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| === Lernpfad zur Logarithmusfunktion ===
| | [[Datei:LouisXVISanction.jpg|300px|right|„Die freie Unterschrift“. Französische Karikatur aus dem Jahr 1792. Kaiser Leopold II.: „Was machst du da, Schwager?“ Ludwig XVI. (im Käfig): „Ich unterschreibe.“]] |
| | Nachdem der König vom Volk nach Paris geholt wurde, arbeitete die Nationalversammlung eine Verfassung aus, die der König unterzeichnen musste. |
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| {{Box|Info zur Bearbeitung| Bearbeitet die folgenden Aufgaben zur Logarithmusfunktion. Was ihr jeweils zu tun habt steht in der Aufgabenstellung. Teilweise gibt es Buttons mit "Tipp" und "Lösung". Wenn ihr auf diese klickt, öffnet sich entsprechend ein Tipp zur Bearbeitung oder die Lösung der Aufgabe.|Info}} | | {{Aufgabe| |
| | #Wer war wahlberechtigt?<br>Überlege, warum viele Sansculotten unzufrieden waren! |
| | #Erkläre, vor was Barnave warnt. |
| | ## Was meint er mit Linie der Freiheit? |
| | ##Was meint er mit Linie der Gleichheit? |
| | #Ordne die einzelnen Ereignisse in die richtige zeitliche Reihenfolge.}} |
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| {{Box|1. Erkundung der Logarithmusfunktion| | | {{clear}} |
| (Sollte euch das Applet nicht angezeigt werden hilft es i.d.R. ein paar mal die Seite zu aktualisieren. Sollte es dann immer noch nicht gehen, dann öffne GeoGebra separat auf deinem PC (o.ä.) und gib die Funktion <math>f(x)=a\cdot ln(bx+c)+d</math> ein. Es müssten sich dann automatisch Schieberegler für die einzelnen Variablen erstellen, die du dann verstellen kannst.)
| | [[Datei:french constitution of 1791.svg|thumb|600px|center|Die französische Verfassung von 1791]] |
| | {{clear}} |
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| '''a)''' Setzt <math>a</math> und <math>b</math> auf <math>1</math> und <math>c</math> und <math>d</math> auf <math>0</math>. Zoomt in dem GeoGebra-Applet ganz nah an die y-Achse heran und folgt dem Verlauf des Graphen. Was fällt euch auf?
| | {{Zitat|Ich stelle eine Frage, die von nationalem Interesse ist: werden wir die Revolution beenden oder werden wir sie von neuem beginnen? |
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| '''b)''' Zoomt wieder raus. Probiert die verschiedenen Schieberegler aus. Verändert dabei immer nur einen und notiert euch welchen Einfluss die jeweilige Änderung auf den Funktionsgraphen hat.
| | Ihr habt alle Menschen vor dem Gesetz gleichgemacht, Ihr habt dem Staat wiedergegeben, was ihm genommen wurde: daraus ergibt sich diese große Wahrheit, dass wenn die Revolution noch einen Schritt weitergeht, sie dies nicht ohne Gefahr tun kann; dass ein Schritt weiter auf der Linie der Freiheit die erste Handlung, die noch folgen könnte, die Vernichtung des Königtums wäre; und dass ein Schritt weiter auf der Linie der Gleichheit, der Angriff auf das Eigentum wäre (Beifall). |
| | [...]<br>Antoine Barnave: Die Revolution beenden (15. Juli 1791)}} |
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| <ggb_applet id="wfgskyd3" width="700" height="500" border="888888" />|Arbeitsmethode}}
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| {{Box|2. Nice to know!|
| | '''Ordne die einzelnen Ereignisse in die richtige zeitliche Reihenfolge:''' |
| Was ist der Logarithmus überhaupt?
| | <div class="lueckentext-quiz"> |
| {{LearningApp|width:80%|height:250px|app=16879906}}
| | ''Eröffnung der Generalstände in Versailles'' |
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| {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Ln-Fkt. als Spiegelung der e-Fkt.png|1000px|zentiert|rahmenlos]]|2= Bild zur Spiegelung|3=Bild verbergen}}
| | ''Ballhausschwur'' |
| |Merke}}
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| {{Box|3. Die Ableitung des natürlichen Logarithmus|
| | ''Sturm auf die Bastille'' |
| Auch die Ableitung von <math>\bar{f}(x)=ln(x)</math> kann mit Hilfe der obigen Ableitungsregel für Umkehrfunktionen berechnet werden.
