Integralrechnung/Ober- und Untersumme: Unterschied zwischen den Versionen
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Mit Hilfe des folgenden interaktiven Java-Applets basierend auf Geogebra sollst Du einige wichtige Zusammenhänge nachvollziehen. <br> | Mit Hilfe des folgenden interaktiven Java-Applets basierend auf Geogebra sollst Du einige wichtige Zusammenhänge nachvollziehen. <br> | ||
Gezeigt ist der Graph der Funktion <math>f(x) = \frac{1}{100} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{7}{10} \cdot x + 5</math> mit den Rechteckflächen der Ober- und Untersumme in einem Intervall [a;b]. | Gezeigt ist der Graph der Funktion <math>f(x) = \frac{1}{100} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{7}{10} \cdot x + 5</math> mit den Rechteckflächen der Ober- und Untersumme in einem Intervall [a;b]. | ||
# Verschiebe abwechselnd die Intervallgrenzen a und b (blaue Punkte auf der x-Achse) mit der Maus nach rechts und links. Beschreibe wie die Rechteckflächen der Ober- und Untersumme auf die Verschiebung der Intervallgrenzen reagieren. Was geschieht mit den Werten O, U, M und der Differenz? | # Verschiebe abwechselnd die Intervallgrenzen a und b (blaue Punkte auf der x-Achse) mit der Maus nach rechts und links. Beschreibe wie die Rechteckflächen der Ober- und Untersumme auf die Verschiebung der Intervallgrenzen reagieren. Was geschieht mit den Werten O, U, M und der Differenz? | ||
# Variiere jetzt die Anzahl <math>n</math> der Rechtecke durch Betätigung des Schiebereglers. Was passiert nun mit den Werten O, U, M und der Differenz? Wie und warum wird durch die Variation von <math>n</math> die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser oder schlechter beschrieben? | # Variiere jetzt die Anzahl <math>n</math> der Rechtecke durch Betätigung des Schiebereglers. Was passiert nun mit den Werten O, U, M und der Differenz? Wie und warum wird durch die Variation von <math>n</math> die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser oder schlechter beschrieben? | ||
# Gelten die Ergebnisse von 1. und 2. auch für andere (beliebige) Intervalle [a, b]? Überprüfe dies durch Verändern der Intervallgrenzen sowie der Anzahl <math>n</math> der Rechtecke. | # Gelten die Ergebnisse von 1. und 2. auch für andere (beliebige) Intervalle [a, b]? Überprüfe dies durch Verändern der Intervallgrenzen sowie der Anzahl <math>n</math> der Rechtecke. | ||
# Wie groß müsste <math>n</math> sein, damit kein Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erwarten wäre? | # Wie groß müsste <math>n</math> sein, damit kein Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erwarten wäre? | ||
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Version vom 19. Oktober 2009, 08:22 Uhr
Ober- und Untersumme
An dieser Stelle erscheint nun eine Zusammenfassung des bisher Gelernten sinnvoll:
Merke
- In einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ist die während eines bestimmten Zeitintervalls zurückgelegte Strecke gleich dem Flächeninhalt innerhalb dieses Zeitintervalls, der zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse liegt.
- Bei einer konstanten Funktion (z.B. konstante Geschwindigkeit) entspricht der Flächeninhalt (zurückgelegter Weg) unter dem Graphen in einem beliebigen Intervall (Anfangs- und Endzeitpunkt) einfach dem Produkt aus der Intervalllänge (Zeitdauer) und dem konstanten Funktionswert (Geschwindigkeit).
- Bei einer allgemeinen (auch nicht-konstanten) linearen Funktion entspricht der Flächeninhalt unter dem Graphen dem Mittelwert aus oberer und unterer Rechteckfläche. Dies gilt insbesondere auch für die konstante Funktion!
- Im Allgemeinen kann der Flächeninhalt unter dem Graphen einer beliebigen Funktion durch viele schmale Rechtecke in der Ober- und Untersumme angenähert werden. Dabei stellt wieder die Trapezsumme eine Verbesserung der Näherung dar.
Wir haben bis jetzt schon eine grundlegende Idee der Flächenbestimmung unter den Graphen von Funktionen kennengelernt. Jedoch ergibt dieses Verfahren bis jetzt nur einen Näherungswert für den Flächeninhalt.
Vorlage:Kasten blau
Vorlage:Aufgaben-M
