>


|}
In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt.


&nbsp;
{|


{{Arbeiten|NUMMER=1|
|valign="top"|
{{Arbeiten|  
NUMMER=2|
ARBEIT=
ARBEIT=
#Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem dar. Trage dabei nach rechts die Geschwindigkeit (in km/h) und nach oben den Bremsweg (in m) ein.
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei
#Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen (der keine "Ecken" haben sollte).
#60%,
#Ermittle anhand des Graphen einen Schätzwert für den Bremsweg bei 70 km/h.
#75%
}}
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?
 
Entnimm die erforderlichen Größen dem Video.  
 
 
:{{Lösung versteckt|1=
 
Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s


<br>
Bremswege:<br>
<br>
:s(60%) = 49 m <br>
:s(75%) = 47 m <br>
:s(100%) = 37 m <br>


{{Arbeiten|NUMMER=2|
Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:
ARBEIT=
#a<sub>B</sub> = 7,87 m/s<sup>2</sup>
#Zwischen den Daten der Wertetabelle besteht ein ganz bestimmter Zusammenhang. Versuche eine Formel zu finden, mit deren Hilfe man aus der Geschwindigkeit den Bremsweg berechnen kann.
#a<sub>B</sub> = 8,21 m/s<sup>2</sup>
#In der Fahrschule lernt man: BW = v/10 mal v/10 (Bremsweg = Geschwindigkeit durch 10 mal Geschwindigkeit durch 10).
#a<sub>B</sub> = 10,43 m/s<sup>2</sup>
:Vergleiche diese Formel mit der von dir in a) gefundenen Formel.<br /><br />


andere Möglichkeit:
Formel nach a<sub>B</sub> auflösen und die Werte einsetzen:


:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math>


}}
}}
}}
|valign="top"|
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}


{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|}  
|align = "left" width="600"| {{Arbeiten|NUMMER=3|
ARBEIT= }}
In einem ruhigen Wohnviertel in Niederbremsbach hat Herr Mütze fast ein kleines Mädchen angefahren, das ihrem auf die Straße rollenden Ball hinterher lief. Obwohl das Mädchen mit dem Schrecken davonkam, soll nun geklärt werden, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h gehalten hatte. Dem Unfallprotokoll ist zu entnehmen, dass Herr Mütze eine Bremsspur von 30,25 Metern erzeugt hat.[[Bild:unfall1.gif|right]]
|align = "right"|&nbsp;
|align = "right"|
[[Bild:Bundesarchiv Bild 183-J0710-0303-012, Wismar, Wendorf, Kinder mit Ball.jpg|200px]]
|}




#Entscheide, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hatte.<br />
#Berechne die Geschwindigkeit, die zu einem Bremsweg von 30,25 Metern führt.<br /><br />


Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren.
Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:<br>
<math>s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> und dem Quadrat der Variablen.<br>
Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:


<br />




== Schreibe dir nun die neuen Erkenntnisse, die du in diesem Kapitel erworben hast auf und versuche sie auch mit Hilfe deines Partners zu verstehen! Was ist an Stoff neu hinzugekommen, was war bereits bekannt? Mache dir Gedanken. ==
{{Arbeiten|
NUMMER=3|
ARBEIT=
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v<sup>2</sup>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?


:{{Lösung versteckt|1=
<math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> wird kleiner, wenn a<sub>B</sub> größer wird. Wenn a<sub>B</sub> größer wird, verläuft der Graph flacher.
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> größer, wenn a<sub>B</sub> kleiner wird. Wenn a<sub>B</sub> kleiner wird, verläuft der Graph steiler.


}}
}}




'''''Lösung zur Aufgabe1:'''''<br /> <ggb_applet height="31" width="130" type="button" filename="bremsweg01.ggb" />
 
=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===
 
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form ax². Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.
<br />
<br />
'''''Lösung zur Aufgabe 2:'''''
{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung f(x)=ax² heißen '''Parabeln'''.
:{{Lösung versteckt|1=
 
#z.B. <math>s = 0,01 \cdot v^2</math> oder <math>s = \frac{v^2}{100}</math>(dabei ist s der Bremsweg in Metern und v die Geschwindigkeit in km/h)<br />
Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt S(0;0) heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.
#Fahrschulformel: <math>s = \frac{v}{10} \cdot \frac{v}{10} = \frac{v^2}{100} = \frac{1}{100} \cdot v^2 = 0,01 \cdot v^2</math>. Die Formeln stimmen also überein.<br />
 
: ''Bemerkung: Die Formeln stimmen nur für gewöhnliche, nicht für "Gefahren"-bremsungen.''
Ist a = 1 heißt der Graph '''Normalparabel'''.
}}  
}}
<br />
<br />
'''''Lösung zur Aufgabe 3:'''''
 
 
{{Arbeiten|
NUMMER=4|
ARBEIT=
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:
Was passiert, wenn...<br />
# ...a größer als 1 ist?<br />
# ...a zwischen 0 und 1 liegt?<br />
# ...a negativ ist?<br />
:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².
 
:{{Lösung versteckt|1=
:{{Lösung versteckt|1=
#Nach obiger Tabelle hätte Herr Mütze, falls er sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hätte, allenfalls einen Bremsweg von 25 m haben dürfen.<br />
# Ist a>0, dann ist die Parabel enger als die Normalparabel.
#<math>30,25 = 0,01 \cdot v^2 \Leftrightarrow 3025 = v^2\Leftrightarrow v = \pm \,55</math>
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter als die Normalparabel.
:Nach der Formel aus Aufgabe 1 war Herr Mütze 55 km/h schnell.
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.
:''Bemerkung: Tatsächlich ist der Bremsweg bei einer "Gefahrenbremsung" nur etwa halb so lang wie in der obigen Tabelle angegeben. Geht man von einer "Gefahrenbremsung" aus, so käme man auf eine Geschwindigkeit von fast 78 km/h!''<br />
}}
}}
}}
|width=20px|
|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" />
<br>
Das Applet  zeigt den Graphen einer Funktion f mit f(x) = ax². Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (<span style="color: darkred">nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!</span>).<br />
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.
|}


{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "center"|'''
<br />




<br />


Als nächstes erfährst du, wie die Länge des Bremsweges von der "Bremsbeschleunigung" abhängig ist.'''<br />  
----
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.'''<br />  
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''


|}
|}

Version vom 17. Februar 2009, 20:31 Uhr


Unterschiedliche Straßenverhältnisse

Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten Bremsbeschleunigung zum Ausdruck. Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.

In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:
                  (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit in m/s und aB = Bremsbeschleunigung in m/s²).

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.
Hinweis: Der Einfachkeit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.

GeoGebra


 


Vorlage:Arbeiten


In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung aB von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt.

Vorlage:Arbeiten

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Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren. Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:
. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor und dem Quadrat der Variablen.
Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:


Vorlage:Arbeiten


Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen

Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form ax². Sie zählen daher zu den quadratischen Funktionen. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.


Vorlage:Merksatz


Vorlage:Arbeiten

GeoGebra


Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit f(x) = ax². Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!).
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.




Maehnrot.jpg Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.

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