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Auf dieser Seite finden Sie die Grundvorstellungen, die Sie sich in diesem Lernpfad selbst erschließen können in einer detaillierten Zusammenfassung. Die Zusammenfassung können Sie auch als PDF oder Word Dokument herunterladen.

Die Ableitung

überschneidungen, keine getrennt zu betrachten, Differenzierbar, zwei mathematische definitionen

Die Ableitung als lokale (momentane) Änderungsrate

Die Grundvorstellung der Ableitung als lokale oder auch momentane Änderungsrate baut auf dem Verständnis von Änderungsprozessen auf, die bereits in der Sekundarstufe 1 behandelt wurden. Es wird nun also neben der absoluten Änderung und der mittleren (durchschnittlichen) Änderungsrate auch die lokale Änderungsrate beschrieben.

Wie auch in der Bearbeitung des Lernpfades lässt sich diese Grundvorstellung am besten mit einem Weg-Zeit-Zusammenhang erschließen.

So entspricht im Kontext eines Weg-Zeit-Zusammenhangs die absolute Änderung der Wegzunahme $f(x_1)-f(x_0)$vom Zeitpunkt $x_0$bis $x_1$die mittlere Änderungsrate $\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$der mittleren (durchschnittlichen) Geschwindigkeit im Intervall $[x_0,x_1]$. Da sich die mittlere Änderungsrate über ein Steigungsdreieck, also über den Differenzenquotienten berechnen lässt, ist sie graphisch mit der Steigung der Sekante zu deuten.

Durch sukzessive Verkleinerung dieses Intervalls lässt sich dann dem genäherten x-Wert eine lokale (momentane) Änderungsrate $f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$zuschreiben, die der momentanen Geschwindigkeit entspricht. Die Verkleinerung des Intervalls kann sowohl tabellarisch (siehe Aufgabe ??) als auch graphisch-dynamisch (siehe Aufgabe ??) erfolgen. Die lokale Änderungsrate ist dementsprechend graphisch als die Steigung des Graphen an der Stelle $x_0$, also der Steigung der Tangente im Berührpunkt $P(x_0|f(x_0)$zu interpretieren.

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Die Ableitung als Steigung der Tangente

Wie der Name schon sagt, ist bei dieser Grundvorstellung die Ableitung als Steigung der Tangente zu interpretieren. Es gilt also die bereits vorhandene Vorstellung der Tangente, die im Zusammenhang mit Kreisen erworben wurde, auf das Analytische zu erweitern.

In der Kreisgeometrie der Sekundarstufe 1 wurde die Tangente als eine Gerade definiert, die genau einen gemeinsamen Punkt (Berührpunkt) mit dem Kreis hat. In der Analysis hingegen ist die Tangente von $f$ an der Stelle $x_0$die Gerade, die den Graphen von $f$berührt und die gleiche Steigung wie $f$an dieser Stelle hat.

Die Ableitung $f'(x_0)$ entspricht also der Steigung von $f$an der Stelle $x_0$und ebenso der Steigung der Tangente von $f$an der Stelle $x_0$. Veranschaulichen lässt sich dies durch das Funktionenmikroskop (Aufgabe ??), das bei starkem Hineinzoomen in einen Graph zeigt wie sich die Tangente an den Graphen anschmiegt und letztlich nicht mehr von ihm zu unterscheiden ist.

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Hergeleitet wird die Ableitung, also die Steigung der Tangente bei dieser Grundvorstellung über die Steigung von Sekanten. Die Steigung der Sekante durch zwei Punkte $P(x_0|f(x_0)$und $Q(x_1|f(x_1)$eines Funktionsgraphen kann mittels Steigungsdreieck und Differenzenquotienten $\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$ leicht berechnet werden. Lässt man nun den Abstand zwischen $x_1$und $x_0$immer kleiner werden, so erhält man die Steigung die der Graph in diesem endlos verkleinerbaren Intervall $[x_0,x_1]$hat. Es entsteht also letztendlich die punktuelle Steigung des Graphen an der genäherten x-Stelle. Graphisch-dynamisch lässt sich dies durch die Näherung der zwei Punkte $P$und $Q$ visualisieren (Aufgabe ??). Es entsteht eine Gerade, die den Graphen lediglich berührt und die gleiche Steigung wie der Graph an der genährten x-Stelle hat. Die Tangente. Als die Steigung der Tangente ergibt sich somit der Grenzwert des Differenzenquotienten $\lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$, also die Ableitung $f'(x_0)$.

Die Ableitung als lokale lineare Approximation

Um zu erläutern welche Rolle die Ableitung bei der lokalen linearen Approximation einer Funktion einnimmt, wird zunächst geklärt wie sich Funktion lokal, also in sehr kleinen Umgebungen verhalten.

Zoomt man in verschiedene Funktionen hinein so erkennt man, dass sich Funktionen einerseits lokal linear, also geradlinig oder oder andererseits nicht linear verhalten können (Aufgabe ??).

Verhält sich eine Funktionen $f$an einer Stelle $x_0$lokal linear, so existiert an dieser Stelle auch die Ableitung $f'(x_0)$.

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