Integralrechnung/Integrationsregeln und Wir erforschen den Boden/Wir ermitteln die Bakterienkeimzahl mit einem Testgerät: Unterschied zwischen den Seiten

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==Integrationsregeln==
__NOTOC__
Im Folgenden wirst Du einige elementare Integrationsregeln kennenlernen, die Du beim Integrieren ständig benötigen wirst.
 
<br>
{| class="prettytable"
{{Aufgaben-M|11|
|<table border="1" width="100%">
Kannst Du eine Regel oder Formel für die Integrale unter folgenden Punkten auf Basis Deines bisherigen Wissens angeben? Die Regel soll so allgemein gehalten sein, dass sie eine Berechnung beiliebiger Integrale der folgenden Formen erlauben!
 
# Welchen Wert hat das Integral einer Summe von Funktionen? Was gilt also für <math>\int\limits_a^b f(x) + g(x) \ \mathrm{d}x</math>?
|style="background-color:#EEE9BF ;"|
# Welchen Wert hat das Integral eines Produktes aus einer Zahl und einer Funktion? Was gilt also für <math>\int\limits_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x</math>?
<h3>Wir  erforschen  den  Boden</h3>
}}
|[[Bild:Close-up of mole.jpg|100px|center]]
<br>
|style="background-color:#EEE9BF ;"|
{{Aufgaben-M|12|
'''Vorhergehende Seite:''' '''[[Wir erforschen den Boden/Wir weisen Bakterien mit dem Plattengussverfahren nach|Wir weisen Bakterien mit dem Plattengussverfahren nach]] ''' <br> '''Zur nächsten Seite:'''  '''[[Wir erforschen den Boden/Wir weisen Bodenpilze nach|Wir weisen Bodenpilze nach]]'''
Formuliere selbstständig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral einer Summe von Funktionen gebildet wird. Benutze dafür wieder die Software Geogebra, indem Du die Integrale zweier beliebiger Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> in einem beliebigen Intervall <math>[a;b]</math> bestimmst und mit <math>\int\limits_a^b f(x) + g(x) \ \mathrm{d}x</math> vergleichst.
 
}}
|}
<br>
<includeonly>[[Kategorie:Wir erforschen den Boden]]</includeonly>
<div align="center">
 
<ggb_applet height="30" width="150" type=button useLocalJar="true" showMenuBar="true" showToolBar="true" showAlgebraInput="true" showResetIcon="true" filename="blank.ggb" />
 
</div>
==Wir ermitteln die Bakterienkeimzahl mit einem Testgerät==
<br>
 
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
<center>(verwendet wird ein Testgerät der Firma Millipore)</center>
Es gilt die ''Summenregel für Integrale'':<br>
 
<math>
&nbsp;
\int\limits_a^b \left( f(x) + g(x) \right) \ \mathrm{d}x = \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x + \int\limits_a^b g(x) \ \mathrm{d}x
{| class="prettytable"
</math>. <br>
|<table border="1" width="100%">
Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der einzelnen Integrale der jeweiligen Funktionen. Eine Summe wird also gliedweise integriert.
|style="background-color:#EEE9BF ;" |
}}}}
<h5 align="center">'''Versuchsanstellung'''</h5>
<br>
|-
{{Aufgaben-M|13|
[[Datei:Milliporetestgerät.jpg|300px|center]]
Warum ist die Lösung von Aufgabe 12 plausibel?
 