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| '''Aufgabe:''' Leite mit Hilfe dieser Ableitungsregel den natürlichen Logarithmus ab. | | ''Erklärung der Menschen- und Bürgerrechte'' |
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| {{Lösung versteckt|1= Da <math>\bar{f}(x)=ln(x)</math> ist <math>f(x)=e^x</math>. Setzte diese entsprechend (teilweise ja die Ableitung) in die Formel <math>\bar{f}'(x)=\frac{1}{f'(\bar{f}(x))}</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
| | ''Neue Verfassung -> Frankreich wird zur konstitutionellen Monarchie'' |
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| {{Lösung versteckt|1= <math>\bar{f}'(x)=\frac{1}{f'(\bar{f}(x))}</math>
| | ''Fluchtversuch von Ludwig XVI.'' |
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| <math>\bar{f}'(x)=\frac{1}{e^{ln(x)}}=\frac{1}{x}</math>|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
| | ''Frankreich wird Republik'' |
| |Arbeitsmethode}}
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| {{Box|4. Ein paar Ableitungen zum "warm" werden.|
| | ''Ludwig XVI. wird mit Guillotine hingerichtet'' |
| Berechne von den folgenden Funktionen jeweils die '''erste''' und '''zweite Ableitung''' in deinem Heft.
| | </div> |
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| Beachte, dass bei <math>ln</math>-Funktionen meistens die ''Ketten-'', ''Produkt-'' und ''Quotientenregel'' zum Ableiten gebraucht werden. Falls du diese nicht mehr kennst, kannst du jeweils in dem entsprechenden Tipp nachschauen.
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| '''a)''' <math>f(x)=ln(5x)</math>
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| '''b)''' <math>g(x)=3x^2\cdot ln(x)</math>
| | {{Französische Revolution}} |
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| '''c)''' <math>h(x)=\frac{ln(x)}{x}</math>
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| '''*d)''' <math>k(x)=x^x</math>
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| {{Lösung versteckt|1= <math>f(x)=v(u(x))</math>, dann <math>f'(x)=v'(u(x))\cdot u'(x)</math> |2= Tipp: Kettenregel|3=Tipp verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1= <math>f(x)=v(x)\cdot u(x)</math>, dann <math>f'(x)=v'(x)\cdot u(x)+v(x)\cdot u'(x)</math> |2= Tipp: Produktregel|3=Tipp verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1= <math>f(x)=\frac{v(x)}{u(x)}</math>, dann <math>f'(x)=\frac{v'(x)\cdot u(x)-v(x)\cdot u'(x)}{u(x)^2}</math> |2= Tipp: Quotientenregel|3=Tipp verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1= '''1. Möglichkeit:''' Die Logarithmusregel <math>ln(x^n)=n\cdot ln(x)</math> kann hierbei helfen. Du musst nur noch überlegen, wie du den <math>ln</math> eingebaut bekommst, ohne den Wert der Funktion zu ändern.
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| '''2. Möglichkeit (etwas schwieriger):''' Es hilft ein kleiner Trick. Nehmt von beiden Seiten den <math>ln()</math>, also <math>ln(k(x))=ln(x^x)</math>, berechnet dann von beiden Seiten die Ableitung und formt die Gleichung am Ende geschickt um.|2= Tipp: zu d)|3=Tipp verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=1. Ableitung: ''(Kettenregel)'' <math>f'(x)=\frac{1}{5x}\cdot 5=\frac{5}{5x}=\frac{1}{x}</math>
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| 2. Ableitung: <math>f''(x)=(\frac{1}{x})'=(x^{-1})'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}</math>|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=1. Ableitung: ''(Produktregel)'' <math>g'(x)=6x\cdot ln(x)+3x^2\cdot \frac{1}{x}=6x\cdot ln(x)+\frac{3x^2}{x}=6x\cdot ln(x)+3x</math>
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| 2. Ableitung: ''(Produktregel)'' <math>g''(x)=6\cdot ln(x)+6x\cdot\frac{1}{x}+3=6\cdot ln(x)+\frac{6x}{x}+3=6\cdot ln(x)+6+3=6\cdot ln(x)+9</math>|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1= 1. Ableitung: ''(Quotientenregel)'' <math>h'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-ln(x)\cdot 1}{x^2}=\frac{\frac{x}{x}-ln(x)}{x^2}=\frac{1-ln(x)}{x^2}</math>
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| 2. Ableitung: ''(Quotientenregel)'' <math>h''(x)=\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^2-(1-ln(x))\cdot 2x}{x^4}=\frac{-\frac{x^2}{x}-2x+2x\cdot ln(x)}{x^4}=\frac{-x-2x+2x\cdot ln(x)}{x^4}=\frac{-3x+2x\cdot ln(x)}{x^4}=\frac{x(-3+2ln(x))}{x^4}=\frac{-3+2ln(x)}{x^3}</math>|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1='''1. Möglichkeit:'''
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| 1. Ableitung: <math>(k(x))'=(x^x)'=(e^{ln(x^x)})'=(e^{x\cdot ln(x)})'=e^{x\cdot ln(x)}\cdot (1\cdot ln(x)+x\cdot \frac{1}{x})=x^x\cdot (ln(x)+1)</math>
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| '''2. Möglichkeit:'''
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| 1. Ableitung:
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| <br /><br />
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| <math>
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| \begin{array}{rlll}
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| && k(x) &&=&& x^x &\mid \textrm{Trick: } ln()\\
