Trigonometrische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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*Extrema:
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**Es gibt keine Hochpunkte und Tiefpunkte, da <math>\operatorname{f'(x)}</math> an keiner Stelle den Wert 0 annimmt.
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*Symmetrie:
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**punktsymmetrisch zum Koordinatensystem  <math>\operatorname{\tan(-x)=-\tan(x)}</math>
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*<math>\operatorname{\sin^2 x +\cos^2x =1}</math>
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**Pythagoras lautet <math>\operatorname{a^2 + b^2 = c^2}</math>. Die Kathete und die Ankathete sind <math>\operatorname{\sin \alpha}</math> und <math>\operatorname{\cos \alpha}</math>. Die Hypotenuse hat die Länge <math>\operatorname{1}</math>.
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**Es gilt <math>\operatorname{1^2 = 1}</math>.
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<big>'''Additionstheoreme'''</big><br>
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*<math>\operatorname{\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta}</math>
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*<math>\operatorname{\sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta}</math>
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*<math>\operatorname{\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha\cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta}</math>
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*<math>\operatorname{\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha\cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta}</math>
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*<math>\operatorname{\tan(\alpha+\beta)=\frac{(\tan \alpha+ \tan \beta)}{(1-\tan \alpha \cdot \tan \beta)}}</math>
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*<math>\operatorname{\tan(\alpha-\beta)=\frac{(\tan \alpha- \tan \beta)}{(1+\tan \alpha \cdot \tan \beta)}}</math>
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== Lernpfade ==
 
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Version vom 11. Januar 2011, 23:24 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Ableitung und Stammfunktion

Ableitung und Stammfunktion von Trigonometrischen Funktionen
\operatorname{} sin(x) cos(x) tan(x) arc sin(x) arc cos(x) arc tan(x)
F(x) \operatorname{-cos(x)} \operatorname{sin(x)} \operatorname{-\ln|\cos x|} \operatorname{x \arcsin x+\sqrt{1-x^2}} \operatorname{x \arccos x-\sqrt{1-x^2}} \operatorname{x \arctan x-\tfrac 12\ln\left(1+x^2\right)}
f '(x) \operatorname{cos(x)} \operatorname{-sin(x)} \operatorname{1+tan^2(x)} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \operatorname{\frac{1}{x^2+1}}

Eigenschaften der Funktionen

Funktionsgraphen

Eigenschaften der Sinusfunktion

  • Funktion:
    • \operatorname{f(x)=\sin(x)}
  • Definitionsbereich:
    • x\in\mathbb{R}
  • Wertebereich:
    • \operatorname{[-1;1]}
  • Nullstellen:
    • f(0)=k\cdot 180^\circ
    • bzw. \operatorname{f(0)=k\cdot \pi}
    • wobei k\in\mathbb{Z}
  • Hochpunkte:
    • bei x\in[0;2\pi]  ; x=\frac{\pi}{2}
    • bzw. x=90^\circ
  • Tiefpunkte:
    • bei x\in[0;2\pi]  ; x=\frac{3}{2}\pi
    • bzw. x=270^\circ
  • Periode:
    • 360^\circ bzw. \operatorname{2\pi}
  • Symmetrie:
    • punktsymmetrisch zum Ursprung \operatorname{\sin(-x)=-\sin(x)}

Eigenschaften der Cosinusfunktion

  • Funktion:
    • \operatorname{f(x)=\cos(x)}
  • Definitionsbereich:
    • x\in\mathbb{R}
  • Wertebereich:
    • \operatorname{[-1;1]}
  • Nullstellen:
    • f(0)=90^\circ+k\cdot 180^\circ
    • bzw. f(0)=\frac{\pi}{2}+k\cdot \pi
    • wobei k\in\mathbb{Z}
  • Hochpunkte:
    • bei x\in[0;2\pi]  ; \operatorname{x=0} ; \operatorname{x=2\pi}
    • bzw. x=0^\circ ; x=360^\circ
  • Tiefpunkte:
    • bei x\in[0;2\pi]  ; \operatorname{x=\pi}
    • bzw. x=180^\circ
  • Periode:
    • 360^\circ bzw. \operatorname{2\pi}
  • Symmetrie:
    • achsensymmetrisch zur y-Achse \operatorname{\cos(-x)=\cos(x)}


Eigenschaften der Tangensfunktion

  • Funktion:
    • \operatorname{f(x)=\tan(x)}
  • Definitionsbereich:
    • x\in\mathbb{R}\setminus \left \{(2k+1)\cdot \frac{\pi}{2} \right \}
  • Wertebereich:
    • \operatorname{\mathbb{R}}
  • Nullstellen:
    • f(0)=k\cdot 180^\circ
    • bzw. \operatorname{f(0)=k\cdot \pi}
    • wobei k\in\mathbb{Z}
  • Extrema:
    • Es gibt keine Hochpunkte und Tiefpunkte, da \operatorname{f'(x)} an keiner Stelle den Wert 0 annimmt.
  • Periode:
    • 180^\circ bzw. \operatorname{\pi}
  • Symmetrie:
    • punktsymmetrisch zum Koordinatensystem \operatorname{\tan(-x)=-\tan(x)}


trigonometrischer Pythagoras

  • \operatorname{\sin^2 x +\cos^2x =1}
    • Pythagoras lautet \operatorname{a^2 + b^2 = c^2}. Die Kathete und die Ankathete sind \operatorname{\sin \alpha} und \operatorname{\cos \alpha}. Die Hypotenuse hat die Länge \operatorname{1}.
    • Es gilt \operatorname{1^2 = 1}.


Additionstheoreme

  • \operatorname{\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta}
  • \operatorname{\sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta}
  • \operatorname{\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha\cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta}
  • \operatorname{\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha\cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta}
  • \operatorname{\tan(\alpha+\beta)=\frac{(\tan \alpha+ \tan \beta)}{(1-\tan \alpha \cdot \tan \beta)}}
  • \operatorname{\tan(\alpha-\beta)=\frac{(\tan \alpha- \tan \beta)}{(1+\tan \alpha \cdot \tan \beta)}}

Lernpfade

Mathematik-digital Pfeil-3d.png  Die trigonometrischen Funktionen
Benutzer:MarinaMueller/Trigonometrische Funktionen
Pentagramm neu.png Trigonometrische Funktionen - im Medienvielfalt-Wiki

Einsatz einer Tabellenkalkulation

Funktionsplotter-Einsatz

Siehe auch