# Begründe anschaulich anhand der geometrischen Zusammenhänge!
|-
# Begründe anhand der Rechengesetze für Grenzwerte!
| Das Testgerät besteht aus einem 8 cm hohen Kunststoffbehälter. In dem Behälter steckt der sterilisierte Tester. Auf dem Kunststoffhalter des Testers ist eine saugfähige Kartonscheibe angebracht, die ein entwässertes Nährmedium enthält (siehe Skizze). Der Karton wird von einer dünnen Kunststoff-Folie überdeckt, in der sich nebeneinander viele Poren mit einem Durchmesser von nur 0,45/1 000 mm (0,45 Millionstel Meter) befinden.
}}
 
<br>
Wasser kann&nbsp; durch diese Poren treten, Bakterien werden aber zurückgehalten. Wenn der Tester in das Nährmedium eintaucht, saugt sich der Karton mit Wasser voll (1 cm3). Die Bakterien in der Flüssigkeit werden durch die Filterporen festgehalten. Bei entsprechender Wärme entwickeln sich die Bakterien zu sichtbaren Kolonien; diese Kolonien lassen sich auszählen. Das Raster auf dem Filter soll das Auszählen erleichtern. Damit der Tester nicht überfüllt wird, muss die Bakterienzahl durch gezielte Verdünnung verringert werden.
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
|-
# Die Funktionswerte der Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> addieren sich zu den Funktionswerten einer neuen Funktion <math>f(x) + g(x)</math>. Somit addieren sich auch die Flächeninhalte zwischen den Graphen von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> und der x-Achse.
|'''Testerbeschickung'''
# Der Grenzwert einer Summe ist gleich der Summe der einzelnen Grenzwerte, falls die Grenzwerte existieren: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} \left( f(x_i)+g(x_i) \right) \cdot \Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x + \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} g(x_i) \cdot \Delta x</math>
|-
<br>
| Da im voraus nicht abgeschätzt werden kann, wie viele Bakterien sich im Nährmedium befinden, sollen möglichst alle Verdünnungsstufen getestet werden. Ausgewertet werden die Tester an den Stellen, wo die Kolonien nicht ineinander gewachsen sind. Auf dem Tester haben höchstens 300 - 400 Kolonien Platz. Der Tester wird für 30 Sekunden in das Nährmedium eingetaucht; die überschüssige Flüssigkeit soll abtropfen. Der Tester wird jetzt wieder in den Behälter gesteckt und zum Bebrüten für 24 Stunden bei 28 °C in einen Wärmeschrank gestellt.
Zur Schreibweise: <math>\sum</math> ist das Summenzeichen (großes griechisches Sigma), es gilt: <math>\sum_{i=0}^n f(x_i) = f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)</math>, d.h. der Index <math>i</math> durchläuft alle Zahlen von 0 (untere Summengrenze) bis <math>n</math> (obere Summengrenze). Es wird dann die Summe der einzelnen <math>f(x_i)</math> gebildet.
 
}}}}
&nbsp;
<br>
 
{{Aufgaben-M|14|
|}
Formuliere selbstständig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral eines Produktes einer Zahl <math>c</math> mit einer Funktion <math>f(x)</math> gebildet wird. Benutze dafür erneut  Geogebra, indem Du das Integral einer beliebigen Funktion <math>c \cdot f(x)</math> in einem beliebigen Intervall <math>[a;b]</math> bestimmst und mit <math>c \cdot \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x</math> vergleichst, wobei <math>c</math> irgendeine reelle Zahl ist.
 
}}
 
<br>
 
<div align="center">
{| class="prettytable"
<ggb_applet height="30" width="150" type=button useLocalJar="true" showMenuBar="true" showToolBar="true" showAlgebraInput="true" showResetIcon="true" filename="blank.ggb" />
|<table border="1" width="100%">
</div>
|style="background-color:#EEE9BF ;" |
<br>
<h5 align="center">'''Untersuchungsmaterialien'''</h5>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
 
Es gilt die '''Faktorregel für Integrale''': <br>
 
<math>
|-
\int\limits_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x = c \cdot \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x
| Millipore-Testgerät
</math>. <br>
 
Das Integral eines Produktes aus einem konstanten Faktor und einer Funktion ist gleich dem Produkt des konstanten Faktors und des Integrals der Funktion.  
|-
}}}}
| Erlenmeyerkolben (250 ml mit Stopfen)
<br>
 
{{Aufgaben-M|15|
|-
Führe wieder die Plausbilitätsüberlegungen zur Lösung von Aufgabe 14!
| Pipetten
# Begründe anschaulich anhand der geometrischen Zusammenhänge!
 
