Lernpfad Energie/Armbrustschießen im Weltall und Chaos und Fraktale: Unterschied zwischen den Seiten

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(Autor gelöscht)
 
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== Eine seltsame "Hausaufgabe" ==
{{Lernpfad|Dieses Themengebiet wurde für den '''Mathe-Tag''' an der '''Universität Würzburg''' ausgearbeitet.  Die Sieger der Fümo-Mathematik-Olympiade durften einen Tag an der Uni verbringen um gemeinsam  mit Professoren und Lehrern unterhaltsame und interessante Themen der Mathematik zu entdecken. Drei Kurse wurden in einem Stationenbetrieb durchlaufen (jeweils 1 Stunde). Kurs 1 war ein Lernpfad im Computerraum. Die Themenstellungen in Kurs 2 und Kurs 3 wurden mit Schüler anhand von Arbeitsblättern erarbeitet.
[[Datei:Ganymede g1 true.jpg|miniatur|Jupitermond Ganymed]]
;Hinweis
[[Datei:Water ice clouds hanging above Tharsis PIA02653 black background.jpg|miniatur|Planet Mars]]
Es empfiehlt sich die Links in einem neuem Fenster öffnen. Halte dazu die Shift-Taste gedrückt, wenn du auf den Link klickst.}}
[[Datei:Armbrust MK1888.png|miniatur|Alte Abbildung einer Armbrust]]  
{{Babel-1|M-digital}}
Der Weltraum – unendliche Weiten. Wir befinden uns in einer fernen Zukunft …
== Kurs 1: Chaotische Bäume interaktiv ==
Die Zwillinge Paul und Pauline haben bei Jugend forscht einen vierwöchigen Weltraum-Trip gewonnen, der zu mehreren Planeten und Monden des Sonnensystems führt.  
Informiere dich [http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/ hier] über die Begriffe Chaos und Fraktale.


Ihre Physiklehrerin, Frau Müller, hat ihnen allerdings eine Art „Hausaufgabe“ mitgegeben: Sie sollen drei Spielzeug-Armbrüste mit auf ihren Weltraum-Ausflug nehmen und „universelle Wirksamkeit“ bestimmen. Was sie mit „universeller Wirksamkeit“ meint, sagt sie ihnen nicht. Sie meint, sie sollen sich selbst etwas überlegen.
Fraktale sind also geometrische Formen, deren Struktur sich immer wieder - allerdings verkleinert - wiederholt. Vergrößert man umgekehrt Teile der Figur, so stößt man stets auf die gleiche Grundstruktur und dieses Vergrößern kann beliebig oft geschehen.


=== Schuss nach oben auf Himmelskörpern ===
'''Beispiele:'''
Pauline hat eine Idee:  
* Zoomfahrt in eine Mandelbrot-Menge als [http://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom1024x768.avi Avi-Video] oder als [http://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge#Bildergalerie_einer_Zoomfahrt Bildergalerie]
„Wir schießen auf den verschiedenen Himmelskörpern im Universum Bolzen mit den Armbrüsten nach oben und messen, wie hoch sie fliegen. Natürlich schreiben wir auch alles auf, was sonst noch wichtig sein könnte, z.B. der Ortsfaktor auf den Himmelskörpern g und die Masse der Bolzen.
* Der [http://de.wikipedia.org/wiki/Romanesco Romanesco-Kohlkopf] ist hoch-fraktal.
Vielleicht finden wir ja etwas, was auf allen Himmelskörpern, also im ganzen Universum gleich ist.
Paul findet die Idee gut: Auf dem Erdmond, dem Planeten Mars und auf dem Jupitermond Ganymed  führen Sie sorgfältige Messungen durch. Hier eine Tabelle mit ihren Ergebnissen:




