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| {{Box|Lernpfad|[[File:Area under function.png|right]]Im folgenden Lernpfad soll eine Einführung in die Integralrechnung mit den wichtigsten Grundlagen sowohl für Grund- als auch Leistungskurse in Mathematik der Jahrgangsstufe 12 gegeben werden. | | {{Navigation verstecken|{{Lernpfad Integral}}}} |
| | | <!--==Aufgaben==--> |
| Der Lernpfad wurde im Rahmen der schriftlichen Hausarbeit zur zweiten Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen von Daniel Jacobs (Benutzername: [https://wiki.zum.de/wiki/Benutzer:Dickesen Dickesen]) erstellt und im Unterricht der Jahrgangsstufe 12 eingesetzt.
| | {{Box|1=Aufgabe 4|2= |
| | | Bestimme jeweils eine Stammfunktion <math>F(x)</math> zu folgenden Funktionen <math>f(x)</math> durch '''umgekehrte Differentiation'''. |
| | | # <math>f(x)=x^2</math> |
| | | # <math>f(x)=x^3</math> |
| [[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|left|verweis=Mathematik-digital]]
| | # <math>f(x)=3x</math> |
| |Lernpfad}} | | # <math>f(x)=x^5</math> |
| | | # <math>f(x)=5x^2</math> |
| '''Hinweise''':
| | # <math>f(x)=x^4</math> |
| | | # <math>f(x)=2</math> |
| Du kannst Dir jederzeit die Lösungen der Aufgaben zeigen lassen die Du gerade bearbeitest, obwohl ich selbstverständlich erst nach eigenständiger Bearbeitung dazu rate! <br>
| | # <math>f(t)=2t^5</math> |
| Zusätzlich enthalten einige Aufgaben Tipps zur Lösung. Du kannst sie benutzen, falls Du an einem Punkt nicht weiterkommst. <br>
| | # <math>f(x)=\frac{2}{5x^2}</math> |
| Du solltest in jedem Fall alle Aufgaben im Heft schriftlich mit Angabe des Lernpfades (www-Adresse und Überschrift!) bearbeiten sowie alle Definitionen, Ideen, etc. ebenfalls schriftlich übernehmen!
| | # <math>f(x)=\cos{(3x)}</math> (nur Lk) |
| | | # <math>f(x)=x+2\sin{(2x)}</math> (nur Lk) |
| | | # <math>f(x)=e^x</math> |
| '''So, jetzt geht's aber los! '''Zunächst etwas zum Aufwärmen, Fokussieren und Eingewöhnen:
| | # <math>f(x)=e^{-x}</math> |
| | | # <math>f(x)=2\cdot e^x</math> |
| {{Box|1=Aufgabe 1|2= | | # <math>f(x)=e^{-3x}</math> |
| Ein Hund rennt im Garten am Zaun hin und her und jagt die Passanten. Das Diagramm zeigt die Geschwindigkeit <math>v</math> des Hundes, wobei positives <math>v</math> die Bewegung nach rechts, negatives <math>v</math> die Bewegung nach links bedeutet. Die Geschwindigkeit <math>v</math> wird dabei in Meter pro Sekunde (m/s), die Zeit <math>t</math> in Sekunden (s) gemessen.
| | # <math>f(x)=\frac{1}{3}e^{x+5}</math> |
| | | # <math>f(x)=1+e^{\frac{1}{2}x}</math> |
| '''Der Hund startet zur Zeit t = 0 in der Mitte des Zauns.''' <br>
| | # <math>f(x)=\frac{5}{2}e^{2x-2}</math> |
| <center>[[Bild:Diagramm_Hund.jpg]]</center> | | |3=Arbeitsmethode}} |
| | | {{Lösung versteckt|1= |
| '''Bearbeite die folgenden Aufgaben und begründe Deine Antwort anhand des Graphen:''' <br>
| | Die allgemeinen Lösungen lauten: |
| | |
| '''a)''' In welchen Zeitabschnitten bewegt sich der Hund nach rechts bzw. nach links? {{Lösung versteckt|Bewegung nach rechts wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt für
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| <math>0 \leq t \leq 8</math> und <math>13 \leq t \leq 16.</math> <br> | |
| Bewegung nach links wenn der Graph unterhalb der x-Achse liegt für
| |
| <math>9 \leq t \leq 13</math> und <math>16 \leq t \leq 28.</math> | |
| }}
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| '''b)''' Wann hat der Hund die größte Geschwindigkeit nach rechts bzw. nach links erreicht?
