Bruchteil, Anteil und Ganzes bei der Bruchrechnung und Historische Stichworte/Grundherrschaft: Unterschied zwischen den Seiten

Aus ZUM-Unterrichten
(Unterschied zwischen Seiten)
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
 
(Matthias Scharwies verschob die Seite Historische Stichworte/Grundherrschaft nach Grundherrschaft und überschrieb dabei eine Weiterleitung)
Markierung: Neue Weiterleitung
 
Zeile 1: Zeile 1:
 
#WEITERLEITUNG [[Grundherrschaft]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Bruchrechnung]]
{{Box|1=Lernpfad|2=
Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Bruchteil, Anteil und Ganzes bei der Bruchrechnung"!<br><br>
 
Dieser Lernpfad wurde erstellt, um dein Wissen und deine Fähigkeiten im Umgang mit dem Bruchteil, Anteil und Ganzem innerhalb der Bruchrechnung zu verbessern.<br><br>
 
Dafür erhältst du zuerst eine kurze '''Übersicht über Bruchteil, Anteil und Ganzes''', bevor es darum geht, dass du '''Bruchteil, Anteil und Ganzes in gegebenen Situationen erkennen''' kannst. Der dritte Abschnitt ist dazu da, dass du '''Zusammenhänge zwischen Bruchteil, Anteil und Ganzes erkunden''' kannst. Im vierten Abschnitt wird dir die Möglichkeit geboten, '''Bruchteil, Anteil oder Ganzes zu berechnen''', wenn jeweils die anderen Beiden gegeben sind. Du findest dabei immer zuerst eine Förderaufgabe zur jeweiligen Berechnungsweise, bevor du diese dann in einer weiteren Aufgabe jeweils üben kannst. Zum Schluss kannst du das gelernte Wissen in einem '''Quiz '''überprüfen.<br><br>
 
In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Diese Aufgaben sind Förderaufgaben und unterstützen dich besonders stark beim Umgang mit den neuen Inhalten. Aufgaben ohne * dienen dem Üben. <br><br>
 
Einige Aufgaben sind interaktiv gestaltet. Wenn du alle nötigen Angaben in die dafür vorgesehenen Felder geschrieben hast, oder alle Dinge passend einander zugeordnet hast, dann kannst du deine Lösung überprüfen, indem du auf diesen Button drückst. [[Datei:Eingabebutton.png|40px]] Dieser befindet sich in der rechten unteren Ecke.<br><br>
 
In manchen Aufgaben musst du Brüche hinschreiben. Dies gelingt dir, indem du folgende Schreibweise verwendest: Schreibe 1/2 um den Bruch <math> \frac{1}{2} </math> einzutragen.
|3=Lernpfad}}
 
 
==Was sind nochmal Bruchteil, Anteil und das Ganze?==
 
{{Box|1=Info|2=
In diesem Abschnitt kannst du dir nochmal an zwei konkreten Beispielen anschauen, was <span style="color: red">Bruchteil </span>, <span style="color: green">Anteil </span> und <span style="color: blue">Ganzes </span> sind.
|3=Kurzinfo}}
 
Immer wenn wir einen Bruch gegeben haben, dann können wir den <span style="color: red">Bruchteil </span>, den <span style="color: green">Anteil </span> und das <span style="color: blue">Ganze </span> bestimmen. Als Ausgangspunkt dient das <span style="color: blue">Ganze </span>, von dem nur ein bestimmter Teil betrachtet werden soll (der <span style="color: red">Bruchteil </span>). Der  <span style="color: green">Anteil </span> stellt immer das Verhältnis zwischen dem  <span style="color: red">Bruchteil </span> und dem <span style="color: blue">Ganzen </span> dar. Der  <span style="color: green">Anteil </span> ergibt sich, indem der  <span style="color: red">Bruchteil </span> durch das <span style="color: blue">Ganze </span> dividiert wird.
 
In den folgenden zwei Beispielen, kannst du dir diese drei Teile eines Bruches (<span style="color: red">Bruchteil </span>, <span style="color: green">Anteil </span>, <span style="color: blue">Ganzes </span>) mithilfe von zwei Abbildungen anschauen.
 
{{Box|1=Beispiel|2=
'''Betrachte <math>\frac{3}{4}</math> eines Kreises.'''
 
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} [[Datei:Darstellung kontinuierliches Ganzes.png|900px]]
{{!-}}
{{!}}
Der gesamte Kreis stellt bei diesem Beispiel das <span style="color: blue">Ganze </span> dar, auf das sich der <span style="color: red">Bruchteil </span> und der <span style="color: green">Anteil </span> beziehen.
 
Das <span style="color: blue">Ganze </span> kann nun in 4 gleich große Teile (4 Viertelkreise) unterteilt werden. Dabei ergeben die 3 farbig markierten Teile zusammen den <span style="color: red">Bruchteil </span>.
 
