Zylinder Pyramide Kegel/Zusatzaufgaben und Integralrechnung: Unterschied zwischen den Seiten

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__NOTOC__
==Einführendes Beispiel==
{{Navigation verstecken
Im folgenden Lernpfad soll eine Einführung in die Integralrechnung mit den wichtigsten Grundlagen sowohl für Grund- als auch Leistungskurse in Mathematik der Jahrgangsstufe 12 gegeben werden.
|{{Lernpfad Inhalt}}
|Lernschritte einblenden
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}}
Auf dieser Seite findest du zu jeder Lerneinheit (Zylinder, Satz von Cavalieri, Pyramide und Kegel) noch weitere Übungsaufgaben, mit denen du dein neu erworbenes Wissen festigen und weiter vertiefen kannst.


 
Der Lernpfad wurde im Rahmen der schriftlichen Hausarbeit zur zweiten Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen von Daniel Jacobs (Benutzername: [[Benutzer:Dickesen|Dickesen]]) erstellt und im Unterricht der Jahrgangsstufe 12 eingesetzt.}}
Die Bearbeitung der einzelnen Lerneinheiten und der darin enthaltenen Übungsaufgaben haben erste Priorität. Diese '''Zusatzaufgaben sind als freiwillige Übung''' gedacht und sollten daher außerhalb der Unterrichtszeit bearbeitet werden (außer du bist schon mit allen Lerneinheiten fertig).
 
Natürlich kannst du auch zu diesem Aufgaben jederzeit Fragen an deine Lehrerin stellen!
 
 
 
==Berechnungen am Zylinder==
<br>
{{Box|1=Aufgabe 1: Schulbuch|2=
*Bearbeite in deinem Schulbuch S.20 Nr.7 und Nr.8!
*Hinweise zu Nr.8: Lege eine Übersichtstabelle an, in der du jeweils die Veränderung der einzelnen Größen eintragen kannst. Begründe 4 deiner Aussagen, indem du die entsprechende Formel auf- und umstellst und mit der ursprünglichen Formel vergleichst.
{{Lösung versteckt|1=
<u>'''Nr.7a)'''</u>
<br>
<u>Möglichkeit 1:</u> a=U, b=h<br><br>
<math>\Rightarrow a=2\pi r</math><br><br>
<math>\Rightarrow r=\frac{a} {2\pi }</math>
<math>V_{1} =\pi r^{2}h=\pi \left( \frac{a} {2\pi } \right)^{2}*b =\frac{a^{2}b} {4\pi }</math>
<br><br>
<br><br>
<u>Möglichkeit 2:</u> b=U, a=h <br><br>
{{blau|Du kannst Dir jederzeit die Lösungen der Aufgaben zeigen lassen die Du gerade bearbeitest, obwohl ich selbstverständlich {{Schrift_grün|erst nach eigenständiger Bearbeitung}} dazu rate! <br>  
<math>\Rightarrow b=2\pi r</math><br><br>
Zusätzlich enthalten einige Aufgaben Tipps zur Lösung. Du kannst sie benutzen, falls Du an einem Punkt nicht weiterkommst. <br>
<math>\Rightarrow r=\frac{b} {2\pi }</math>
Du solltest in jedem Fall alle Aufgaben im Heft schriftlich mit Angabe des Lernpfades (www-Adresse und Überschrift!) bearbeiten sowie alle Definitionen, Ideen, etc. ebenfalls schriftlich übernehmen!}}
<math>V_{2} =\pi r^{2}h=\pi \left( \frac{b} {2\pi } \right)^{2}*a =\frac{b^{2}a} {4\pi }</math>
 
<u>'''Nr.7b)'''</u>
<math>\frac{V_{1} } {V_{2} }=\frac{a^{2}b} {ab^{2} }=\frac{a} {b}</math>
 
{{pdf|Lösungen_S.20Nr.8.pdf|Lösungen zu S.20 Nr.8}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe 2: Zylinderausschnitte|2=
Tante Uschi hat für ihren Geburtstag eine Scharzwälderkirschtorte mit einem Durchmesser von 28cm und einer Höhe von 8cm gebacken. Die Torte kommt bei den Gästen so gut an, dass für sie selbst nur noch ein schmales Probierstück übrig bleibt, welches an der Spitze einen Winkel von 15° hat.<br>
a) Wie viel Torte hat Tante Uschi bekommen ''(Volumen des Tortenstücks)''?<br>
b) Wie viel Prozent der ganzen Torte ist das?
 