{| class="wikitable"
=== Pythagoras-Baum mit 60°-Winkel ===
|-
Öffne das folgenes [http://mathematica.ludibunda.ch/Fractale-de2.html  Applet] in einem neuen Fenster und beantworte die folgenden Arbeitsaufträge:
! Armbrust!! Himmelskörper (Ortsfaktor g [N/kg]) !! Bolzenmasse m [kg] !! max. Flughöhe h [m]
* Durch mehrmaliges Klicken auf "Draw" entsteht eine Figur. Beschreibe diese Figur. Wie sieht sie aus?
|-
* Lösche die Figur mit der Reset-Taste. Lasse nun nur die erste Stufe anzeigen. Aus welchen geometrischen Formen ist sie aufgebaut? Beschreibe diese möglichst genau! Wo ist der 60°-Winkel zu finden?
| klein || Mars (3,7) || 0,01|| 67,6
* Lasse die Figur jetzt Stufe für Stufe zeichnen und beschreibe jeweils, wie jede weitere Stufe aus der vorhergehenden entsteht.
|-
*Woher kommt der Name [[Mathematik-digital/Pythagorasbaum|Pythagorasbaum]]?
| klein || Mars (3,7) || 0,02 || 33,8
|-
| klein || Erdmond (1,6) || 0,01|| 156,2
|-
| klein || Erdmond (1,6) || 0,02|| 78,1
|-
| klein || Ganymed (1,4) || 0,01|| 178,6
|-
| klein || Ganymed (1,4)|| 0,02|| 89,3
|-
| groß|| Mars (3,7) || 0,01|| 270,4
|-
| groß|| Mars (3,7) || 0,02 || 135,2
|-
| groß|| Erdmond (1,6) || 0,01|| 624,8
|-
| groß|| Erdmond (1,6) || 0,02|| 312,4
|-
| groß|| Ganymed (1,4) || 0,01|| 714,4
|-
| groß|| Ganymed (1,4)|| 0,02|| 357,2
|-
|}


Zunächst wundern sich die beiden über die riesigen Flughöhen, die die Bolzen erreichen. Aber dann machen sie sich klar, dass die Schwerkraft auf den Himmelskörpern ja auch viel kleiner ist und auch keine Luftreibung herrscht (wegen des Mangels an Luft müssen sie ja auch ihren Raumanzug tragen).
=== Pythagoras-Baum und verschiedene Winkel===
Verändere nun in dem [http://mathematica.ludibunda.ch/Fractale-de2.html  Applet] auch den Winkel:
*Untersuche die Bäume für 10° und 80°. Welcher Zusammenhang besteht?
*Bei welchem Winkel wird der Baum achsensymmetrisch?
*Wie verändert sich das Aussehen der Bäume bei Winkeln zwischen 1° und 45°?
===Spielen im pythagoräischen Garten ===
Durch ziehen am roten Punkt dieses [http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pytree/pytree.html Applets] kannst du den Pythagorasbaum verändern. Findest du den Broccoli?


===== Aufgabe 1.1: Ein grober Blick auf die Messdaten =====
=== Farne ===
Paul schreibt in sein elektronisches Notizbuch einen kurzen Text über ihre ersten Eindrücke. Dem Speicher ist allerdings die kosmische Höhenstrahlung nicht bekommen. Fülle die Lücken aus:
[[bild:Farn.jpg|Farn|left]]
Es gibt auch Fraktale, die Ähnlichkeit mit einem Farn haben.<br>
Eine Möglichkeit diese Pflanzen nachzubilden zeigt folgendes [http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/fgalerie/fraktale/fraktaler_baum.html Applet].<br>
Die Ausgangsfigur besteht hier jeweils aus Strecken. <br>
Versuche durch Ziehen an den Endpunkten das folgende Bild zu erzeugen.
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<div class="lueckentext-quiz">
=== Weitere Informationen ===
Wenn wir die gleiche Armbrust und den gleichen Bolzen verwenden, fliegt der Bolzen '''höher''', wenn der Ortsfaktor des Himmelskörpers geringer ist.  
*[http://www.connect-ed.de/~ernstgro/fraktale/PythagorasbaumApplet.html Bunter Baum]
Wenn wir auf dem gleichen Himmelskörper mit der gleichen Armbrust schießen, fliegt ein schwerer Bolzen '''weniger hoch''' als ein leichter Bolzen. Wenn ich mich nicht sehr täusche, dann sind die Bolzenmasse und die Flughöhe vielleicht '''antiproportional''', das heißt ihr '''Produkt''' ist bei gleichem Himmelskörper und gleicher Armbrust immer gleich.
*[http://www.fh-friedberg.de/users/boergens/marken/04_01/pythagorasfraktal.htm Phythagoras-Baum FH Friedeberg]
Wenn ich alle Bedingungen gleich lasse und nur die Armbrust wechsle, schießt die '''kleine''' Armbrust weniger hoch. Diese Armbrust ist also wohl '''weniger wirksam'''.
*[http://www.connect-ed.de/~ernstgro/fraktale/DrachenApplet.html Applet bis Stufe 12]
</div>
*[http://www.pk-applets.de/fra/folgen/folge3.html Weitere Farne]
*[http://www.jjam.de/Java/Applets/Fraktale/Pythagoras_Baum.html Applet]
*[http://www.mathe-knapp.de/Applet-Galerie/Bunter%20Pythagorasbaum.html Applet 90°, 3 variable Punkte]
*[http://md-martin.de/schule/informatik/Applets/Applets/Igel/PythagorasBaum.html Applet, Länge, Winkel variabel]
Anwendungen<br>
*[http://www.quarks.de/dyn/3955.phtml Chaos und Verkehr]
*[http://www.quarks.de/dyn/3882.phtml Chaos und Wetter]
*[http://www.quarks.de/dyn/3894.phtml Lebendiges Chaos]
*[http://www.quarks.de/dyn/3903.phtml Ordnung im Chaos (Küstenlinien, Börsenkurse, Apfelmännchen)]
*[http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/pages/node5.htm Operationen am Farnblatt]


