|
|
| Zeile 1: |
Zeile 1: |
| =Bruchteil, Anteil und Ganzes bei der Bruchrechnung=
| | Für ganzrationale Funktionen ist der Definitionsbereich immer ganz <math>\mathbb{R}.</math> |
| {{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Bruchteil, Anteil und Ganzes bei der Bruchrechnung"!<br><br>
| |
|
| |
|
| Dieser Lernpfad wurde erstellt, um dein Wissen und deine Fähigkeiten im Umgang mit dem Bruchteil, Anteil und Ganzem innerhalb der Bruchrechnung zu verbessern.<br><br>
| | Bei gebrochen rationalen Funktionen gibt es ggf. Definitionslücken bei den Nullstellen des Nenners. |
|
| |
|
| Dafür erhältst du zuerst eine kurze '''Übersicht über Bruchteil, Anteil und Ganzes'''. Im zweiten Abschnitt wird dir die Möglichkeit geboten, den Bruchteil zu '''berechnen''', wenn Anteil und Ganzes gegeben sind. Du findest dabei immer zuerst eine Förderaufgabe zur jeweiligen Berechnungsweise, bevor du diese dann in einer weiteren Aufgabe jeweils üben kannst. <br><br>
| |
|
| |
|
| [[Datei:Förderaufgabe.png|100px]] In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit diesem Bild. Diese Aufgaben sind Förderaufgaben und unterstützen dich besonders stark beim Umgang mit den neuen Inhalten. <br><br>
| |
|
| |
|
| Einige Aufgaben sind interaktiv gestaltet. Wenn du alle nötigen Angaben in die dafür vorgesehenen Felder geschrieben hast, oder alle Dinge passend einander zugeordnet hast, dann kannst du deine Lösung überprüfen, indem du auf diesen Button drückst: [[Datei:Eingabebutton.png|40px]]. Dieser befindet sich in der rechten unteren Ecke.<br><br>
| | <span class="brainy hdg-lamp2 fa-3x" "></span> {border: thick dotted red; Definitionsbereich |
|
| |
|
| In manchen Aufgaben musst du Brüche hinschreiben. Dies gelingt dir, indem du folgende Schreibweise verwendest: Schreibe 1/2 um den Bruch <math> \frac{1}{2} </math> einzutragen. |Lernpfad
| | <math>x^2-4 = (x+2)(x-2) = 0 |
| }}
| | </math> |
|
| |
|
| ==Was sind nochmal Bruchteil, Anteil und das Ganze?==
| | <math>x_1= 2 \quad x_2=-2 </math> |
| {{Box|Info|In diesem Abschnitt kannst du dir nochmal an zwei konkreten Beispielen anschauen, was <span style="color: red">Bruchteil </span>, <span style="color: green">Anteil </span> und <span style="color: blue">Ganzes </span> sind.|Kurzinfo
| |
| }}Immer wenn wir einen Bruch gegeben haben, dann können wir den <span style="color: red">Bruchteil </span>, den <span style="color: green">Anteil </span> und das <span style="color: blue">Ganze </span> bestimmen. Als Ausgangspunkt dient das <span style="color: blue">Ganze </span>, von dem nur ein bestimmter Teil betrachtet werden soll (der <span style="color: red">Bruchteil </span>). Der <span style="color: green">Anteil </span> stellt immer das Verhältnis zwischen dem <span style="color: red">Bruchteil </span> und dem <span style="color: blue">Ganzen </span> dar. Der <span style="color: green">Anteil </span> ergibt sich, indem der <span style="color: red">Bruchteil </span> durch das <span style="color: blue">Ganze </span> dividiert wird.
| |
|
| |
|
| In den folgenden zwei Beispielen, kannst du dir diese drei Teile eines Bruches (<span style="color: red">Bruchteil </span>, <span style="color: green">Anteil </span>, <span style="color: blue">Ganzes </span>) mithilfe von zwei Abbildungen anschauen.
| | <math>\Rightarrow</math>Definitionslücken bei <math>x_1= 2 </math> und <math>x_2= -2 </math> <math>\Rightarrow</math><math>\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}</math>} |
| | |
| <br />{{Box|Beispiel
| |
| | 2 = '''Betrachte <math>\frac{3}{4}</math> eines Kreises.'''
