Trigonometrische Funktionen/Einfluss von b und Trigonometrische Funktionen/Einfluss von c: Unterschied zwischen den Seiten

Version vom 10. Dezember 2018, 13:25 Uhr

FAQ

Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.

Einfluss von c

Wir betrachten nun den Einfluss von $c$ in

x \rightarrow \sin ( x + c )

.

Aufgabe C1

Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von $c$ ändern.
Stelle den Schieberegler auf $c = 1$ ein. Wie ändert sich der Graph?
Überlege dir, wie sich die Werte $c = 2$ und $c = -1$ , sowie $c = 0,5$ und $c = \frac{\pi}{2}$ auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.
Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.

Merke

Man erhält den Graph der Funktion

x \rightarrow \sin ( x + c )

aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung in Richtung der $x$ -Achse. Genauer:

Ist $c$ positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von $c$ nach links verschoben.
Ist $c$ negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von $c$ nach rechts verschoben.

c

wird auch als Phasenverschiebung bezeichnet.

Aufgabe C2

Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!

Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig.

Eine mögliche formale Begründung:

$\sin( x + c )=0$

$\Leftrightarrow x + c = k \cdot \pi; k \in \Z$

$\Leftrightarrow x = k \cdot \pi - c$

Die Bestimmung der Nullstellen von

x \rightarrow \sin ( x + c )

und Vergleich mit den Nullstellen der Sinuskurve zeigt, dass jeder Funktionswert für

c > 0

bereits ein Stück weiter links angenommen wird. Genauer, der Graph wird also für

c > 0

um

c

nach links verschoben und für

c < 0

entsprechend nach rechts.

Aufgabe C3

Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!

$c<-1;$	$-1<c<0;$	$0<c<1;$	$1<c$
				Verschiebung nach oben
				Verschiebung nach unten
				Verschiebung nach rechts
				Verschiebung nach links
				Streckung in $x$ - Richtung / Verkleinerung der Frequenz
				Stauchung in $x$ - Richtung / Vergrößerung der Frequenz
				Streckung in $y$ - Richtung / Vergrößerung der Amplitude
				Stauchung in $y$ - Richtung / Verkleinerung der Amplitude
				Spiegelung an $x$ - Achse
				Spiegelung an $y$ - Achse

Nun betrachten wir den Einfluss von $c$ in

x \rightarrow \cos ( x + c )

.

Aufgabe C4

Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe C1 noch einmal für

cos

.

Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von $c$ genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.

Hefteintrag: Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe C1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!