Der <span style="color: green">Anteil </span> gibt das Verhältnis zwischen dem <span style="color: red">Bruchteil </span> und dem <span style="color: blue">Ganzen </span> wieder. Es sind 3 von 4 Viertelkreisen farbig markiert (→ <math>\frac{3}{4}</math>)
{{!-}}
{{!)}}
 
|3=Beispiel}}
 
Im ersten Beispiel wird das <span style="color: blue">Ganze </span> durch eine geometrische Form (Kreis) dargestellt. Du wirst aber auch mit <span style="color: blue">Ganzen </span> arbeiten müssen, welche nur aus einer Menge (Zahl) bestehen. In einem zweiten Beispiel kannst du dir anschauen, was in so einem Fall der <span style="color: red">Bruchteil </span>, <span style="color: green">Anteil </span> und das <span style="color: blue">Ganze </span> sind.
 
{{Box|1=Beispiel|2=
'''Betrachte nun <math>\frac{3}{4}</math> von 12.'''
 
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} [[Datei:Bruchteil, Anteil, Ganzes bei diskretem Ganzen.png|900px]]
{{!-}}
{{!}} Wie in der Überschrift genannt, ist die 12 das <span style="color: blue">Ganze </span> (12 Sterne).
 
<math>\frac{3}{4}</math> ist der <span style="color: green">Anteil </span> und stellt wieder das Verhältnis zwischen <span style="color: red">Bruchteil </span> und <span style="color: blue">Ganzen </span> dar. Du kannst die 12 Sterne nun in 4 Gruppen mit jeweils 3 Sternen unterteilen (dies wurde auf der linken Seite getan). Wenn du 3 dieser Gruppen nun farbig markierst, so hast du 9 Sterne markiert. Dies stellt den <span style="color: red">Bruchteil </span> der 12 Sterne dar.
{{!-}}
{{!)}}
 
 
|3=Beispiel}}
 
 
Du kannst im nachfolgenden Lückentext überprüfen, ob du nun weißt, was <span style="color: red">Bruchteil </span>, <span style="color: green">Anteil </span> und <span style="color: blue">Ganzes </span> sind.
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn du einen Bruch in einer Sachsituation gegeben hast, dann kannst du bei dem Bruch immer Bruchteil, Anteil und '''Ganzes''' betrachten. Das Ganze stellt den '''Ausgangspunkt''' dar, auf welchen sich der '''Bruchteil''' und der Anteil beziehen. Bei Brüchen wird meist nur ein gewisser '''Teil''' des Ganzen betrachtet. Dabei handelt es sich um den Bruchteil. Das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzem spiegelt sich im '''Anteil''' wieder.
</div>
 
==Bruchteil, Anteil und Ganzes erkennen==
 
{{Box|1=Info|2=
In diesem Abschnitt geht es darum, dass du aus beschriebenen Kontexten den Bruchteil, Anteil und das Ganze erkennen kannst. Nur wenn dir das gelingt, kannst du im weiteren Verlauf mit Bruchteil, Anteil und Ganzem rechnen.
|3=Kurzinfo}}
 
 
{{Box|1=1. Was ist mein Bruchteil, mein Anteil und mein Ganzes?|2=
 
{{LearningApp|app=p827e0nwt19|width=100%|height=500px}}
 
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze:[[Datei:Kreis Ganze 8.png|250px]]  <math> \qquad \qquad </math> Bruchteil: [[Datei:Kreis Bruchteil drei.png|200px]] <math> \qquad \qquad </math> Anteil: <math>\quad</math> <math> \frac{3}{8} </math>
|2=Lösung Aufgabe 1|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: [[Datei:Rechteck Ganze 6.png|275px]] <math> \qquad \qquad </math> Bruchteil: [[Datei:Rechteck Bruchteil 5.png|250px]]  <math> \qquad \qquad </math> Anteil: <math>\quad</math><math> \frac{5}{6} </math>
|2=Lösung Aufgabe 2|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: [[Datei:Dreieck Ganze 6.png|250px]] <math>\qquad \qquad </math> Bruchteil: [[Datei:Dreieck Bruchteil 2.png|250px]] <math>\qquad \qquad </math> Anteil:<math>\quad</math> <math> \frac{2}{6} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{1}{3} </math>
|2=Lösung Aufgabe 3|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: [[Datei:Kuriose Form Ganze 16.png|250px]]  <math>\qquad \qquad </math> Bruchteil: [[Datei:Kuriose Form Bruchteil 6.png|250px]]<math>\qquad \qquad </math> Anteil:<math>\quad</math> <math> \frac{2}{6} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{1}{3} </math>
|2=Lösung Aufgabe 4|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: 20 <math>\qquad \qquad </math> Bruchteil: 6 <math>\qquad \qquad </math> Anteil:<math>\quad</math> <math> \frac{3}{10} </math>
|2=Lösung Aufgabe 5|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: 7 <math>\qquad \qquad </math> Bruchteil: 2 <math>\qquad \qquad </math> Anteil:<math>\quad</math> <math> \frac{2}{7} </math>
|2=Lösung Aufgabe 6|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: 28 <math>\qquad \qquad </math> Bruchteil: 18 <math>\qquad \qquad </math> Anteil:<math>\quad</math> <math> \frac{18}{28} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{9}{14} </math>
|2=Lösung Aufgabe 7|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: 25 <math>\qquad \qquad </math> Bruchteil: 5 <math>\qquad \qquad </math> Anteil:<math>\quad</math> <math> \frac{1}{5} </math>
|2=Lösung Aufgabe 8|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: 120 <math>\qquad \qquad </math> Bruchteil: 20 <math>\qquad \qquad </math> Anteil:<math>\quad</math> <math> \frac{20}{120} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 20}}{=}} \quad \frac{1}{6} </math>
|2=Lösung Aufgabe 9|3=Verstecken}}
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
==Zusammenhänge erkunden==
 