| |
| | |
| {{(!}} class=wikitable
| |
| {{!-}}
| |
| {{!}} [[Datei:Darstellung kontinuierliches Ganzes.png|900px]]
| |
| {{!-}}
| |
| {{!}}
| |
| Der gesamte Kreis stellt bei diesem Beispiel das <span style="color: blue">Ganze </span> dar, auf das sich der <span style="color: red">Bruchteil </span> und der <span style="color: green">Anteil </span> beziehen.
| |
| | |
| Das <span style="color: blue">Ganze </span> kann nun in 4 gleich große Teile (4 Viertelkreise) unterteilt werden. Dabei ergeben die 3 farbig markierten Teile zusammen den <span style="color: red">Bruchteil </span>.
| |
| | |
| Der <span style="color: green">Anteil </span> gibt das Verhältnis zwischen dem <span style="color: red">Bruchteil </span> und dem <span style="color: blue">Ganzen </span> wieder. Es sind 3 von 4 Viertelkreisen farbig markiert (→ <math>\frac{3}{4}</math>)
| |
| {{!-}}
| |
| {{!)}}
| |
| | 3 = Beispiel
| |
| }}Im ersten Beispiel wird das <span style="color: blue">Ganze </span> durch eine geometrische Form (Kreis) dargestellt. Du wirst aber auch mit <span style="color: blue">Ganzen </span> arbeiten müssen, welche nur aus einer Menge (Zahl) bestehen. In einem zweiten Beispiel kannst du dir anschauen, was in so einem Fall der <span style="color: red">Bruchteil </span>, <span style="color: green">Anteil </span> und das <span style="color: blue">Ganze </span> sind.
| |
| <br />{{Box|Beispiel
| |
| | 2 = '''Betrachte nun <math>\frac{3}{4}</math> von 8.'''
| |
| | |
| {{(!}} class=wikitable
| |
| {{!-}}
| |
| {{!}} [[Datei:Trias Darstellung diskretes Ganzes 8 Sterne.png|900px]]
| |
| {{!-}}
| |
| {{!}} Die 8 Sterne stellen in diesem Beispiel das <span style="color: blue">Ganze </span> dar, auf das sich der <span style="color: red">Bruchteil </span> und der <span style="color: green">Anteil </span> beziehen.
| |
| | |
| Das <span style="color: blue">Ganze </span> kann nun in 4 gleich große Teile (4 Gruppen mit jeweils 2 Sternen) unterteilt werden. Dabei ergeben die 3 farbig markierten Gruppen (die 6 farbig markierten Sterne) zusammen den <span style="color: red">Bruchteil </span>.
| |
| | |
| Der <span style="color: green">Anteil </span> gibt das Verhältnis zwischen dem <span style="color: red">Bruchteil </span> und dem <span style="color: blue">Ganzen </span> wieder. Es sind 3 von 4 Teilgruppen, die jeweils aus 2 Sternen bestehen, farbig markiert (→ <math>\frac{3}{4}</math>)
| |
| {{!-}}
| |
| {{!)}}
| |
| | 3 = Beispiel
| |
| }}
| |
| | |
| ==Mit Bruchteil, Anteil und Ganzem rechnen==
| |
| {{Box|Info|Für diesen Abschnitt ist es wichtig, dass du erkennen kannst, was der Bruchteil, Anteil und das Ganze in einer bestimmten Situation ist. Falls du noch etwas unsicher beim Erkennen von Bruchteil, Anteil und Ganzem bist, dann schau nochmal in dem entsprechenden Abschnitt weiter oben nach.|Kurzinfo
| |
| }}
| |
| | |
| ===Der Bruchteil ist gesucht bei Ganzen größer 1===
| |
| In diesem Abschnitt ist immer der Anteil und das Ganze gegeben und es wird der Bruchteil gesucht. Hier wird dir erklärt, wie du aus dem Anteil und dem Ganzen den Bruchteil berechnen kannst:
| |
| | |
| <br />{{Box|1=Merke|2=
| |
| [[Bild:Comic_Merke.gif| left]]
| |
| | |
| <br>
| |
| <big>Der Bruchteil ist die Anzahl an Teilen, die vom Ganzen ausgewählt werden.<br>
| |
| Er lässt sich berechnen, indem du den Anteil mit dem Ganzen multiplizierst.</big><br>
| |
| <br><br>
| |
| '''Beispiel:'''
| |
| | |
| Julia und Marvin besitzen zusammen 6 Mützen. <math>\frac{2}{3}</math> davon gehören Marvin und <math> \frac{1}{3} </math> gehören Julia. Wie viele Mützen gehören Marvin?