{{pdf|Lösung_zu_Aufgabe_2_Zylinderausschnitte.pdf|Lösung zu Aufgabe 2}}
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
==Satz von Cavalieri==
 
{{Box|1=Aufgabe 3|2=
Begründe anhand eines Beispiels, dass der Satz von Cavalieri nicht für Oberflächeninhalte entsprechender Körper gilt.
{{Lösung versteckt|1=
Wir betrachten zwei Quader, die die Kriterien von Cavalieri erfüllen (gleicher Grundflächeninhalt, gleiche Höhe, in gleicher Höhe gleichen Flächeninhalt der Schnittflächen). Der Grundflächeninhalt beträgt <math>A=12cm^{2}</math>.
<br>
[[Datei:Vergleich_Quader_3.jpg|300px]]   
<br>
Der Oberflächeninhalt berechnet sich aus dem doppelten Grundflächeninhalt und dem Mantelflächeninhalt. Die Grundflächen unserer beiden Körper sind flächengleich. Wie sieht es aber mit den Mantelflächeninhalten aus? <br><br>
 
Flächengleichheit bedeutet nicht, dass auch der Umfang gleich ist! <br>
Im gewählten Beispiel wäre der Mantelflächeninhalt des linken Quaders <math>M=(2+2+6+6)cm\cdot 8 cm=16\cdot 8cm^{2}=128 cm</math> und des rechten Quaders <math>M=(4+4+3+3)cm \cdot 8cm=14\cdot 8 cm^{2}=112cm^{2}</math>
<br><br>
<br><br>
<u>Fazit:</u> Der Satz von Cavalieri gilt nicht für den Oberflächeninhalt entsprechender Körper, da die Mantelflächen von verschiedenen Körpern nicht gleich groß sind, auch wenn Grundflächeninhalt und Höhe gleich sind!
So, jetzt geht's aber los! Zunächst etwas zum Aufwärmen, Fokussieren und Eingewöhnen: <br> <br>
}}
{{Aufgaben|1|
|3=Arbeitsmethode}}
Ein Hund rennt im Garten am Zaun hin und her und jagt die Passanten. Das Diagramm zeigt die Geschwindigkeit <math>v</math> des Hundes, wobei positives <math>v</math> die Bewegung nach rechts, negatives <math>v</math> die Bewegung nach links bedeutet. Die Geschwindigkeit <math>v</math> wird dabei in Meter pro Sekunde (m/s), die Zeit <math>t</math> in Sekunden (s) gemessen.}}
 
<br>
==Berechnungen an der Pyramide==
'''Der Hund startet zur Zeit t = 0 in der Mitte des Zauns.''' <br> <br>
{{Box|1=Aufgabe 4|2=
[[Bild:Diagramm_Hund.jpg]]<br> <br>
<center>[[Datei:Quadratische_Pyramide_mit_Beschriftung.jpg|150px]] </center>
Bearbeite die folgenden Aufgaben und begründe Deine Antwort anhand des Graphen: <br> <br>
Berechne Volumen, Mantelflächen- und Oberflächeninhalt einer (senkrechten) quadratischen Pyramide mit Seitenkante s = 10dm und der Höhe der Seitendreiecke h' = 80cm.
a) In welchen Zeitabschnitten bewegt sich der Hund nach rechts bzw. nach links? <br>
 