Das war natürlich nur eine kleine Fingerübung. Aber Du kannst auch schon einmal üben, ein Bildschirm-Foto ("Screenshot") zu machen und zu speichern.
== Kurs 2: Drachenfalten einmal anders ==
'''Arbeitsblätter mit Lösungen'''
*{{pdf|Drachenfalten_Mathetag.pdf|Arbeitsblätter zu Kurs 2}}
*{{pdf|Drachenfalten_Lösung.pdf|Lösung}}
'''Weitere Links'''
*[http://www.oberleitner.de/martin/chaos/entw/entw.htm Animation bis Stufe 4]
*[http://www.oberleitner.de/martin/chaos/stuf/dr01.htm Farbiges Applet bis Stufe 14]
*[http://did.mat.uni-bayreuth.de/~alfred/Dragon/d1.html Applet]
*[http://www.cevis.uni-bremen.de/education/PapDra15.gif Stufen 1 - 5]
*[http://www.cevis.uni-bremen.de/education/PapDra67.gif Stufe 6 und 7]


===== Aufgabe 1.2: Kreatives Formelfinden =====
== Kurs 3: Dreimal Sierpinski ==
Pauline und Paul haben bei ihren Messungen immer drei Größen gemessen:
'''Arbeitsblätter mit Lösungen'''
* Der Ortsfaktor <math>g</math> des Planeten
*{{pdf|Sierpinski_Mathetag.pdf|Arbeitsblätter zu Kurs 3}}
* Die Masse des Bolzens <math>m</math>
*{{pdf|Sierpinski_Lösung.pdf|Lösung}}
* Die maximale Flughöhe <math>h</math>
'''Weitere Links'''
 
*[http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/fgalerie/fraktale/sierpinski_dreieck.html Sierpinski Dreieck, Eckpunkte variierbar, bis Stufe 6]
Die Kombinationen der drei Größen sind in allen Zeilen unterschiedlich. Frau Müller hatte aber darum gebeten, ein Maß für die "universelle" Wirksamkeit zu finden. Diese sollte also nicht vom Planeten oder gar vom verwendeten Bolzen abhängen, sondern eben nur von der verwendeten Armbrust.
*[http://www.jjam.de/Java/Applets/Fraktale/Sierpinski_Dreieck.html Sierpinski Dreieck Stufen unbegrenzt]
 
*[http://matheuropa.lfs-koeln.de/pascal/muster.htm Pascalsches Dreieck]
Kannst Du also eine Formel finden, die bei allen Zeilen der kleinen Armbrust den einen einzigen Wert liefert und bei allen Zeilen der großen Armbrust einen einzigen Wert liefert (jedenfalls ungefähr). Diese beiden Werte sollten natürlich unterschiedlich sein.
*[http://www.virtuelle-schule-de.bnv-bamberg.de/vmu1/mathevs/sierpinski.htm noch mehr Sierpinski]
 
*[http://www.virtuelle-schule-de.bnv-bamberg.de/vmu1/mathevs/pascal.htm Pascal und Sierpinski]
Überprüfe Deine Formel an mindestens 5 Zeilen der Tabelle. Falls Du das Ergebnis zufriedenstellend findest, schreibe einen entsprechenden Notizbucheintrag für unsere beiden Jungforscher, den sie so an Frau Müller schicken können. Darin sollte auch die Maßeinheit für die universelle Wirksamkeit beschrieben werden, denn zu (fast) jeder physikalischen Größe gehört auch eine Maßeinheit. Und natürlich sollte auch die Wirksamkeit der beiden Armbrüste berechnet werden.
 