Zurück zu Station 1: Einfluss der Parameter

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 __NOTOC__
+__NOCACHE__
 ===FAQ===
 [[Trigonometrische_Funktionen/Zum_Nachschlagen|Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.]]
-===Einfluss von b===
+===Einfluss von c===
-Wir betrachten nun den Einfluss von <math> b </math> in
+Wir betrachten nun den Einfluss von <math> c </math> in
-:<math> x \rightarrow \sin ( b \cdot x ) </math>.
+:<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math>.
+{{Box|1=Aufgabe C1|2=
+<ggb_applet height="450" width="900" id="ypthxjcu" />  <br>
-{{Box|1=Aufgabe B1|2=
+# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> c </math> ändern. <br>
-<ggb_applet height="450" width="900" id="e7wkrhyj" /> <br>
+# Stelle den Schieberegler auf <math> c = 1 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br>
+# Überlege dir, wie sich die Werte <math> c = 2  </math> und <math> c = -1 </math>, sowie <math> c = 0,5 </math> und <math> c = \frac{\pi}{2} </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.  <br>
-# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> b </math> ändern. <br>
-# Stelle den Schieberegler auf <math> b = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br>
-# Überlege dir, wie sich die Werte <math> b = 3  </math>  und <math> b = -1 </math> sowie <math> b = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.  <br>
 # Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. <br>
 |3=Arbeitsmethode}}
 {{Lösung versteckt|1=
 {{Box|1=Merke|2=
 Man erhält den Graph der Funktion
-:<math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math>
+:<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math>
-aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>x</math>-Achse. Genauer:
+aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung in Richtung der <math>x</math>-Achse. Genauer:
-* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>b</math> größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>x</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \frac{1}{b} </math> gestaucht.
+* <span style="background-color:yellow;"> Ist <math>c</math> positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> c </math> nach links verschoben.
-* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>b</math> kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>x</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \frac{1}{b} </math> gestreckt.
+* <span style="background-color:yellow;"> Ist <math>c</math> negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> c </math> nach rechts verschoben.
-* <span style="background-color:yellow;"> Falls <math> b </math> negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der <math>y</math>-Achse gespiegelt.
+<math>c</math> wird auch als Phasenverschiebung bezeichnet.|3=Merksatz}}
-Die Periode der Funktion ist <math>\frac{2\pi}{|b|}</math>.</span>
+</span>
-D.h., wenn man z.B. <math>b </math> verdoppelt, so halbiert sich die Periode. |3=Merksatz}}
-[[Bild:N_sin_b.jpg|center]]
+[[Bild:N_sin_c.jpg|center]]
 }}
-{{Box|1=Aufgabe B2|2=
+{{Box|1=Aufgabe C2|2=
 Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!
 |3=Arbeitsmethode}}
 {{Lösung versteckt|1=
 Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig.
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 Eine mögliche formale Begründung:
-:Es gilt:
+<math>\sin( x + c )=0 </math>
-::<math>\sin(x)=\sin\left(b\cdot\frac{x}{b}\right)</math>
+<math> \Leftrightarrow x + c = k \cdot \pi; k \in \Z </math>
-:Dies bedeutet, dass die Funktion <math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math> schon an der Stelle <math>\frac{x}{b}</math> den Funktionswert von <math> x \rightarrow \sin (x ) </math> annimmt.
+<math> \Leftrightarrow x = k \cdot \pi - c </math>
-}}
+Die Bestimmung der Nullstellen von <math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math> und Vergleich mit den Nullstellen der Sinuskurve zeigt, dass jeder Funktionswert für <math>c > 0 </math> bereits ein Stück weiter links angenommen wird. Genauer, der Graph wird also für <math>c > 0</math> um <math>c </math> nach links verschoben und für <math>c < 0 </math> entsprechend nach rechts.}}
-{{Box|1=Aufgabe B3|2=
+{{Box|1=Aufgabe C3|2=
 Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!
 <quiz display="simple">
 }
-| <math>b < -1; </math> | <math> -1 < b < 0; </math> | <math> 0 < b < 1; </math> | <math> 1 < b</math>
+| <math>c<-1; </math> | <math> -1<c<0; </math> | <math> 0<c<1; </math> | <math> 1<c</math>
 ---- Verschiebung nach oben
 ---- Verschiebung nach unten
----- Verschiebung nach rechts
+++-- Verschiebung nach rechts
----- Verschiebung nach links
+--++ Verschiebung nach links
--++- Streckung in <math> x </math>- Richtung / Verkleinerung der Frequenz
+---- Streckung in <math> x </math>- Richtung / Verkleinerung der Frequenz
-+--+ Stauchung in <math> x </math>- Richtung / Vergrößerung der Frequenz
+---- Stauchung in <math> x </math>- Richtung / Vergrößerung der Frequenz
 ---- Streckung in <math> y </math>- Richtung / Vergrößerung der Amplitude
 ---- Stauchung in <math> y </math>- Richtung / Verkleinerung der Amplitude
 ---- Spiegelung an <math> x </math>- Achse
-++-- Spiegelung an <math> y </math>- Achse
+---- Spiegelung an <math> y </math>- Achse
 </quiz>
@@ Zeile 80: / Zeile 74: @@
+Nun betrachten wir den Einfluss von <math> c </math> in
-Nun betrachten wir den Einfluss von <math> b </math> in
+:<math> x \rightarrow \cos ( x + c ) </math>.
-:<math> x \rightarrow \cos ( b\cdot x ) </math>.
+{{Box|1=Aufgabe C4|2=
-{{Box|1=Aufgabe B4|2=
+<ggb_applet height="450" width="900" id="uyzexdzr" /> <br>
-<ggb_applet height="450" width="900" id="kvuvfcnp" /> <br>
-Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe B1 noch einmal für <math>cos</math>.
+Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe C1 noch einmal für <math>cos</math>.
 |3=Arbeitsmethode}}
 {{Lösung versteckt|1=
-Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von <math> b </math> genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.
+Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von <math> c </math> genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.
-[[Bild:N_cos_b.jpg|center]]
-}}
+[[Bild:N_cos_c.jpg|center]]}}
 ----
-<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe B1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!
+<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe C1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!
 ----
 {{Fortsetzung|weiter=Zurück zu Station 1: Einfluss der Parameter|weiterlink=Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter}}
 [[Kategorie:ZUM2Edutags]]

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