# Begründe anhand der Rechengesetze für Grenzwerte!
|-
}}
| Messzylinder
<br>
 
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
|-
# Die Funktionswerte der Funktion <math>f(x)</math> werden mit dem konstanten Faktor <math>c</math> gestreckt. Somit werden auch die Flächeninhalte zwischen dem Graphen von <math>f(x)</math> und der x-Achse mit dem konstanten Faktor <math>c</math> gestreckt.
| 1 000 ml sterile 0,%ige Natriumpyrophosphatlösung
# Der Grenzwert eines Produkts aus einem konstanten Faktor und einer Funktion ist gleich dem Produkt des Faktors und des Grenzwertes, falls dieser existiert: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} c \cdot f(x_i) \cdot \Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \ c \cdot \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x = c \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x</math>
 
<br>
|-
Bemerkung: Das erste Gleichheitszeichen gilt aufgrund des Distributivgesetzes, das zweite aufgrund der Grenzwertsätze.
| Wärmeschrank
}}}}
 
<br>
|-
{{Aufgaben-M|16|
| Alufolie
# Bearbeite S.70,Nr.14 im Buch (LK-Buch) oder S.54,Nr.14 (GK-Buch) und überzeuge Dich dann von der Gültigkeit der '''Intervalladditivität des Integrals''' mit Hilfe von Geogebra, indem Du Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> sowie Grenzen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> so wählst, dass die Zusammenhänge ersichtlich werden!
 
# Beschreibe Deine Vorgehensweise in 1. Schritt für Schritt in kurzen Stichpunkten!
|-
}}
| Erdprobe
<br>
 
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
|}
# Ist <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>, dann gilt nach dem 1. Hauptsatz:
 
  <br>
 
  <math>\int\limits_{a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x + \int\limits_{b}^{c} f(x) \ \mathrm{d}x = \left[  
 
  F(x) \right]_a^b + \left[ F(x) \right]_b^c = \left[ F(b) - F(a) \right] + \left[ F(c) - F(b)
 
  \right] = F(c) - F(a) = \int\limits_{a}^{c} f(x) \ \mathrm{d}x</math>
{| class="prettytable"
# Eine Lösung könnte beispielsweise folgendermaßen aussehen:
|<table border="1" width="100%">
## Definiere in Geogebra zwei beliebige Funktionen <math>f</math> und <math>g</math>.
|style="background-color:#EEE9BF ;" |
## Definiere beliebige Intervallgrenzen <math>a, \ b \ \mathrm{und} \ c</math>.
<h5 align="center">'''Versuchsdurchführung'''</h5>
## Verschiebe die Intervallgrenzen und beobachte die Werte der Integrale bzw. des Integrals.
|-
## Erkenne, dass ...
| a) Nimm 1 g Boden. Schwemme die Bodenproben in Natriumpyrophosphatlösung auf. Setze die Verdünnungsreihe an. Fülle die verdünnten Suspensionen in je einen leeren Plastikbehälter eines Millipore-Geräts
}}}}
 
<br>
|-
<div align="center">
| b) Tauche den Tester in die Nährflüssigkeit; lass die Flüssigkeit abtropfen. Der Karton saugt 1 ml Flüssigkeit auf.
[[Mathematik-digital/Integral/Hauptsatz|<<Zurück<<]] &nbsp; &nbsp; [[Mathematik-digital/Integral/Aufgaben II|>>Weiter>>]]
 
</div>
|-
<br>
| c) Setze den Tester wieder in den Plastikbehälter. Kennzeichne sorgfältig jede einzelne Verdünnungsstufe.
{{Navigation Lernpfad Integral}}
 
|-
| d) Stelle das Testgerät für 24 Stunden bei ca. 28 °C in den Wärmeschrank.
 
