Trigonometrische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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=== trigonometrischer Pythagoras ===
 
=== trigonometrischer Pythagoras ===
  
*<math>\operatorname{\sin^2 x +\cos^2x =1}</math>
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**Pythagoras lautet <math>\operatorname{a^2 + b^2 = c^2}</math>. Die Kathete und die Ankathete sind <math>\operatorname{\sin \alpha}</math> und <math>\operatorname{\cos \alpha}</math>. Die Hypotenuse hat die Länge <math>\operatorname{1}</math>.  
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::Pythagoras lautet <math>\operatorname{a^2 + b^2 = c^2}</math>. Die Kathete und die Ankathete sind <math>\operatorname{\sin \alpha}</math> und <math>\operatorname{\cos \alpha}</math>. Die Hypotenuse hat die Länge <math>\operatorname{1}</math>.  
**Es gilt <math>\operatorname{1^2 = 1}</math>.
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::Es gilt <math>\operatorname{1^2 = 1}</math>.
  
  
 
=== Additionstheoreme ===
 
=== Additionstheoreme ===
  
*<math>\operatorname{\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta}</math>
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:<math>\operatorname{\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta}</math>
*<math>\operatorname{\sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta}</math>
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:<math>\operatorname{\sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta}</math>
*<math>\operatorname{\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha\cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta}</math>
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:<math>\operatorname{\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha\cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta}</math>
*<math>\operatorname{\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha\cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta}</math>
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:<math>\operatorname{\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha\cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta}</math>
*<math>\operatorname{\tan(\alpha+\beta)=\frac{(\tan \alpha+ \tan \beta)}{(1-\tan \alpha \cdot \tan \beta)}}</math>
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:<math>\operatorname{\tan(\alpha+\beta)=\frac{(\tan \alpha+ \tan \beta)}{(1-\tan \alpha \cdot \tan \beta)}}</math>
*<math>\operatorname{\tan(\alpha-\beta)=\frac{(\tan \alpha- \tan \beta)}{(1+\tan \alpha \cdot \tan \beta)}}</math>
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:<math>\operatorname{\tan(\alpha-\beta)=\frac{(\tan \alpha- \tan \beta)}{(1+\tan \alpha \cdot \tan \beta)}}</math>
  
  

Version vom 11. Januar 2011, 23:36 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Lernpfade

Mathematik-digital Pfeil-3d.png  Die trigonometrischen Funktionen
Benutzer:MarinaMueller/Trigonometrische Funktionen
Pentagramm neu.png Trigonometrische Funktionen - im Medienvielfalt-Wiki

Ableitung und Stammfunktion

Ableitung und Stammfunktion von Trigonometrischen Funktionen
\operatorname{} sin(x) cos(x) tan(x) arc sin(x) arc cos(x) arc tan(x)
F(x) \operatorname{-cos(x)} \operatorname{sin(x)} \operatorname{-\ln|\cos x|} \operatorname{x \arcsin x+\sqrt{1-x^2}} \operatorname{x \arccos x-\sqrt{1-x^2}} \operatorname{x \arctan x-\tfrac 12\ln\left(1+x^2\right)}
f '(x) \operatorname{cos(x)} \operatorname{-sin(x)} \operatorname{1+tan^2(x)} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \operatorname{\frac{1}{x^2+1}}


Eigenschaften der Funktionen

Funktionsgraphen

Eigenschaften der Sinusfunktion

Funktion
\operatorname{f(x)=\sin(x)}
Definitionsbereich
x\in\mathbb{R}
Wertebereich
\operatorname{[-1;1]}
Nullstellen
f(0)=k\cdot 180^\circ
bzw. \operatorname{f(0)=k\cdot \pi}
wobei k\in\mathbb{Z}
Hochpunkte
bei x\in[0;2\pi]  ; x=\frac{\pi}{2}
bzw. x=90^\circ
Tiefpunkte
bei x\in[0;2\pi]  ; x=\frac{3}{2}\pi
bzw. x=270^\circ
Periode
360^\circ bzw. \operatorname{2\pi}
Symmetrie
punktsymmetrisch zum Ursprung \operatorname{\sin(-x)=-\sin(x)}


Eigenschaften der Cosinusfunktion

Funktion
\operatorname{f(x)=\cos(x)}
Definitionsbereich
x\in\mathbb{R}
Wertebereich
\operatorname{[-1;1]}
Nullstellen
f(0)=90^\circ+k\cdot 180^\circ
bzw. f(0)=\frac{\pi}{2}+k\cdot \pi
wobei k\in\mathbb{Z}
Hochpunkte
bei x\in[0;2\pi]  ; \operatorname{x=0} ; \operatorname{x=2\pi}
bzw. x=0^\circ ; x=360^\circ
Tiefpunkte
bei x\in[0;2\pi]  ; \operatorname{x=\pi}
bzw. x=180^\circ
Periode
360^\circ bzw. \operatorname{2\pi}
Symmetrie
achsensymmetrisch zur y-Achse \operatorname{\cos(-x)=\cos(x)}


Eigenschaften der Tangensfunktion

Funktion
\operatorname{f(x)=\tan(x)}
Definitionsbereich
x\in\mathbb{R}\setminus \left \{(2k+1)\cdot \frac{\pi}{2} \right \}
Wertebereich
\operatorname{\mathbb{R}}
Nullstellen
f(0)=k\cdot 180^\circ
bzw. \operatorname{f(0)=k\cdot \pi}
wobei k\in\mathbb{Z}
Extrema
Es gibt keine Hochpunkte und Tiefpunkte, da \operatorname{f'(x)} an keiner Stelle den Wert 0 annimmt.
Periode
180^\circ bzw. \operatorname{\pi}
Symmetrie
punktsymmetrisch zum Koordinatensystem \operatorname{\tan(-x)=-\tan(x)}


trigonometrischer Pythagoras

\operatorname{\sin^2 x +\cos^2x =1}
Pythagoras lautet \operatorname{a^2 + b^2 = c^2}. Die Kathete und die Ankathete sind \operatorname{\sin \alpha} und \operatorname{\cos \alpha}. Die Hypotenuse hat die Länge \operatorname{1}.
Es gilt \operatorname{1^2 = 1}.


Additionstheoreme

\operatorname{\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta}
\operatorname{\sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta}
\operatorname{\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha\cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta}
\operatorname{\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha\cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta}
\operatorname{\tan(\alpha+\beta)=\frac{(\tan \alpha+ \tan \beta)}{(1-\tan \alpha \cdot \tan \beta)}}
\operatorname{\tan(\alpha-\beta)=\frac{(\tan \alpha- \tan \beta)}{(1+\tan \alpha \cdot \tan \beta)}}


Einsatz einer Tabellenkalkulation

Funktionsplotter-Einsatz

Siehe auch