=== Schüsse im freien Weltraum ===
 
Während einer längeren Flugstrecke weit weg von allen Himmelskörpern meint Paul:
„Was ist, wenn Frau Müller gar nicht die Wirksamkeit auf den Himmelskörpern gemeint hat, sondern die Wirksamkeit in Bereichen des Universums weit weg von jedem Himmelskörper?“
Pauline hält dagegen: „Unseren Test mit der Flughöhe können wir dann aber vergessen. Wir wissen ja, dass ohne Schwerkraft der Bolzen ewig weiterfliegen würde, wenn er nicht irgendwo anstößt.“
Paul: „Vielleicht sollten wir dann die Geschwindigkeit des Bolzens messen. Das ist ja kein Problem, wenn wir im langen Laderaum des Raumschiffs den Bolzen abschießen und die Flugzeit bis zur anderen Seite des Laderaums messen.“
 
Wieder stellen sie eine Tabelle auf. Die Wirksamkeit aus dem ersten Experiment schreiben sie schon einmal dazu.
 
{| class="wikitable"
|-
! Armbrust!! Wirksamkeit aus Vorgängerexperiment W [N <math>\cdot</math>m] !! Bolzenmasse m [kg] !! Geschwindigkeit v [m/s]
|-
| klein || 2,5  || 0,01|| 22,4
|-
| klein || 2,5 || 0,02 || 15,8
|-
| groß|| 10 || 0,01|| 44,8
|-
| groß|| 10 || 0,02 || 31,6
|-
|}
 
===== Aufgabe 1.3: Schwierigere Zusammenhänge =====
 
Pauline macht sich einen Notizbucheintrag. Auch hier hat die kosmische Höhenstrahlung zugeschlagen.
 
<div class="lueckentext-quiz">
Ob man es hinbekommt, auch aus den Geschwindigkeiten der verschiedenen Bolzen unsere  ersten Werte für die Wirksamkeit auszurechnen. Ganz so einfach sieht es nicht aus. So sieht man, dass bei '''vierfacher''' Wirksamkeit nur die '''doppelte''' Geschwindigkeit gemessen wird, oder anders gesagt: '''verdoppelt''' sich die Geschwindigkeit, '''vervierfacht''' sich die Wirksamkeit. Vielleicht sollten wir zuerst einmal annehmen, dass die Wirksamkeit wieder proportional zur Bolzenmasse ist, denn das war ja auch bei unseren ersten Versuchen so. Die Formel wäre dann also '''<math>W=</math>''' '''<math>m \cdot</math>''' '''irgendwas mit <math>v</math>'''.
</div>
 
 
===== Aufgabe 1.4: Eine neue Formel für die Wirksamkeit =====
 
Kannst Du nach Paulines Notizbucheintrag eine passende Formel finden, die die Wirksamkeit in Abhängigkeit von der Bolzenmasse und der Geschwindigkeit des Bolzens beschreibt? Es ist nicht ganz leicht, aber probiere einfach ein bisschen herum; das machen Physiker auch häufig so. Klicke erst auf die Lösung, wenn Du entweder selbst eine sinnvoll erscheinende Lösung hast, oder mindestens 5 Minuten vergeblich herumprobiert hast.
 
{{Lösung versteckt mit Rand|
Eine Formel, die funktioniert, wäre <math>W= \frac{1}{2}\cdot m \cdot v^2</math>.
 
Teste diese Lösung an den Messwerten, vor allem, wenn Du selbst nicht auf eine Lösung gekommen warst.
}}
 
== Wo bleibt die Wirksamkeit ==
Auf einer langweiligen Flugstrecke stellt Pauline eine Frage, die sie schon seit ein paar Tagen umtreibt:  
 
"Nur eine gespannte Armbrust ist doch wirksam. Wenn ich aber auf einem Planeten nach oben schieße, ist die Armbrust aber nach weniger als einer Sekunde entspannt, sie sollte also nicht mehr wirksam sein. Trotzdem fliegt der Bolzen noch weiter und weiter nach oben. Irgendwo muss die Wirksamkeit doch geblieben sein".
 
"Stimmt schon," meint Paul "bei der Geschwindigkeitsmessung war das einfacher. Da war der Bolzen direkt nach dem Abschuss schon schnell."
 
"Na, schnell war der Bolzen beim Abschuss nach oben ja zunächst auch", entgegnet Pauline, "er wurde dann halt immer langsamer, je höher der Bolzen kam".
 
"Kann es sein", denkt Paul laut nach, "dass die Wirksamkeit sozusagen irgendwie in der Geschwindigkeit des Bolzens steckt?“
 
"Und wo ist sie dann hin, als der Bolzen langsamer wurde?"
 
"Naja, einfach verschwunden vielleicht; verbraucht sozusagen".
 
"Dann ist es es aber seltsam", führt Pauline den Gedanken weiter, "dass der Bolzen dann wieder schnell nach unten kam – beinahe hätte er mich bei einem Experiment getroffen, das war richtig gefährlich. Eigentlich hatten wir doch gesagt, dass man Wirksamkeit braucht, um den Bolzen schnell zu machen".
 
