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| ==Ober- und Untersumme== | | ==Übungsaufgaben== |
| Wir haben bis jetzt schon eine grundlegende Idee der Flächenbestimmung unter den Graphen von Funktionen kennengelernt. Jedoch ergibt dieses Verfahren bis jetzt nur einen Näherungswert für den Flächeninhalt. <br>
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| {{Kasten_blau|
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| Im Folgenden wird das Verfahren verbessert, der Flächeninhalt exakt bestimmt sowie das theoretische und praktische Fundament eines der in der gesamten Mathematik wichtigsten Verfahren verfestigt werden! <br>
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| Dazu wird immer wieder auf den Funktionsumfang der freien Software Geogebra zurückgegriffen werden.
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| {{Aufgaben-M|3|
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| Mit Hilfe des folgenden interaktiven Java-Applets basierend auf Geogebra sollst Du einige wichtige Zusammenhänge nachvollziehen. <br>
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| Gezeigt ist der Graph der Funktion <math>f(x) = \frac{1}{100} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{7}{10} \cdot x + 5</math> mit den Rechteckflächen der Ober- und Untersumme in einem Intervall [a;b].
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| # Verschiebe abwechselnd die Intervallgrenzen a und b (blaue Punkte auf der x-Achse) mit der Maus nach rechts und links. Beschreibe wie die Rechteckflächen der Ober- und Untersumme auf die Verschiebung der Intervallgrenzen reagieren. Was geschieht mit den Werten O, U, M und der Differenz?
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| # Variiere jetzt die Anzahl <math>n</math> der Rechtecke durch Betätigung des Schiebereglers. Was passiert nun mit den Werten O, U, M und der Differenz? Wie und warum wird durch die Variation von <math>n</math> die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser oder schlechter beschrieben?
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| # Gelten die Ergebnisse von 1. und 2. auch für andere (beliebige) Intervalle [a, b]? Überprüfe dies durch Verändern der Intervallgrenzen sowie der Anzahl <math>n</math> der Rechtecke.
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| # Wie groß müsste <math>n</math> sein, damit kein Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erwarten wäre?
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| }}
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| <center><ggb_applet height="500" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Integral1_neu.ggb" /></center>
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