Main>Karl Kirst |
Main>Michael Schuster |
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| | Hallo, |
| |{{Lernpfad-M|{{Kurzinfo-1|M-digital}}
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| [[Bild:Integral Titel.png|200px|left]]In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/index.htm Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe [http://www.austromath.at/medienvielfalt/ Medienvielfalt im Mathematikunterricht] entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist.
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| <br>'''Voraussetzungen: '''
| | mein Name ist Michael Schober |
| <br>'''Zeitbedarf: ''' etwa 3 Schulstunden
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| <br>'''Materialien:'''{{pdf|Infini_AB1.pdf|Das bestimmte Integral}}; {{pdf|Infini AB02.pdf|Aufgaben mit Lösung}}; {{pdf|Infini_AB7.pdf|Integralfunktion}}
| | Ich bin 26 Jahre alt und studiere Mathematik und Sport auf Lehramt für Realschule. |
| }}
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| | Momentan befinde ich mich im 8. Hochschulsemester. |
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| ==Das Flächenproblem==
| | Grund meiner Mitgliedschaft im wikis: |
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| | - Erstellen eines Lernpfads |
| |[[Bild:Integral Grundstück.png|200px|left]]
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| |Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.
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| *Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]?
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| *Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/index.htm Wasserverbrauch]?
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| |}
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| | - Erarbeiten einer Zulassungsarbeit |
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| | __NOTOC__ |
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| ==Unter- und Obersumme==
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| [[bild:Int_abb1.png|220px|right]]
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| *Begriffsklärung [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/index.htm Untersumme/Obersumme]
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| *'''Aufgabe''': Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².
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| #Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
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| #Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
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| #Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
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| # Lösung:
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| <popup name="Lösung">
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| Wir zerlegen das [0;4] in 8 Teilintervalle. Jedes Teilintervall ist 0,5 breit. <br>Zu den x-Werten 0; 0,5; 1; 1,5;.....4 gehören die folgenden y-Werte:
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| x | 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
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| -----------------------------------------------------------
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| f(x)| 0 0,0625 0,25 0,5625 1 1,5625 2,25 3,0625 4
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| Für den '''Flächeninhalt der Obersumme''' gilt:<br>
| | {{Lernpfad| |
| S = f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + f (1) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (4) <math>\cdot</math> 0,5 = 0,5 <math>\cdot</math>f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375 <br>
| | ===[[/Die Quadratische Funktion stellt sich vor/]]=== |
| | }} |
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| Für den '''Flächeninhalt der Untersumme''' gilt:<br>
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| s = f (0) <math>\cdot</math> 0,5 + f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (3,5) <math>\cdot</math> 0,5 = 4,375 <br>
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| '''Mittelwert: 5,375'''
| | {{Lernpfad| |
| </popup>
| | ===[[/Die Quadratische Funktion "f(x) = (x - xs)² + ys" - Die Scheitelpunktsform/]]=== |
| | }} |
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| *Berechnung von Unter- und Obersummen mit [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/index.htm GeoGebra]
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| | {{Lernpfad| |
| | ===[[/Die Normalform "f(x) = x² + bx + c"/]]=== |
| | }} |
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| | {{Lernpfad| |
| | ===[[/Der Graph der quadratischen Funktion "f(x) = ax²"/]]=== |
| | }} |
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| ==Das bestimmte Integral==
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| *Informiere dich im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral"}} über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral".
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| *Auf dem {{pdf|Infini AB02 ohne Lösung.pdf|Arbeitsblatt}} sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! {{pdf|Infini AB02L.pdf|Lösung}}
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| *Berechne: <math>\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>
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| *Überprüfe die Lösung mit folgendem {{Ggb|LP_best_Int.ggb|Applet}}, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!
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| | | {{Lernpfad| |
| | | ===[[/Die Scheitelpunkts- und Normalform und der Parameter a/]]=== |
| | | }} |
| ==Flächenberechnung==
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| [[bild:Int_abb2a.png|220px|right]] | |
| *[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue1.htm Aufgaben zur Flächenberechnung] mit Geogebra
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| * Kläre die Bedeutung des Begriffs [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue2.htm "negativer Flächeninhalt"]!
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| *Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse]!
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| ==Integralfunktion==
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| * Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Integralfunktion]. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
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| *Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
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| *Bearbeite nun als Zusammmenfassung das {{pdf|Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt "Die Integralfunktion"}}.
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| ==Zusätzliche Übungsaufgaben==
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| *[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/beispiel_unb_grenze.htm Integration mit unbekannten Grenzen]
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| ==Für Interessierte== | |
| *Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mit [http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm ausführlichem Beweis]
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| *Informiere dich im Internet über die Geschichte der Integralrechnung.
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| *Bei welchen Fragestellungen kommt die Integralrechung zum Einsatz? Finde möglichst vielfältige Beispiele.
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| {{Mitgewirkt|
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| *[[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]]
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| *[[Benutzer:Andrea schellmann|Andrea Schellmann]]}}
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| {{SORTIERUNG:Einführung in die Integralrechnung}}
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| [[Kategorie:Integralrechnung|!]]
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| [[Kategorie:Mathematik in der Oberstufe]]
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