{{Box|1=Info|2=
In diesem Abschnitt kannst du Zusammenhänge zwischen Bruchteil, Anteil und Ganzem erkunden. Du kannst zum Beispiel herausfinden, auf welche Art und Weise sich der Bruchteil verändert, wenn der Anteil gleich bleibt, aber das Ganze größer oder kleiner wird.
|3=Kurzinfo}}
 
{{Box|1=2. Erkunde einige Zusammenhänge selbstständig|2=
 
Gehe bei der nun folgenden Übung wie folgt vor:
 
#Schaue dir die angefangenen Sätze auf der rechten Seite an
#Stelle Vermutungen auf, wie sich Bruchteil, Anteil oder Ganzes in den jeweiligen Situationen verändern und schreibe deine Vermutungen auf einem Blatt Papier auf.
#Untersuche nun die Veränderungen in den Geogebra Applets. Klicke dafür einfach auf diese und verändere mithilfe der Schieberegler die jeweils zugehörige Größe.
#Vervollständige nun die Sätze und vergleiche sie mit deinen vorher aufgeschriebenen Vermutungen.
#Überprüfe nun die vervollständigten Sätze. Schaue dir noch einmal die Geogebra Applets genau an, falls die Sätze nicht richtig sind.
 
<ggb_applet id="urgeqxkb" width="100%" height="200" />
<ggb_applet id="qnkysewg" width="100%" height="200" />
<ggb_applet id="cxv25nev" width="100%" height="200" />
 
Ziel dieser Aufgabe ist es, deine Entdeckungen in Geogebra in Merksätze zu formulieren.
 
<div class="lueckentext-quiz" width="200" height="160">
Wird bei einer Aufgabe das Ganze größer, während der Anteil immer gleich bleibt, so '''wird der Bruchteil größer'''. Das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzem '''bleibt gleich groß'''.
Wird bei einer Aufgabe der Anteil kleiner, während das Ganze immer gleich groß bleibt, so '''wird der Bruchteil kleiner'''. Das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzem '''wird kleiner'''.
Wird bei einer Aufgabe der Bruchteil größer, während der Anteil immer gleich bleibt, so '''wird das Ganze größer'''. Das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzem '''bleibt gleich groß'''.
Mithilfe dieses Wissens kannst du bei Aufgaben, bei welchen sich eine der drei Komponenten verändert, während eine zweite gleich bleibt, deine Ergebnisse leichter überprüfen.
</div>
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
==Mit Bruchteil, Anteil und Ganzem rechnen==
 
{{Box|1=Info|2=
Für diesen Abschnitt ist es wichtig, dass du erkennen kannst, was der Bruchteil, Anteil und das Ganze in einer bestimmten Situation ist. Falls du noch etwas unsicher beim Erkennen von Bruchteil, Anteil und Ganzes bist, dann schau nochmal in dem entsprechenden Abschnitt weiter oben nach.
|3=Kurzinfo}}
 
===Der Bruchteil ist gesucht===
 
In diesem Abschnitt ist immer der Anteil und das Ganze gegeben und es wird der Bruchteil gesucht. Wenn du nicht mehr weißt, wie du aus dem Anteil und dem Ganzen den Bruchteil berechnen kannst, dann schaue in die nachfolgende Erklärung.
 
<div style="margin-left:2em">
<!--{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2=Label fürs Anzeigen|3=Label fürs Verbergen}}-->
{{Lösung versteckt|1=
 
{{Box|1=Merke|2=
[[Bild:Comic_Merke.gif| left]]
 
<br>&nbsp;
<big>Der Bruchteil gibt die Anzahl an Teilen wieder, die vom Ganzen ausgewählt werden.<br>&nbsp;
Er lässt sich berechnen, indem du den Anteil mit dem Ganzen multiplizierst.</big><br>
<br><br>
'''Beispiel:'''
 
Julia und Marvin besitzen zusammen 6 Mützen. <math>\frac{2}{3}</math> davon gehören Marvin und <math> \frac{1}{3} </math> gehören Julia. Wie viele Mützen gehören Marvin?
 