 
| e) Zähle die Kolonienzahl aus und berechne. Eine Kolonie war ursprünglich eine Bakterie.
|}
{{Kasten_rot|}}
 
 
 
'''Sicherheitshinweis:''' Bodenpilze nicht offen auszählen. Tester vor dem Auszählen mit durchsichtiger Plastikhülle isolieren.
{{Kasten_rot|}}
 
 
 
 
 
{| class="prettytable"
|<table border="1" width="100%">
|style="background-color:#EEE9BF ;" |  
<h5 align="center">'''Auswertung'''</h5>
 
|-
| Es wird 1 ml der 1 :10 verdünnten Stammlösung vom Tester aufgenommen. Um nun eine Angabe über die Bakterienmenge in 1 g Erde machen zu können, muss die Anzahl der ausgezahlten Kolonien mit dem Faktor 100 mal-genommen werden (im Erlenmeyerkolben befanden sich 100 ml Flüssigkeit).
 
|-
| Das Ergebnis muss nun mit dem Faktor 10 malgenommen werden (die Verdünnung im Erlenmeyerkolben beträgt 1 10). In entsprechender Weise wird mit den übrigen Verdünnungen verfahren.
 
|-
| Verständnisfragen&nbsp; und Anweisungen zum Experiment "Wir ermitteln die Bakterienkeimzahl mit dem Millipore-Testgerät"
 
|-
| 1. Was hast du in diesem Experiment getan?
 
|-
| 2. Beschreibe den Aufbau und die Funktionsweise des Testgerätes.  
 
|-
| 3. Warum können die Bakterien nicht direkt unter dem Mikroskop ausgezählt werden?
 
|}
 
 
[[Datei:Verdünnungsreihe1.jpg|800px]]
 
{| class="prettytable"
|<table border="1" width="100%">
|style="background-color:#EEE9BF ;" |
<h5 align="center">'''Informationen zu Bakterien'''</h5>
 
[[Bild:close-up of mole.jpg|120px|zum Link]]
[http://images.google.de/imgres?imgurl=http://www.gym-gevelsberg.de/chemie_projekt/LPIC0391.JPG&imgrefurl=http://www.gym-gevelsberg.de/chemie_projekt/InfosBb.html&usg=__XlfoPYY9lhjjN1u46TCCbWjfgTg=&h=538&w=716&sz=46&hl=de&start=54&tbnid=EOKqZi3HRzTRdM:&tbnh=105&tbnw=140&prev=/images%3Fq%3Dbodenbakterien%26start%3D40%26gbv%3D2%26ndsp%3D20%26hl%3Dde%26sa%3DN| Bakterien]
 
|-
|Im Boden leben unzählige Bakterien (von griechisch "bakterion" = Stäbchen). Sie gewähren den Nährstoffumsatz, stabilisieren die Bodenstruktur, verbessern die Wasserspeicherung und fördern das Pflanzenwachstum.
 
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|}

Version vom 12. März 2009, 14:35 Uhr


Wir erforschen den Boden
Close-up of mole.jpg

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Wir ermitteln die Bakterienkeimzahl mit einem Testgerät

(verwendet wird ein Testgerät der Firma Millipore)

 

Milliporetestgerät.jpg


Versuchsanstellung
Das Testgerät besteht aus einem 8 cm hohen Kunststoffbehälter. In dem Behälter steckt der sterilisierte Tester. Auf dem Kunststoffhalter des Testers ist eine saugfähige Kartonscheibe angebracht, die ein entwässertes Nährmedium enthält (siehe Skizze). Der Karton wird von einer dünnen Kunststoff-Folie überdeckt, in der sich nebeneinander viele Poren mit einem Durchmesser von nur 0,45/1 000 mm (0,45 Millionstel Meter) befinden.