"Kann es sein, dass sich die Wirksamkeit erst in der Geschwindigkeit des Bolzens gesteckt hat, dann in der Höhe über dem Planeten, und dann wieder in der Geschwindigkeit?"
 
"Und vor dem Spannen der Armbrust?" fragt Pauline wieder
 
"Vorher war sie wohl in deinen oder meinen Muskeln"
 
"Und noch vorher?"
 
"Vielleicht in deinem Frühstück!"
 
"Apropos Frühstück. Beim Frühstück habe ich eine Funknachricht von Frau Müller bekommen. Wir sollen in der Bordbibliothek mal schauen, was man unter <tt>altgriechisch wirksamkeit begriffsklärung</tt> findet."
 
===== Aufgabe 1.5: Internet-Recherche =====
Ihr habt zwar nicht die Bordbibliothek der Zukunft, aber vielleicht einen Zugriff auf's heutige Internet. Vielleicht versteckt sich ja hinter Frau Müllers Begriff der "Wirksamkeit" ein ganz anderer Begriff, wenn man ihn vom Deutschen ins klassische Griechisch übersetzt.
 
In diesem Fall wäre es interessant, einmal zu schauen, ob wir Paulines und Pauls Formeln im Internet wiederfinden.

Version vom 18. Februar 2007, 17:19 Uhr

Lernpfad
Dieses Themengebiet wurde für den Mathe-Tag an der Universität Würzburg ausgearbeitet. Die Sieger der Fümo-Mathematik-Olympiade durften einen Tag an der Uni verbringen um gemeinsam mit Professoren und Lehrern unterhaltsame und interessante Themen der Mathematik zu entdecken. Drei Kurse wurden in einem Stationenbetrieb durchlaufen (jeweils 1 Stunde). Kurs 1 war ein Lernpfad im Computerraum. Die Themenstellungen in Kurs 2 und Kurs 3 wurden mit Schüler anhand von Arbeitsblättern erarbeitet.
Hinweis
Es empfiehlt sich die Links in einem neuem Fenster öffnen. Halte dazu die Shift-Taste gedrückt, wenn du auf den Link klickst.


Vorlage:Babel-1

Kurs 1: Chaotische Bäume interaktiv

Informiere dich hier über die Begriffe Chaos und Fraktale.

Fraktale sind also geometrische Formen, deren Struktur sich immer wieder - allerdings verkleinert - wiederholt. Vergrößert man umgekehrt Teile der Figur, so stößt man stets auf die gleiche Grundstruktur und dieses Vergrößern kann beliebig oft geschehen.

Beispiele:


Pythagoras-Baum mit 60°-Winkel

Öffne das folgenes Applet in einem neuen Fenster und beantworte die folgenden Arbeitsaufträge:

  • Durch mehrmaliges Klicken auf "Draw" entsteht eine Figur. Beschreibe diese Figur. Wie sieht sie aus?
  • Lösche die Figur mit der Reset-Taste. Lasse nun nur die erste Stufe anzeigen. Aus welchen geometrischen Formen ist sie aufgebaut? Beschreibe diese möglichst genau! Wo ist der 60°-Winkel zu finden?
  • Lasse die Figur jetzt Stufe für Stufe zeichnen und beschreibe jeweils, wie jede weitere Stufe aus der vorhergehenden entsteht.
  • Woher kommt der Name Pythagorasbaum?

Pythagoras-Baum und verschiedene Winkel

Verändere nun in dem Applet auch den Winkel:

  • Untersuche die Bäume für 10° und 80°. Welcher Zusammenhang besteht?
  • Bei welchem Winkel wird der Baum achsensymmetrisch?
  • Wie verändert sich das Aussehen der Bäume bei Winkeln zwischen 1° und 45°?

Spielen im pythagoräischen Garten

Durch ziehen am roten Punkt dieses Applets kannst du den Pythagorasbaum verändern. Findest du den Broccoli?

Farne

Farn

Es gibt auch Fraktale, die Ähnlichkeit mit einem Farn haben.
Eine Möglichkeit diese Pflanzen nachzubilden zeigt folgendes Applet.
Die Ausgangsfigur besteht hier jeweils aus Strecken.
Versuche durch Ziehen an den Endpunkten das folgende Bild zu erzeugen.

















Weitere Informationen

Anwendungen

Kurs 2: Drachenfalten einmal anders

Arbeitsblätter mit Lösungen

Weitere Links

Kurs 3: Dreimal Sierpinski

Arbeitsblätter mit Lösungen

Weitere Links