Rechnung: Wir multiplizieren <math>\frac{2}{3} </math> mit 6 und erhalten <math>\frac{2}{3} \cdot 6 = 4 </math> .<br>&nbsp;
Antwort: Marvin besitzt 4 Mützen.
|3=Merksatz}}
 
|2=Erklärung: Bruchteil berechnen|3=Verstecken}}</div>
 
 
{{Box|1= 3.* Wie berechne ich den Bruchteil?| 2=
 
<div class="lueckentext-quiz" width="200" height="160">
Der Bruchteil lässt sich mithilfe der Formel '''Bruchteil''' = '''Anteil''' <math> \cdot </math>'''Ganze''' berechnen.
Wir üben nun gemeinsam die Berechnung des Bruchteils in einem gegebenen Sachzusammenhang:
 
Kim kauft für ihre Geburtstagsfeier Schokoladenriegel. Von den 24 Riegeln sind <math>\frac{2}{3}</math> aus Kinderschokolade, <math> \frac{1}{4}</math> Snickers und <math>\frac{1}{12} </math> Twix. Berechne die Anzahl an gekauften Kinderschokoladenriegeln.
 
Rechnung:
Ganze = '''24''' <math> \qquad </math> Anteil= '''<math>\frac{2}{3}</math>'''
 
Bruchteil = '''Anteil''' <math> \cdot </math>'''Ganze''' = '''<math>\frac{2}{3} </math>''' <math>\cdot </math>'''24''' <math> \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 3}}{=}} </math> '''<math> \frac{2}{1} </math>''' <math> \cdot </math> '''8''' = '''16'''.
 
Antwort: Kim hat für ihre Geburtstagsfeier 16 Kinderschokoladenriegel gekauft.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}
 
{{Box|1=4. Den Bruchteil berechnen|2=
 
Berechne nun eigenständig den Bruchteil in den dargestellten Aufgaben in deinem Heft. Kürze dabei soweit wie möglich.
 
Nachdem du alle Bruchteile berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe den jeweiligen Bruchteil ziehst.
 
{{LearningApp|app=pa408ct7k19|width=100%|height=500px}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Wenn du nicht weißt, wie du die Aufgaben lösen kannst, dann schaue dir die versteckte Erklärung vor Aufgabe 3 und die Aufgabe 3 noch einmal genau an.
 
|2= Tipp zum Lösen der Aufgaben|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
 
{{Box|1=Merke|2=
[[Bild:Comic_Merke.gif| left]]
 
<br>&nbsp;
<big>Du multiplizierst einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, indem du den Zähler mit der natürlichen Zahl multiplizierst und den Nenner beibehältst.</big><br>
<br><br>
 
'''Beispiel:'''
 
Der Bruch <math>\frac{2}{3}</math> soll mit der natürlichen Zahle <math> 6 </math> multipliziert werden. Wir multiplizieren dann den Zähler (<math>2</math>) mit der natürlichen Zahl <math>6</math> und behalten den Nenner (<math>3</math>) bei.
 
→ <math> \frac{2}{3} \cdot 6 = \frac{2 \cdot 6}{3} = \frac{12}{3} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 3}}{=}} \quad 4 </math><br><br>
 
Alternativ kannst du schon vorher kürzen.<br><br>
 
→ <math> \frac{2}{3} \cdot 6 \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 3}}{=}} \quad \frac{2}{1} \cdot 2 = \frac{4}{1} = 4 </math>
 
|3=Merksatz}}
|2=Hilfestellung: Bruch mit natürlicher Zahl multiplizieren|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
 
{{Box|1=Merke|2=
[[Bild:Comic_Merke.gif| left]]
 
<br>&nbsp;
<big>Du kannst einen Bruch kürzen, indem du den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl dividierst.</big><br>
<br><br>
 
'''Beispiel:'''
 
Der Bruch <math>\frac{16}{18}</math> soll gekürzt werden. Sowohl der Zähler (16) als auch der Nenner (18) sind durch 2 teilbar.
 