{{Lösung versteckt|{{Lösung|Bewegung nach rechts wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt für &nbsp;
Mache zunächst eine Skizze der Pyramide und den eventuell benötigten Hilfsobjekten.
<math>0 \leq t \leq 8</math> &nbsp; und &nbsp; <math>13 \leq t \leq 16.</math> <br> <br>
 
Bewegung nach links wenn der Graph unterhalb der x-Achse liegt für &nbsp;
{{pdf|Lösung_Zusatzaufgabe4.pdf|Lösung zu Aufgabe 4}}
<math>9 \leq t \leq 13</math> &nbsp; und &nbsp; <math>16 \leq t \leq 28.</math>
|3=Arbeitsmethode}}
}}}}
 
b) Wann hat der Hund die größte Geschwindigkeit nach rechts bzw. nach links erreicht? <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|Größte Geschwindigkeit nach rechts am Hochpunkt des Graphen für <math>t = 5.</math> <br>
Größte Geschwindigkeit nach links am Tiefpunkt des Graphen für <math>t = 25.</math>
}}}}
c) Wann wird der Hund schneller, wann wird er langsamer? <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Bewegung nach rechts: <br>
Hund wird schneller bei positiver Steigung des Graphen: <math>0 \leq t \leq 5 \ ; \ 13 \leq t \leq 15</math> <br>
Hund wird langsamer bei negativer Steigung des Graphen: <math>5 \leq t \leq 8 \ ; \ 15 \leq t \leq 16</math>
<br><br>
<br><br>
{{Box|1=Aufgabe 5|2=
Bewegung nach links: <br>
<u>'''Volumenvergleich von geraden und schiefen Pyramiden'''</u>
Hund wird schneller bei negativer Steigung des Graphen: <math>9 \leq t \leq 12 \ ; \ 16 \leq t \leq 25</math> <br>
<br><br>
Hund wird langsamer bei positiver Steigung des Graphen: <math>12 \leq t \leq 13 \ ; \ 25 \leq t \leq 28</math>
Begründe anhand der Abbildung, dass auch eine schiefe Pyramide zu einer geraden Pyramide mit gleicher Höhe und gleich großer Grundfläche volumengleich ist.
}}}}
 
d) Gib eine Schätzung für die Breite des Grundstücks an unter der Voraussetzung, dass der Hund zum  Zeitpunkt t = 8 die Grundstücksgrenze erreicht hat. <br>
<center>[[Datei:Volumenvergleich_Pyramiden_schief_gerade.jpg|440px]]</center>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
{{Lösung versteckt|1=
Strecke von der Zaunmitte bis zu den beiden Rändern jeweils ca. 27m. <br>
Für zwei gerade Pyramiden mit gleicher Höhe und gleich großer Grundfläche wurde die Volumengleichheit über die zentrische Streckung nachgewiesen. Bei der schiefen Pyramide wird ebenfalls die Grundfläche (in der Abbildung die Grundlinie) auf die Schnittfläche durch eine zentrische Streckung mit der Pyramidenspitze als Streckzentrum abgebildet. Für den Streckfaktor gilt <math>k=\frac {s*} {s}= \frac {h*} {h}</math> (Strahlensatzfigur). <br>
Somit ergibt sich eine Grundstücksbreite von ca. 54m.
Es gilt für die Flächeninhalte der Schnittflächen: <math>G'_{gerade P.}=k^{2}\cdot G_{gerade P.}</math> und <math>G'_{schiefe P.}=k^{2}\cdot G_{schiefe P.}</math> <br>
}}}}
wegen <math>G_{gerade P.}=G_{schiefe P.}</math> <br>
e) Im letzten Aufgabenteil hast Du ausgehend von der vom Hund zurückgelegten Strecke die Grundstücksbreite geschätzt. Woran kann man die zurückgelegte Strecke in obigem Diagramm erkennen? <br>
<math>\Rightarrow G'_{gerade P.}=G'_{schiefe P.}</math> <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Da also die Schnittflächen der Pyramiden auf jeder Höhe parallel  zur Grundfläche gleich groß sind, die Höhe und der Grundflächeninhalt gleich sind, besitzen die beiden Pyramiden das gleiche Volumen.
Die zurückgelegte Strecke zeigt sich im Diagramm als Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. <br> Dabei ist die zurückgelegte Strecke nach rechts die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ''oberhalb'' der x-Achse und die zurückgelegte Strecke nach links ist die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ''unterhalb'' der x-Achse!
}}
}}}}
|3=Arbeitsmethode}}
f) Befindet sich der Hund nach 28 Sekunden rechts oder links von der Mitte des Zauns? <br>
 
