Potenzfunktionen - 3. Stufe und Codes im Alltag: Der Barcode: Unterschied zwischen den Seiten

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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
{{Box|Info|Arbeite alle Schritte in der vorgesehenen Reihenfolge ab.|Kurzinfo}}
'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - 3. Stufe - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 5. Stufe|5. Stufe]]'''</div>


Es sei stets IN<sub>0</sub>={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}.<br />
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: <math>0<\textstyle \frac{1}{n}\leq 1</math>.


== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
== Schritt 1: Der Barcode im Alltag ==


=== Funkztionsgraph kennenlernen ===
{{2Spalten|
Barcodes (auch Strichcodes genannt) findest du in deinem Alltag ganz viele. Doch wie funktionieren sie und was haben sie mit Informatik zutun?


{| cellspacing="10"
Ein Code ordnet Wörtern, Satzzeichen oder andere Informationsblöcke anderen Wörtern, Satzzeichen und Informationsblöcken zu. Codierungsvorschriften sind beispielsweise der Eiercode, der Morsecode, die Blindenschrift und der Binärcode.
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
Im Applet rechst siehst Du den Graphen der Funktion <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{1,2,3,4,5\}</math>.<br />
# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
}}<br>
|| <ggb_applet height="450" width="550" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="Woerler_001b.ggb" />
|}


=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 ===
Es gibt verschiedene Arten von Barcodes.
* UPC: <u>U</u>niversal <u>P</u>roduct <u>C</u>ode
* EAN: <u>E</u>uropäische <u>A</u>rtikel<u>n</u>ummer
* GTIN: <u>G</u>lobal <u>T</u>rade <u>I</u>tem <u>N</u>umber


{| cellspacing="10"
Im folgenden werden wir uns mit dem EAN-13 beschäftigen.
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br>
:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>.
}}
}}<br>
|| <ggb_applet height="450" width="550" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="Woerler_001.ggb" />
|}


neue Datei {{ggb|Woerler_001.ggb|datei}}
== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln ==
Wir betrachten hier Potenzfunktionen der Bauart <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math>.
Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac{1}{n}}</math> sind n-te Wurzelfunktionen <math>g(x)=\sqrt[n]{x}</math>.
Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:
:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math>


{{Box|Arbeitsauftrag|Wo findest du in deinem Alltag überall Barcodes? Erstelle eine Mindmap. |Arbeitsmethode}}|
[[Datei:Getränkedose.jpg|mini|Eine Getränkedose enthält einen Barcode]]
}}


Im Falle <math>n=3</math> nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <font style="vertical-align:27%;"><math>x^{\frac{1}{3}}</math></font> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>.


== Schritt 2: Der Barcode - EAN 13 ==


{{Box|Arbeitsauftrag|Schaue dir das Video zum Aufbau des EAN-Barcodes an. Notiere die Fragen auf einem Blatt und beantworte sie.
# Wie viele Stellen hat der EAN-Strichcode?
# Wie ist der EAN-Strichcode aufgebaut? Welche Informationen sind in diesem enthalten?
# Wo findest du die Prüfziffer?
|Arbeitsmethode}}


=== Beispiel: Quadratwurzeln ===
{{#ev:youtube|8Gb82MZuDho|800|center}}


[[Bild:diagonale.png|right|165px]]


[[Bild:diagonale3.png|right|170px]]
== Schritt 3: Was ist die Prüfziffer? ==
Beispielsweise ergibt sich die Länge <math>d</math> der '''Diagonale in einem Quadrat''' der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras (<math>a^2 + a^2 = d^2</math>) zu:
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =d^2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>
Die mathematisch richtige Lösung <font style="vertical-align:18%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ist in dieser Situation nicht sinnvoll und kann vernachlässigt werden.


Die Prüfziffer dient dazu, die fehlerfreie Funktionsweise des Barcodes zu gewährleisten.
Hier liegt ein Algorithmus zugrunde, der nacheinander die Ziffern mit 1 und 3 multipliziert. Am Ende wird alles aufsummiert und die Differenz zur nächsten vollen Zehnerzahl (10, 20, 30, 40 ...) ermittelt. So erhält man die Prüfziffer.
Wir betrachten es an einem Beispiel.


[[Datei:Berechnung Prüfziffer.jpg|Barcode]]


Auch die Länge der '''Raumdiagonale <math>D</math> im Einheitswürfel ('''das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>d^2 + s^2 = D^2</math>) zu:
{{Box|Arbeitsauftrag|Ist die Prüfziffer der Barcodes korrekt? Berechne und schreibe den Rechenweg auf.
:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = D^2 \quad \Rightarrow \quad D = \pm \sqrt{3} \pm 3^{\frac 1 2}.</math>
Auch hier wird man nur die physikalisch sinnvolle Lösung <math>\textstyle D = \sqrt{3}</math> angeben.