→ <math> \frac{16 : 2}{18 : 2} = \frac{8}{9} </math>
 
|3=Merksatz}}
|2=Hilfestellung: Kürzen|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: 32 <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{3}{8}</math> <br><br>
<math>\frac{3}{8} \cdot 32 = \frac{96}{8} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 8}}{=}} \quad 12 </math><br><br>
oder<br><br>
<math>\frac{3}{8} \cdot 32 \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 8}}{=}} \quad \frac{3}{1} \cdot 4 = 12 </math>
|2=Lösung Aufgabe 1|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: 60 <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{10}{12}</math> <br><br>
<math>\frac{10}{12} \cdot 60 = \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{5}{6} \cdot 60 = \frac{300}{6} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 6}}{=}} \quad 50 </math><br><br>
oder<br><br>
<math>\frac{10}{12} \cdot 60 = \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{5}{6} \cdot 60 \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 6}}{=}} \quad = \frac{5}{1} \cdot 10 = 50 </math>
|2=Lösung Aufgabe 2|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: 200 <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{3}{10}</math> <br><br>
<math>\frac{3}{10} \cdot 200 = \frac{600}{10} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 10}}{=}} \quad 60 </math><br><br>
oder<br><br>
<math>\frac{3}{10} \cdot 200 \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 10}}{=}} \quad \frac{3}{1} \cdot 20 = 60 </math>
|2=Lösung Aufgabe 3|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: 36 <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{5}{6}</math> <br><br>
<math>\frac{5}{6} \cdot 36 = \frac{180}{6} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 6}}{=}} \quad 30 </math><br><br>
oder<br><br>
<math>\frac{5}{6} \cdot 36 \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 6}}{=}} \quad \frac{5}{1} \cdot 6 = 30 </math>
|2=Lösung Aufgabe 4|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: 35 <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{3}{7}</math> <br><br>
<math>\frac{3}{7} \cdot 35 = \frac{105}{7} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 7}}{=}} \quad 15 </math><br><br>
oder<br><br>
<math>\frac{3}{7} \cdot 35 \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 7}}{=}} \quad \frac{3}{1} \cdot 5 = 15 </math>
|2=Lösung Aufgabe 5|3=Verstecken}}
 
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
===Das Ganze ist gesucht===
 
In diesem Abschnitt ist immer der Bruchteil und der Anteil gegeben und es wird das Ganze gesucht.
 
Damit du das Ganze berechnen kannst, musst du wissen, wie du eine natürliche Zahl durch einen Bruch dividieren kannst. Falls du nicht mehr genau weißt, wie das funktioniert, dann schaue in die versteckte Hilfestellung rein.
{{Lösung versteckt|1=
 
{{Box|1=Merke|2=
[[Bild:Comic_Merke.gif| left]]
 
<br>&nbsp;
<big>Du kannst eine natürliche Zahl durch einen Bruch dividieren, indem du die natürliche Zahl mit dem Kehrbruch des gegebenen Bruchs multiplizierst. Der Kehrbruch zu einem gegebenen Bruch erhältst du, indem du Zähler und Nenner des Bruchs vertauschst.</big><br>
<br><br>
 
'''Beispiel:'''
 
Die natürliche Zahl 2 soll durch <math>\frac{2}{4}</math> dividiert werden. Der Kehrbruch von <math>\frac{2}{4}</math> ist <math>\frac{4}{2}</math>. Wir multiplizieren nun 2 mit dem Kehrbruch (<math>\frac{2}{4}</math>)
 
→ <math> 2 : \frac{2}{4} = 2 \cdot \frac{4}{2} = \frac{8}{2} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad 4 </math>
 
Auch hierbei kann schon früher gekürzt werden <math> \left(2 : \frac{2}{4} = 2 \cdot \frac{4}{2} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{4}{1} \cdot 1 = 4 \right) </math>
 
|3=Merksatz}}
|2=Hilfestellung: natürliche Zahl durch einen Bruch dividieren|3=Verstecken}}
 
Wenn du nicht mehr weißt, wie du aus dem Bruchteil und dem Anteil das Ganze berechnen kannst, dann schaue in die nachfolgende Erklärung.
 
<div style="margin-left:2em">
<!--{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2=Label fürs Anzeigen|3=Label fürs Verbergen}}-->
{{Lösung versteckt|1=
 
{{Box|1=Merke|2=
[[Bild:Comic_Merke.gif| left]]
 
<br>&nbsp;
<big>Das Ganze stellt die Ausgangsgröße dar.<br>&nbsp;
Du erhältst das Ganze aus dem Bruchteil und dem Anteil indem du den Bruchteil durch den Anteil dividierst.</big><br>
<br><br>
'''Beispiel:'''
 
Julia gehören 2 Mützen für den Winter. Das sind <math>\frac{1}{3}</math> aller Mützen, die sie und ihr Bruder Marvin gemeinsam besitzen. Wie viele Mützen haben die beiden zusammen?
 
Rechnung: Wir teilen 2 durch <math>\frac{1}{3}</math> und erhalten <math>2 : \frac{1}{3} = 2 \cdot \frac{3}{1} = 6</math>.<br>&nbsp;
Antwort: Den beiden gehören zusammen 6 Mützen.
|3=Merksatz}}
 
|2=Erklärung: Ganze berechnen|3=Verstecken}}</div>
 
{{Box|1= 5.* Wie berechne ich das Ganze?| 2=
 
<div class="lueckentext-quiz" width="200" height="160">
Das Ganze lässt sich mithilfe der Formel '''Ganze''' = '''Bruchteil''' <math> : </math>'''Anteil''' berechnen.
Wir üben nun gemeinsam die Berechnung des Ganzen in einem gegebenen Sachzusammenhang:
 
Zu Kims Geburtstagsfeier kommen 8 Freundinnen. Das sind <math> \frac{4}{5} </math> der Freundinnen, die Kim eingeladen hat. Berechne die Anzahl der Freundinnen, die insgesamt eingeladen wurden.
 