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| &\Leftrightarrow& ln(k(x)) &&=&& ln(x^x) &\mid \textrm{Ableitung}\\
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| &\Rightarrow& (ln(k(x)))' &&=&& (ln(x^x))' &\mid \textrm{Kettenregel} \\
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| &\Leftrightarrow& \frac{1}{k(x)}\cdot k'(x) &&=&& 1\cdot ln(x)+x\cdot \frac{1}{x} \\
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| &\Leftrightarrow& \frac{1}{k(x)}\cdot k'(x) &&=&& ln(x)+1 &\mid \cdot k(x) \\
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| &\Leftrightarrow& k'(x) &&=&& (ln(x)+1)\cdot k(x) \\
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| & & &&=&& (ln(x)+1)\cdot x^x \\
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| \end{array}
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| </math>
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| <br /><br />
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| 2. Ableitung: ''(Produktregel)'' <math>k''(x)=\frac{1}{x}\cdot x^x+(ln(x)+1)\cdot (ln(x)+1)\cdot x^x=\frac{x^x}{x}+(ln(x)+1)^2\cdot x^x=x^{x-1}+(ln(x)+1)^2\cdot x^x</math> |2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}
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| |Arbeitsmethode}}
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| {{Box|5. Ableiten verschiedener <math>ln</math>-Funktionen|
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| Leite die folgenden (orangenen) Funktionen '''<u>in deinem Heft ab</u>''' und ordne sie dann ihrer Ableitung zu. Löse die Aufgabe nicht durch Ausprobieren! Notiere die eventuelle Fragen oder Unklarheiten.
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| {{LearningApp|width:10%|height:500px|app=16881552}}
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| |Arbeitsmethode}}
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| {{Box|6. Die Stammfunktion des natürlichen Logarithmus|
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| Die Stammfunktion des natürlichen Logarithmus ist definiert durch:
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| <math>\bar{F}(x)=\int ln(x) dx=x\cdot ln(x)-x+c</math>.
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| (Die Integration kann man mit Hilfe ''partieller Integration'' durchführen.)
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| '''Aufgabe:''' Weise nach, dass die obige Funktion <math>\bar{F}(x)</math> die Stammfunktion von <math>\bar{f}(x)=ln(x)</math> ist.
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| {{Lösung versteckt|1= Leite <math>\bar{F}(x)=x\cdot ln(x)-x+c</math> ab.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1= <math>\bar{F}'(x)=(x\cdot ln(x)-x+c)'= 1\cdot ln(x)+x\cdot \frac{1}{x}-1=ln(x)+1-1=ln(x)=\bar{f}(x)</math> |2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
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| |Arbeitsmethode}}
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| {{Box|7. Kurvendiskussion ohne GTR|
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| Gegeben ist die Funktion <math>f(x)=ln(x)\cdot x^4</math>.
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| '''a)''' Untersuche diese hinsichtlich des ''Definitionsbereiches'', der ''Symmetrie'', der ''Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen'', dem ''Unendlichkeitsverhalten'' der ''Extrempunkte'' und der ''Wendepunkte''.
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| {{Lösung versteckt|1= Sofern <math>e^{n}</math> eine irrationale Zahl ist, lasst diese einfach in der Form von <math>e^{n}</math> stehen.|2=Tipp 1: Umgang mit ''e''|3=Tipp verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1= Bei gleicher Basis werden bei der Multiplikation die Exponenten addiert: <math>e^n\cdot e^m=e^{n+m}</math>, bei der Division die Exponenten subtrahiert: <math>\frac{e^n}{e^m}=e^{n-m}</math> und bei der Potenzierung die Exponenten multipliziert: <math>(e^n)^m=e^{n\cdot m}</math>. Zudem kann man <math>e</math> bei gleichem Exponenten ausklammern.|2=Tipp 2: Rechnen mit ''e''|3=Tipp verbergen}}
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| '''b)''' Die Wendetangente <math>g(x)</math> begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück im 1. Quadranten. Berechne den Flächeninhalt dieses Stückes.
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| {{Lösung versteckt|1= Die Wendetangente ist die Tangente, die den Funktionsgraphen am Wendepunkt berührt. Dementsprechend stimmt der dortige Ableitungswert mit der Steigung der Tangenten überein.|2=Tipp: Wendetangente|3=Tipp verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1= Das Flächenstück, welches eine Gerade mit den Koordinatenachsen einschließt, ist ein Dreieck.|2=Tipp: Fläche|3=Tipp verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1= [[Datei:Wendetangente von ln(x)*x^4.png|1000px|zentriert|rahmenlos]]|2=Graph von f und g|3= Verbergen}}
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| |Arbeitsmethode}}
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