| |
| | |
| Rechnung: Wir multiplizieren <math>\frac{2}{3} </math> mit 6 und erhalten <math>\frac{2}{3} \cdot 6 = \frac{12}{3} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 3}}{=}} 4 </math> .<br>
| |
| Antwort: Marvin besitzt 4 Mützen.
| |
| |3=Merksatz}}
| |
| | |
| | |
| <span style="color:red">'''Schreibe jetzt den Merksatz in dein Heft.'''</span>
| |
| | |
| <br />{{Box|1. Wie berechne ich den Bruchteil? [[Datei:Förderaufgabe.png|100px]]
| |
| | 2 = <div class="lueckentext-quiz" width="200" height="160">
| |
| Der Bruchteil lässt sich mithilfe der allgemeinen Berechnungsweise '''Bruchteil''' = Anteil <math> \cdot </math>'''Ganze''' berechnen.
| |
| Wir üben nun gemeinsam die Berechnung des Bruchteils in einem gegebenen Sachzusammenhang:
| |
| | |
| Kim kauft für ihre Geburtstagsfeier Schokoladenriegel. Von den 24 Riegeln sind <math>\frac{2}{3}</math> mit Nüssen, <math> \frac{1}{4}</math> mit Kokos und <math>\frac{1}{12} </math> mit Karamell. <br>
| |
| Berechne die Anzahl an gekauften Schokoladenriegeln mit Nüssen '''im Heft'''.
| |
| | |
| </div>
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| Der Bruchteil lässt sich mithilfe der allgemeinen Berechnungsweise Bruchteil = Anteil <math> \cdot </math>Ganze berechnen. <br> Damit du den Bruchteil berechnen kannst, musst du also wissen, wie groß das Ganze und der Anteil sind. <br> Lies die Aufgabe nochmal und überlege, was hier das Ganze und was der Anteil ist.
| |
| |2=Erste Idee|3=Verstecken}}
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| Das weißt du schon aus der Aufgabe: <br>
| |
| Anteil= <math>\frac{2}{3}</math> (weil du den Bruchteil der Schokoriegel mit Nüssen berechnen sollst) <br>
| |
| Ganze = 24 (weil es insgesamt 24 Schokoriegel sind) <br>
| |
| Was musst du jetzt rechnen?
| |
| |2=Was du schon weißt|3=Verstecken}}
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| Rechnung:
| |
| Bruchteil = <math>\frac{2}{3} </math> <math>\cdot </math>24
| |
| |2=Ansatz für die Rechnung|3=Verstecken}}
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| Rechnung: <br>
| |
| Bruchteil = <math>\frac{2}{3} </math> <math>\cdot </math>24
| |
| <math> \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 3}}{=}} </math> <math> \frac{2}{1} </math> <math> \cdot </math> 8 = 16.
| |
| <br> Formuliere noch einen passenden Antwortsatz.
| |
| |2=Rechnung|3=Verstecken}}
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| Antwort: Kim hat für ihre Geburtstagsfeier 16 Schokoladenriegel mit Nüssen gekauft.
| |
| |2=Antwortsatz|3=Verstecken}}
| |
| | 3 = Arbeitsmethode
| |
| }}{{Box|2. Den Bruchteil berechnen bei Ganzen größer 1|Berechne nun eigenständig den Bruchteil in den dargestellten Aufgaben in deinem Heft. Kürze dabei soweit wie möglich. Bei den Antworten musst du keine Einheiten angeben.
| |
| | |
| Wenn du auf diesen Button [[Datei:Vollbildschirmmodus.png|30px]] in der rechten oberen Ecke klickst, dann gelangst du in den Vollbildmodus.
| |
| | |
| Nachdem du alle Bruchteile berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe die Lösung in das freie Feld einträgst und am Ende auf [[Datei:Eingabebutton.png|40px]] drückst.
| |
| | |
| {{LearningApp|app=p22jxrmyc19|width=100%|height=400px}}
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| Wenn du nicht weißt, wie du die Aufgaben lösen kannst, dann schaue dir die Erklärung vor Aufgabe 1 und die Aufgabe 1 noch einmal genau an.