Rechnung:
Bruchteil = '''8''' <math> \qquad </math> Anteil= '''<math>\frac{4}{5}</math>'''
 
Ganze = '''Bruchteil''' : '''Anteil''' = '''Bruchteil''' <math> \cdot </math> '''Kehrbruch des Anteils''' = '''8''' <math> \cdot </math> '''<math>\frac{5}{4} </math>''' <math> \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 4}}{=}} </math> '''2''' <math> \cdot </math> '''<math> \frac{5}{1} </math>''' = '''10'''.
 
Antwort: Kim hat zu ihrer Geburtstagsfeier 10 Freundinnen eingeladen.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}
 
{{Box|1=6. Das Ganze berechnen|2=
 
Berechne nun selbst in deinem Heft das Ganze in den dargestellten Aufgaben.
 
Nachdem du alle Ganze berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe das jeweilige Ganze ziehst.
 
{{LearningApp|app=pxk0w9fmj19|width=100%|height=500px}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Wenn du nicht weißt, wie du die Aufgaben lösen kannst, dann schaue dir die versteckte Erklärung vor Aufgabe 5 und die Aufgabe 5 noch einmal genau an.
 
|2= Tipp zum Lösen der Aufgaben|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Bruchteil: 8 <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{1}{9}</math> <br><br>
<math>8 : \frac{1}{9} = 8 \cdot \frac{9}{1} = \frac{72}{1} = 72 </math>
|2=Lösung Aufgabe 1|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Bruchteil: 18 <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{2}{5}</math> <br><br>
<math>18 : \frac{2}{5} = 18 \cdot \frac{5}{2} = \frac{90}{2} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad 45 </math><br><br>
oder <br><br>
<math>18 : \frac{2}{5} = 18 \cdot \frac{5}{2} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad 9 \cdot \frac{5}{1} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad 45</math>
|2=Lösung Aufgabe 2|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Bruchteil: 15 <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{5}{9}</math> <br><br>
<math>15 : \frac{5}{9} = 15 \cdot \frac{9}{5} = \frac{135}{5} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 5}}{=}} \quad 27 </math><br><br>
oder <br><br>
<math>15 : \frac{5}{9} = 15 \cdot \frac{9}{5} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 5}}{=}} \quad 3 \cdot \frac{9}{1} = 27</math>
|2=Lösung Aufgabe 3|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Bruchteil: 22 <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{4}{6}</math> <br><br>
<math>22 : \frac{4}{6} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad 22: \frac{2}{3} = 22 \cdot \frac{3}{2} = \frac{66}{2} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad 33 </math><br><br>
oder<br><br>
<math>22 : \frac{4}{6} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad 22: \frac{2}{3} = 22 \cdot \frac{3}{2} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad 11 \cdot \frac{3}{1} = 33 </math>
|2=Lösung Aufgabe 4|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Bruchteil: 9 <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{3}{4}</math> <br><br>
<math>9 : \frac{3}{4} = 9 \cdot \frac{4}{3} = \frac{36}{3} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 3}}{=}} \quad 12 </math><br><br>
oder<br><br>
<math>9 : \frac{3}{4} = 9 \cdot \frac{4}{3} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 3}}{=}} \quad 3 \cdot \frac{4}{1} = 12 </math>
|2=Lösung Aufgabe 5|3=Verstecken}}
 
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
===Der Anteil ist gesucht===
 
 
In diesem Teil ist immer der Bruchteil und das Ganze gegeben und es wird der Anteil gesucht.
 
Wenn du nicht mehr weißt, wie du aus dem Bruchteil und dem Ganzen den Anteil berechnen kannst, dann schaue in die nachfolgende Erklärung.
 
<div style="margin-left:2em">
<!--{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2=Label fürs Anzeigen|3=Label fürs Verbergen}}-->
{{Lösung versteckt|1=
 
{{Box|1=Merke|2=
[[Bild:Comic_Merke.gif| left]]  
 
<br>&nbsp;
<big>Der Anteil stellt das Verhältnis zwischen dem Bruchteil und dem Ganzen dar.<br>&nbsp;
Er lässt sich berechnen, indem du den Bruchteil durch das Ganze dividierst.</big><br>
<br><br>
 
'''Beispiel:'''
 
Julia und Marvin besitzen zusammen 6 Mützen. Vier davon gehören Marvin und zwei gehören Julia. Wie groß ist der Anteil von Julias Mützen an allen Mützen der beiden?
 