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
----
Da der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ''oberhalb'' der x-Achse etwas größer ist als derjenige ''unterhalb'' der x-Achse, befindet sich der Hund rechts von der Zaunmitte.
}}}}
<br><br><br>
<div align="center">
[[/Vorüberlegungen|>>Weiter>>]]
</div>
<br>
{{Navigation Lernpfad Integral}}


{{Lernpfad Inhalt}}
<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Integral,Mathematik,12. Klasse,Oberstufe,Lernpfad</metakeywords>
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]

Version vom 18. November 2018, 14:17 Uhr

Einführendes Beispiel

Im folgenden Lernpfad soll eine Einführung in die Integralrechnung mit den wichtigsten Grundlagen sowohl für Grund- als auch Leistungskurse in Mathematik der Jahrgangsstufe 12 gegeben werden.

Der Lernpfad wurde im Rahmen der schriftlichen Hausarbeit zur zweiten Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen von Daniel Jacobs (Benutzername: Dickesen) erstellt und im Unterricht der Jahrgangsstufe 12 eingesetzt.}}

Du kannst Dir jederzeit die Lösungen der Aufgaben zeigen lassen die Du gerade bearbeitest, obwohl ich selbstverständlich Vorlage:Schrift grün dazu rate!
Zusätzlich enthalten einige Aufgaben Tipps zur Lösung. Du kannst sie benutzen, falls Du an einem Punkt nicht weiterkommst.
Du solltest in jedem Fall alle Aufgaben im Heft schriftlich mit Angabe des Lernpfades (www-Adresse und Überschrift!) bearbeiten sowie alle Definitionen, Ideen, etc. ebenfalls schriftlich übernehmen!



So, jetzt geht's aber los! Zunächst etwas zum Aufwärmen, Fokussieren und Eingewöhnen:

Aufgabe 1
Ein Hund rennt im Garten am Zaun hin und her und jagt die Passanten. Das Diagramm zeigt die Geschwindigkeit des Hundes, wobei positives die Bewegung nach rechts, negatives die Bewegung nach links bedeutet. Die Geschwindigkeit wird dabei in Meter pro Sekunde (m/s), die Zeit in Sekunden (s) gemessen.

Der Hund startet zur Zeit t = 0 in der Mitte des Zauns.

Diagramm Hund.jpg

Bearbeite die folgenden Aufgaben und begründe Deine Antwort anhand des Graphen:

a) In welchen Zeitabschnitten bewegt sich der Hund nach rechts bzw. nach links?

Vorlage:Lösung

b) Wann hat der Hund die größte Geschwindigkeit nach rechts bzw. nach links erreicht?

Vorlage:Lösung

c) Wann wird der Hund schneller, wann wird er langsamer?

Vorlage:Lösung

d) Gib eine Schätzung für die Breite des Grundstücks an unter der Voraussetzung, dass der Hund zum Zeitpunkt t = 8 die Grundstücksgrenze erreicht hat.

Vorlage:Lösung

e) Im letzten Aufgabenteil hast Du ausgehend von der vom Hund zurückgelegten Strecke die Grundstücksbreite geschätzt. Woran kann man die zurückgelegte Strecke in obigem Diagramm erkennen?

Vorlage:Lösung

f) Befindet sich der Hund nach 28 Sekunden rechts oder links von der Mitte des Zauns?

Vorlage:Lösung





Vorlage:Navigation Lernpfad Integral

<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Integral,Mathematik,12. Klasse,Oberstufe,Lernpfad</metakeywords>

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