| |
| | |
| |2= Tipp zum Lösen der Aufgaben|3=Verstecken}}
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| | |
| {{Box|1=Merke|2=
| |
| [[Bild:Comic_Merke.gif| left]]
| |
| | |
| <br>
| |
| <big>Du multiplizierst einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, indem du den Zähler mit der natürlichen Zahl multiplizierst und den Nenner beibehältst.</big><br>
| |
| <br><br>
| |
| | |
| '''Beispiel:'''
| |
| | |
| Der Bruch <math>\frac{2}{3}</math> soll mit der natürlichen Zahle <math> 6 </math> multipliziert werden. Wir multiplizieren dann den Zähler (<math>2</math>) mit der natürlichen Zahl <math>6</math> und behalten den Nenner (<math>3</math>) bei.
| |
| | |
| → <math> \frac{2}{3} \cdot 6 = \frac{2 \cdot 6}{3} = \frac{12}{3} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 3}}{=}} \quad 4 </math><br><br>
| |
| | |
| Alternativ kannst du schon vorher kürzen.<br><br>
| |
| | |
| → <math> \frac{2}{3} \cdot 6 \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 3}}{=}} \quad \frac{2}{1} \cdot 2 = \frac{4}{1} = 4 </math>
| |
| | |
| |3=Merksatz}}
| |
| |2=Hilfestellung: Bruch mit natürlicher Zahl multiplizieren|3=Verstecken}}
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| | |
| {{Box|1=Merke|2=
| |
| [[Bild:Comic_Merke.gif| left]]
| |
| | |
| <br>
| |
| <big>Du kannst einen Bruch kürzen, indem du den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl dividierst.</big><br>
| |
| <br><br>
| |
| | |
| '''Beispiel:'''
| |
| | |
| Der Bruch <math>\frac{16}{18}</math> soll gekürzt werden. Sowohl der Zähler (16) als auch der Nenner (18) sind durch 2 teilbar.
| |
| | |
| → <math> \frac{16 : 2}{18 : 2} = \frac{8}{9} </math>
| |
| | |
| |3=Merksatz}}
| |
| |2=Hilfestellung: Kürzen|3=Verstecken}}
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| Ganze: 32 <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{3}{8}</math> <br><br>
| |
| <math>\frac{3}{8} \cdot 32 = \frac{96}{8} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 8}}{=}} \quad 12 </math><br><br>
| |
| oder<br><br>
| |
| <math>\frac{3}{8} \cdot 32 \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 8}}{=}} \quad \frac{3}{1} \cdot 4 = 12 </math>
| |
| |2=Lösung: Aufgabe 1|3=Verstecken}}
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| Ganze: 60 <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{10}{12}</math> <br><br>
| |
| <math>\frac{10}{12} \cdot 60 = \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{5}{6} \cdot 60 = \frac{300}{6} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 6}}{=}} \quad 50 </math><br><br>
| |
| oder<br><br>
| |
| <math>\frac{10}{12} \cdot 60 = \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{5}{6} \cdot 60 \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 6}}{=}} \quad = \frac{5}{1} \cdot 10 = 50 </math>
| |
| |2=Lösung: Aufgabe 2|3=Verstecken}}
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| Ganze: 200 <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{3}{10}</math> <br><br>
| |
| <math>\frac{3}{10} \cdot 200 = \frac{600}{10} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 10}}{=}} \quad 60 </math><br><br>
| |
| oder<br><br>
| |
| <math>\frac{3}{10} \cdot 200 \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 10}}{=}} \quad \frac{3}{1} \cdot 20 = 60 </math>
| |
| |2=Lösung: Aufgabe 3|3=Verstecken}}
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| Ganze: 36 <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{5}{6}</math> <br><br>
| |
| <math>\frac{5}{6} \cdot 36 = \frac{180}{6} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 6}}{=}} \quad 30 </math><br><br>
| |
| oder<br><br>
| |
| <math>\frac{5}{6} \cdot 36 \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 6}}{=}} \quad \frac{5}{1} \cdot 6 = 30 </math>
| |
| |2=Lösung: Aufgabe 4|3=Verstecken}}
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| Ganze: 35 <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{3}{7}</math> <br><br>
| |
| <math>\frac{3}{7} \cdot 35 = \frac{105}{7} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 7}}{=}} \quad 15 </math><br><br>
| |
| oder<br><br>
| |
| <math>\frac{3}{7} \cdot 35 \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 7}}{=}} \quad \frac{3}{1} \cdot 5 = 15 </math>
| |
| |2=Lösung: Aufgabe 5|3=Verstecken}}
| |
| | |
| |2=Lösungen|3=Verstecken}}|Arbeitsmethode
| |
| }}<br />
| |