Rechnung: Wir teilen 2 durch 6 und erhalten <math>\frac{2}{6} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{1}{3}</math>.<br>&nbsp;
Antwort: Julia besitzt <math>\frac{1}{3}</math> aller Mützen der beiden.
|3=Merksatz}}
 
|2=Erklärung|3=Verstecken}}</div>
 
{{Box|1= 7.* Wie berechne ich den Anteil?| 2=
 
<div class="lueckentext-quiz" width="200" height="160">
Der Anteil lässt sich mithilfe der Formel '''Anteil''' = '''Bruchteil'''/'''Ganze''' berechnen.
Wir üben nun gemeinsam die Berechnung des Anteils in einem gegebenen Sachzusammenhang:
 
Kim kauft für ihre Geburtstagsfeier einen Kasten Cola-Fanta-Sprite. Von den 20 Flaschen sind 10 Flaschen Cola, 6 Flaschen Fante und vier Flaschen Sprite. Berechne den Anteil der Spriteflaschen an dem gesamten Kasten.
 
Rechnung:
Bruchteil = '''4''' <math> \qquad </math> Ganze = '''20'''
 
Anteil = '''Bruchteil'''/'''Ganze''' = '''4'''/'''20''' = '''1'''/'''5'''
 
Antwort: Der Anteil an Spriteflaschen am gesamten Kasten beträgt <math> \frac{1}{5} </math>.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}
 
{{Box|1=8. Den Anteil berechnen|2=
 
Berechne nun eigenständig die Anteile der dargestellten Aufgaben in deinem Heft. Kürze dabei soweit wie möglich.
 
Nachdem du alle Anteile berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe den jeweiligen Anteil ziehst.
 
{{LearningApp|app=p1u95yfja19|width=100%|height=500px}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Wenn du nicht weißt, wie du die Aufgaben lösen kannst, dann schaue dir die versteckte Erklärung vor Aufgabe 7 und die Aufgabe 7 noch einmal genau an.
 
|2= Tipp zum Lösen der Aufgaben|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass Noah ebenfalls einen Teil der Schokolade bekommt.
|2=Tipp Aufgabe 5|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: 75 <math>\qquad</math> Bruchteil: 45 <br><br>
<math>\frac{45}{75} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 15}}{=}} \quad \frac{3}{5} </math>
 
|2=Lösung Aufgabe 1|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: 360  <math>\qquad</math>  Bruchteil: 360-280=80<br><br>
<math> \frac{80}{360} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 40}}{=}} \quad \frac{2}{9} </math>
|2=Lösung Aufgabe 2|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: 26    <math>\qquad</math>      Bruchteil: 8 <br><br>
<math> \frac{8}{26} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{4}{13}</math>
|2=Lösung Aufgabe 3|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: 28    <math>\qquad</math>      Bruchteil: 10 <br><br>
<math> \frac{10}{28} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{5}{14} </math>
|2=Lösung Aufgabe 4|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: 24  <math>\qquad</math>      Bruchteil: 4 <br><br>
<math> \frac{4}{24} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 4}}{=}} \quad \frac{1}{6}</math>
|2=Lösung Aufgabe 5|3=Verstecken}}
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
===Wonach ist gesucht?===
{{Box|1=9. Bruchteil, Anteil oder Ganzes berechnen?|2=
In dieser Aufgabe musst du erkennen, ob der Bruchteil, der Anteil oder das Ganze berechnet werden soll und angeben, wie dieser berechnet wird. Ziehe dafür die gesuchten Größen in das jeweiligen freien Felder.
<div class="lueckentext-quiz" width="200" height="160">
1. Auf dem Smartphone von Leni ist der Speicher voll. Um wieder neue Apps auf ihr Handy laden zu können, löscht sie <math> \frac{3}{14} </math> ihrer Apps. Diese neun von ihr gelöschten Apps hat sie schon lange nicht mehr verwendet. Berechne die Anzahl an Apps, die Leni vor dem Löschen auf ihrem Smartphone hatte. <br>
Was soll berechnet werden? '''Das Ganze''' <br>
Berechnungsweise: '''<math> Ganze = Bruchteil : Anteil = Bruchteil \cdot Kehrbruch \quad des \quad Anteils </math>'''<br>
 
2. Bei Familie Schröder gibt es zum Abendessen ein Blech selbstgemachte Pizza mit 15 Stücken. <math> \frac{1}{3} </math> der Pizza ist mit Salami belegt und <math> \frac{2}{3} </math> mit Paprika und Mais. Berechne die Anzahl an Pizzastücken, die mit Paprika und Mais belegt sind. <br>
Was soll berechnet werden? '''Der Bruchteil''' <br>
Berechnungsweise: '''<math> Bruchteil = Anteil \cdot Ganze </math>'''<br>
 