Wasser kann  durch diese Poren treten, Bakterien werden aber zurückgehalten. Wenn der Tester in das Nährmedium eintaucht, saugt sich der Karton mit Wasser voll (1 cm3). Die Bakterien in der Flüssigkeit werden durch die Filterporen festgehalten. Bei entsprechender Wärme entwickeln sich die Bakterien zu sichtbaren Kolonien; diese Kolonien lassen sich auszählen. Das Raster auf dem Filter soll das Auszählen erleichtern. Damit der Tester nicht überfüllt wird, muss die Bakterienzahl durch gezielte Verdünnung verringert werden.

Testerbeschickung
Da im voraus nicht abgeschätzt werden kann, wie viele Bakterien sich im Nährmedium befinden, sollen möglichst alle Verdünnungsstufen getestet werden. Ausgewertet werden die Tester an den Stellen, wo die Kolonien nicht ineinander gewachsen sind. Auf dem Tester haben höchstens 300 - 400 Kolonien Platz. Der Tester wird für 30 Sekunden in das Nährmedium eingetaucht; die überschüssige Flüssigkeit soll abtropfen. Der Tester wird jetzt wieder in den Behälter gesteckt und zum Bebrüten für 24 Stunden bei 28 °C in einen Wärmeschrank gestellt.

 


Untersuchungsmaterialien


Millipore-Testgerät
Erlenmeyerkolben (250 ml mit Stopfen)
Pipetten
Messzylinder
1 000 ml sterile 0,%ige Natriumpyrophosphatlösung
Wärmeschrank
Alufolie
Erdprobe



Versuchsdurchführung
a) Nimm 1 g Boden. Schwemme die Bodenproben in Natriumpyrophosphatlösung auf. Setze die Verdünnungsreihe an. Fülle die verdünnten Suspensionen in je einen leeren Plastikbehälter eines Millipore-Geräts
b) Tauche den Tester in die Nährflüssigkeit; lass die Flüssigkeit abtropfen. Der Karton saugt 1 ml Flüssigkeit auf.
c) Setze den Tester wieder in den Plastikbehälter. Kennzeichne sorgfältig jede einzelne Verdünnungsstufe.
d) Stelle das Testgerät für 24 Stunden bei ca. 28 °C in den Wärmeschrank.


e) Zähle die Kolonienzahl aus und berechne. Eine Kolonie war ursprünglich eine Bakterie.

Vorlage:Kasten rot


Sicherheitshinweis: Bodenpilze nicht offen auszählen. Tester vor dem Auszählen mit durchsichtiger Plastikhülle isolieren. Vorlage:Kasten rot



Auswertung
Es wird 1 ml der 1 :10 verdünnten Stammlösung vom Tester aufgenommen. Um nun eine Angabe über die Bakterienmenge in 1 g Erde machen zu können, muss die Anzahl der ausgezahlten Kolonien mit dem Faktor 100 mal-genommen werden (im Erlenmeyerkolben befanden sich 100 ml Flüssigkeit).
Das Ergebnis muss nun mit dem Faktor 10 malgenommen werden (die Verdünnung im Erlenmeyerkolben beträgt 1 10). In entsprechender Weise wird mit den übrigen Verdünnungen verfahren.
Verständnisfragen  und Anweisungen zum Experiment "Wir ermitteln die Bakterienkeimzahl mit dem Millipore-Testgerät"
1. Was hast du in diesem Experiment getan?
2. Beschreibe den Aufbau und die Funktionsweise des Testgerätes.
3. Warum können die Bakterien nicht direkt unter dem Mikroskop ausgezählt werden?


Verdünnungsreihe1.jpg

Informationen zu Bakterien

zum Link 

Bakterien
Im Boden leben unzählige Bakterien (von griechisch "bakterion" = Stäbchen). Sie gewähren den Nährstoffumsatz, stabilisieren die Bodenstruktur, verbessern die Wasserspeicherung und fördern das Pflanzenwachstum.

 

 

 

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