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| {{Lösung versteckt|Größte Geschwindigkeit nach rechts am Hochpunkt des Graphen für <math>t = 5.</math> <br>
| |
| Größte Geschwindigkeit nach links am Tiefpunkt des Graphen für <math>t = 25.</math>
| |
| }} | |
| '''c)''' Wann wird der Hund schneller, wann wird er langsamer?{{Lösung versteckt|
| |
| Bewegung nach rechts: <br>
| |
| Hund wird schneller bei positiver Steigung des Graphen: <math>0 \leq t \leq 5 \ ; \ 13 \leq t \leq 15</math> <br>
| |
| Hund wird langsamer bei negativer Steigung des Graphen: <math>5 \leq t \leq 8 \ ; \ 15 \leq t \leq 16</math>
| |
| <br> | | <br> |
| Bewegung nach links: <br>
| | # <math>F(x)=\frac{1}{3} \cdot x^3</math> |
| Hund wird schneller bei negativer Steigung des Graphen: <math>9 \leq t \leq 12 \ ; \ 16 \leq t \leq 25</math> <br>
| | # <math>F(x)=\frac{1}{4} \cdot x^4</math> |
| Hund wird langsamer bei positiver Steigung des Graphen: <math>12 \leq t \leq 13 \ ; \ 25 \leq t \leq 28</math>
| | # <math>F(x)=\frac{3}{2} \cdot x^2</math> |
| }} | | # <math>F(x)=\frac{1}{6} \cdot x^6</math> |
| '''d)''' Gib eine Schätzung für die Breite des Grundstücks an unter der Voraussetzung, dass der Hund zum Zeitpunkt t = 8 die Grundstücksgrenze erreicht hat. {{Lösung versteckt|
| | # <math>F(x)=\frac{5}{3} \cdot x^3</math> |
| Strecke von der Zaunmitte bis zu den beiden Rändern jeweils ca. 27m. <br>
| | # <math>F(x)=\frac{1}{5} \cdot x^5</math> |
| Somit ergibt sich eine Grundstücksbreite von ca. 54m.
| | # <math>F(x)= 2x</math> |
| | # <math>F(t)=\frac{1}{3} \cdot t^6</math> |
| | # <math>F(x)=-\frac{2}{5}x^{-1}=-\frac{2}{5x}</math> |
| | # <math>F(x)=\frac{1}{3}\sin{(3x)}</math> |
| | # <math>F(x)=\frac{1}{2} \cdot x^2 - \cos{(2x)}</math> |
| | # <math>F(x)=e^x</math> |
| | # <math>F(x)=-e^{-x}</math> |
| | # <math>F(x)=2\cdot e^x</math> |
| | # <math>F(x)=-\frac{1}{3}\cdot e^{-3x}</math> |
| | # <math>F(x)=\frac{1}{3} e^{x+5}</math> |
| | # <math>F(x)=x+2e^{\frac{1}{2}x}</math> |
| | # <math>F(x)=\frac{5}{4}e^{2x-2}</math> |
| }} | | }} |
| '''e)''' Im letzten Aufgabenteil hast Du ausgehend von der vom Hund zurückgelegten Strecke die Grundstücksbreite geschätzt. Woran kann man die zurückgelegte Strecke in obigem Diagramm erkennen?{{Lösung versteckt|
| | <br><br> |
| Die zurückgelegte Strecke zeigt sich im Diagramm als Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. <br> Dabei ist die zurückgelegte Strecke nach rechts die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ''oberhalb'' der x-Achse und die zurückgelegte Strecke nach links ist die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ''unterhalb'' der x-Achse!
| | {{Frage| |
| | Wie lautet die (allgemeine) Stammfunktion zur allgemeinen Potenzfunktion <math>f(x)= a \cdot x^n</math>? |
| }} | | }} |
| '''f)''' Befindet sich der Hund nach 28 Sekunden rechts oder links von der Mitte des Zauns? {{Lösung versteckt|
| | {{Lösung versteckt|1= |
| Da der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ''oberhalb'' der x-Achse etwas größer ist als derjenige ''unterhalb'' der x-Achse, befindet sich der Hund rechts von der Zaunmitte.
| | <math>F(x)= \frac{a}{n+1} \cdot x^{n+1} + c</math> |
| }} | | }} |
| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Fortsetzung|weiter=Vorüberlegungen|weiterlink=/Vorüberlegungen}} | | {{Fortsetzung|weiter=Hauptsatz|weiterlink=Integral/Hauptsatz}} |
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| | | [[Kategorie:Integralrechnung]] |
| {{Lernpfad Integral}}
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| [[Kategorie:Lernpfad]] | |
| [[Kategorie:Mathematik]] | | [[Kategorie:Mathematik]] |
| [[Kategorie:Mathematik-digital]]
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| [[Kategorie:Integralrechnung]]
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| [[Kategorie:Sekundarstufe 2]]
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