=== Beispiel: Kubikwurzel ===
[[Datei:Barcode-2.gif|Barcode]]


Das Volumen <math>V</math> eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge <math>s=5</math> ergibt sich über:<br />
[[Datei:Barcode-3.gif|Barcode]]
:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math>
 
Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen <math>V=27</math> durch ziehen der 3.-Wurzel:
:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>
 
== Einfluss von Parametern ==
 
{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
Im nebenstehenden Applet kannst Du die Parameter <math>a</math> und <math>c</math> mit den Schiebereglern verändern.<br />
# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?
:{{Lösung versteckt|
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br>
:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>.
}}
}}<br>
|| <ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="8_ax1nc_w.ggb" />
|}


[[Datei:Barcode-4.gif|Barcode]]|Arbeitsmethode}}


<!--{{ggb|8_ax1nc_w.ggb|Datei hochladen}}-->
== Schritt 4: Das Geheimnis hinter den Strichen ==
Betrachten wir die Striche des Barcodes und untersuchen, wie diese aufgebaut sind.  


== *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==
{{Box|Arbeitsauftrag|Wir betrachten die Ziffer 2 des Barcodes. Untersucht in Partnerarbeit die Striche des Codes genauer. Übertrage die Bereiche 1-4 auf die dargestellten Tabellen 1-4. Jede Zahl besteht aus einem aus 7-Strichen bestehenden Code.
==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup> ====


Offenbar ergibt die Wurzelfunktion <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> zumindest bei ungeradem ''n'' sowohl für positive als auch negative ''x'' Lösungen, wie folgendes Beispiel zeigt:
[[Datei:Barcode Ziffer 2.png|Barcode]]
*<math>\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3,</math>
*<math>\sqrt[3]{ 27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>


Was fällt euch auf? Notiert es.
|Arbeitsmethode}}


Allerdings kann die Definition der Wurzelfunktion auf ganz IR auch zu Wiedersprüchen führen. An einem Beispiel wird die Problematik klar:
:<math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math>




Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:
== Übungsaufgaben ==
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math>  mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>


==== Wurzelfunktion auf ganz IR ====
{{Box|Freiwillige Aufgabe|Lade dir einen Barcodescanner beispielsweise die App "barcoo" herunter und scanne verschiedene Lebensmittel oder andere Produkte ab. Welche Informationen werden mit der App mitgeteilt?


Will man eine Wurzelfunktion ''g'' dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa ''g'' derart, dass
Welche Vorteile hat der Barcode für die Verbraucher?
:<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>.
|Arbeitsmethode}}
Dann gilt: ID<sub>g</sub> = IR.

Version vom 7. Dezember 2019, 22:05 Uhr

Info
Arbeite alle Schritte in der vorgesehenen Reihenfolge ab.


Schritt 1: Der Barcode im Alltag

Barcodes (auch Strichcodes genannt) findest du in deinem Alltag ganz viele. Doch wie funktionieren sie und was haben sie mit Informatik zutun?

Ein Code ordnet Wörtern, Satzzeichen oder andere Informationsblöcke anderen Wörtern, Satzzeichen und Informationsblöcken zu. Codierungsvorschriften sind beispielsweise der Eiercode, der Morsecode, die Blindenschrift und der Binärcode.

Es gibt verschiedene Arten von Barcodes.

  • UPC: Universal Product Code
  • EAN: Europäische Artikelnummer
  • GTIN: Global Trade Item Number

Im folgenden werden wir uns mit dem EAN-13 beschäftigen.


Arbeitsauftrag
Wo findest du in deinem Alltag überall Barcodes? Erstelle eine Mindmap.
Eine Getränkedose enthält einen Barcode


Schritt 2: Der Barcode - EAN 13

Arbeitsauftrag

Schaue dir das Video zum Aufbau des EAN-Barcodes an. Notiere die Fragen auf einem Blatt und beantworte sie.

  1. Wie viele Stellen hat der EAN-Strichcode?
  2. Wie ist der EAN-Strichcode aufgebaut? Welche Informationen sind in diesem enthalten?
  3. Wo findest du die Prüfziffer?
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Schritt 3: Was ist die Prüfziffer?

Die Prüfziffer dient dazu, die fehlerfreie Funktionsweise des Barcodes zu gewährleisten. Hier liegt ein Algorithmus zugrunde, der nacheinander die Ziffern mit 1 und 3 multipliziert. Am Ende wird alles aufsummiert und die Differenz zur nächsten vollen Zehnerzahl (10, 20, 30, 40 ...) ermittelt. So erhält man die Prüfziffer. Wir betrachten es an einem Beispiel.

Barcode


Arbeitsauftrag

Ist die Prüfziffer der Barcodes korrekt? Berechne und schreibe den Rechenweg auf.

Barcode

Barcode

Barcode

Schritt 4: Das Geheimnis hinter den Strichen

Betrachten wir die Striche des Barcodes und untersuchen, wie diese aufgebaut sind.


Arbeitsauftrag

Wir betrachten die Ziffer 2 des Barcodes. Untersucht in Partnerarbeit die Striche des Codes genauer. Übertrage die Bereiche 1-4 auf die dargestellten Tabellen 1-4. Jede Zahl besteht aus einem aus 7-Strichen bestehenden Code.

Barcode

Was fällt euch auf? Notiert es.


Übungsaufgaben

Freiwillige Aufgabe

Lade dir einen Barcodescanner beispielsweise die App "barcoo" herunter und scanne verschiedene Lebensmittel oder andere Produkte ab. Welche Informationen werden mit der App mitgeteilt?

Welche Vorteile hat der Barcode für die Verbraucher?

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