Nullstellen bestimmen/Erraten von Nullstellen und Nullstellen bestimmen/Substitution: Unterschied zwischen den Seiten

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==Station 4: Gezieltes "Erraten" ganzzahliger Nullstellen ==
==Station 5: Nullstellen bestimmen durch Substitution - freiwillig für Experten... ;) ==
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==Worum geht's?==
==Worum geht's?==
Damit du eine Polynomdivision durchführen kannst, benötigst du ja zumindest eine Nullstelle. Woher aber nehmen und nicht stehlen?<br>
Das Wort Substitution komm vom von spätlateinischen "substituere", was soviel bedeutet wie "ersetzen".
Die gute Nachricht:<br>
Lies dir folgenden Text durch, und versuche zunächst selbständig, das Prinzip der Substitution zu verstehen, bevor du es dir im Video erklären lassen kannst.<br>
Wenn es sich um ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten handelt, kann man einzelne Nullstellen gezielt "erraten". Wie das funktioniert lernst du hier!<br>
[[Datei:Substitution.png|600px|Substitution|gerahmt|left]]
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==Du traust dich schon direkt, eine Aufgabe damit zu probieren?==
<popup name = "ja klar, Aufgabe">
Finde die Nullstellen der Funktion <math>f(x)=x^4+2x^2-3</math>
<popup name="Tipp">Es kann sein, dass sich beim Rücksubstituieren keine Lösung rauskommt, da der Radikant der Wurzel negativ wäre.</popup>
<popup name="Lösung">
'''Substitution''': <math>f(x)=x^4+2x^2-3x \Rightarrow f(z)=z^2+2z-3 </math><br><br>
'''Lösung der quadratischen Gleichung:''' <math>z_1=1; z_2=-3</math> <br><br>
'''Rücksubstitution:'''<br><math>z_1=1=x^2 \Rightarrow x_1 =-1 \text{ und } x_2=1</math> <br><br>
<math>z_2=-3=x^2 </math> liefert keine (reelle) Lösung!<br>
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'''Nullstellen der Funktion: <math>x_1=-1; x_2=1</math>'''
</popup>




==Informiere dich!==
 
==Du möchtest dir das Prinzip erst noch ausführlich erklären lassen?==
{|
{|
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe]]
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe]]
|{{#widget:YouTube|id=k46DmkwTpS4}}
|{{#widget:YouTube|id=aZw6ddi6gvs}}
|}
|}


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==Hefteintrag==
==Hefteintrag==
Übernimm folgenden Hefteintrag in dein Schulheft.
{{Aufgabe-M|
{|
Übernimm folgenden Hefteintrag in dein Heft. Beim '''Lösen aller zukünftigen Aufgaben orientiere dich an dieser Vorgehensweise!'''<br>
|[[Datei:HE Erraten Nullstellen.png|700px|HE Erraten Nullstellen]]
Ach ja, das muss heißen '''"Strategie 3"'''
|}
<br><br>
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[[Datei:Substitution.png|600px|Substitution|gerahmt]]
}}


 
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==Verstanden, worum es geht?==
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Erraten drauf hast... ;) <br>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pjfpenrwt18" style="border:0px;width:70%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
 


==Teste dich!==
==Teste dich!==
{| border="0" class = "left" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#8E8CF2}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width:50%; height:500px};background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}"
{{Übung| Bestimme die Nullstellen der Funktion <math>f(x)=x^4-7x^2+12</math><br>


{{Übung|Errate die erste Nullstelle und berechne alle weiteren mit Polynomdivision. Gib den Term vollständig faktorisiert an.<br>
<popup name="Lösung">
'''Substitution''': <math>f(x)=x^4-7x^2+12 \Rightarrow f(z)=z^2-7z+12 </math><br><br>
'''Lösung der quadratischen Gleichung:''' <math>z_1=3; z_2=4</math> <br><br>
'''Rücksubstitution:'''<br><math>z_1=3=x^2 \Rightarrow x_1 =-\sqrt{3} \text{ und } x_2=\sqrt{3}</math> <br><br>
<math>z_1=4=x^2 \Rightarrow x_3 =-2 \text{ und } x_4=2</math> <br><br>
<br><br>
'''Nullstellen der Funktion: <math>x_1=-\sqrt{3}; x_2=\sqrt{3}; x_3=-2; x_4=2</math>'''
</popup>
}}


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<math>f(x)=x^3-3x^2+3x-1</math>
<popup name="Lösung">dreifache Nullstelle bei <math>x=1</math>; <math>f(x)=(x-1)^3</math></popup><br>
<math>f(x)=x^3+x^2-4x-4</math>
<popup name="Lösung">Nullstellen bei <math>x_1=2; x_2=-2; x_3=-1</math>; <math>f(x)=(x+2)(x+1)(x-2)</math></popup><br>
}}
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'''Pflichtprogramm erfolgreich absolviert. Gratulation!'''<br>
'''Super, dass du die freweillige Station gemacht hast! Die Strategie wird dir vielleicht auch in anderen Zusammenhängen im Studium noch begegnen!
<br> Melde dich bei Lehrer um zu erfahren, wie es weitergeht! :)'''
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
 


{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="60"|[[Datei:binoculars-1015267_1920.jpg|left|150px]]
|align = "left"|[[../5.Substituion |'''Hier geht es zur Zusatzstation''']]'''...'''
|}
|}


{{Lernpfad Nullstellen bestimmen}}
{{Lernpfad Nullstellen bestimmen}}

Version vom 1. August 2018, 06:54 Uhr

Vorlage:Lernpfad Nullstellen bestimmen

Station 5: Nullstellen bestimmen durch Substitution - freiwillig für Experten... ;)


Worum geht's?

Das Wort Substitution komm vom von spätlateinischen "substituere", was soviel bedeutet wie "ersetzen". Lies dir folgenden Text durch, und versuche zunächst selbständig, das Prinzip der Substitution zu verstehen, bevor du es dir im Video erklären lassen kannst.

Substitution


































Du traust dich schon direkt, eine Aufgabe damit zu probieren?

<popup name = "ja klar, Aufgabe"> Finde die Nullstellen der Funktion <popup name="Tipp">Es kann sein, dass sich beim Rücksubstituieren keine Lösung rauskommt, da der Radikant der Wurzel negativ wäre.</popup> <popup name="Lösung"> Substitution:

Lösung der quadratischen Gleichung:

Rücksubstitution:


liefert keine (reelle) Lösung!


Nullstellen der Funktion: </popup>


Du möchtest dir das Prinzip erst noch ausführlich erklären lassen?

Film klappe
Fehler beim Widget YouTube: Unable to load template 'wiki:YouTube'


Hefteintrag

Vorlage:Aufgabe-M



Teste dich!

Übung
{{{1}}}




Super, dass du die freweillige Station gemacht hast! Die Strategie wird dir vielleicht auch in anderen Zusammenhängen im Studium noch begegnen!
Melde dich bei Lehrer um zu erfahren, wie es weitergeht! :)

Vorlage:Lernpfad Nullstellen bestimmen

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