3. Helena möchte eine neue Frisur. Sie lässt ihre 40cm langen Haare auf 25cm zurückschneiden. Berechne den Anteil der neuen Haarlänge an der ursprünglichen Haarlänge.<br>
Was soll berechnet werden? '''Der Anteil''' <br>
Berechnungsweise: '''<math> Anteil = \frac{Bruchteil}{Ganze} </math>''' <br>
 
4. Im Jahr 2018 gab es sechs Tage im Februar, an denen Temperaturen über 20°C gemessen wurden. Da 2018 kein Schaltjahr war, war der Februar 28 Tage lang. Berechne den Anteil der Tage mit Temperaturen über 20°C im Februar. <br>
Was soll berechnet werden? '''Der Anteil''' <br>
Berechnungsweise: '''<math> Anteil = \frac{Bruchteil}{Ganze} </math>''' <br>
 
5. Für den Biologieunterricht macht Joshua ein Baumtagebuch. Er hat schon <math> \frac{2}{7} </math> der 14 zu beschreibenden Baumarten fertig. Berechne, wie viele Bäume Joshua in seinem Baumtagebuch beschreiben soll. <br>
Was soll berechnet werden? '''Das Ganze''' <br>
Berechnungsweise: '''<math> Ganze = Bruchteil : Anteil = Bruchteil \cdot Kehrbruch \quad des \quad Anteils </math>'''<br>
 
6. Bei den Bundesjugendspielen tritt Karl beim Weitwurf an. Damit er sich für die Endrunde qualifiziert, muss er weiter als 35 Meter werfen. In seinem ersten Wurf schafft er <math> \frac{6}{7} </math> dieser Weite. Berechne, wie weit Karl bei seinem ersten Wurf wirft.
Was soll berechnet werden? '''Der Bruchteil''' <br>
Berechnungsweise: '''<math> Bruchteil = Anteil \cdot Ganze </math>'''<br>
</div>
 
{{Lösung versteckt|1=
Wenn du Schwierigkeiten dabei hast zu erkennen, ob der Bruchteil, der Anteil oder das Ganze gegeben sind und was du davon berechnen sollst, dann bearbeite nochmal Aufgabe 1.
|2=Tipp: Ich weiß nicht, was berechnet werden soll|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Wenn du nicht mehr genau weißt, wie Bruchteil, Anteil oder Ganzes berechnet werden, dann schaue dir die versteckten Erklärungen vor den Aufgaben 3., 5. und 7. nochmal an.
|2=Tipp: Ich weiß nicht, wie Bruchteil, Anteil oder Ganzes berechnet wird.|3=Verstecken}}
 
|3= Arbeitsmethode}}
 
==Teste dein neues Wissen==
 
Du kannst bei gegebenen Situationen erkennen, was Bruchteil, Anteil und Ganzes sind und nach welcher dieser drei Größen gefragt ist? Zusätzlich kannst du den Bruchteil, Anteil und das Ganze berechnen, wenn diese gesucht sind?
 
Dann teste in dem folgenden Quiz dein können und schaffe es Bruch-Millionär zu werden!
 
Berechne dafür die Ergebnisse auf einem Blatt Papier und kreuze die richtige Antwort an.
 
Viel Erfolg!
 
{{Box|1=10. Bruch-Millionär|2=
{{LearningApp|app=p1wgyvxdj19|width=100%|height=500px}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Bruchteil: <math>8</math> <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{4}{7} </math> <br><br>
Ganze ist gesucht:<br><br>
<math>8 : \frac{4}{7} = 8 \cdot \frac{7}{4} = \frac{56}{4} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 4}}{=}} \quad 14</math><br><br>
oder <br><br>
<math>8 : \frac{4}{7} = 8 \cdot \frac{7}{4} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 4}}{=}} \quad 2 \cdot \frac{7}{1} = 14</math>
|2=Lösung 500€-Frage|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: <math>34</math> <math>\qquad</math> Bruchteil: <math>24</math> <br><br>
Anteil ist gesucht:<br><br>
<math> \frac{24}{34} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{12}{17}</math><br><br>
|2=Lösung 1.000€-Frage|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: <math>20</math> <math>\qquad</math> Anteil: Es gibt <math> \frac{2}{10} </math> Rabatt auf den Schal, also beträgt der noch zu zahlende Anteil <math>1-\frac{2}{10}=\frac{8}{10}</math><br><br>
Bruchteil ist gesucht:<br><br>
<math>20 \cdot \frac{8}{10} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad 20 \cdot \frac{4}{5} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 5}}{=}} \quad  4 \cdot \frac{4}{1} = 16</math><br><br>
oder <br><br>
<math>20 \cdot \frac{8}{10} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 10}}{=}} \quad 2 \cdot \frac{8}{1} = 16</math>
|2=Lösung 5.000€-Frage|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: <math>24</math> <math>\qquad</math> Anteil von Amy: <math> \frac{3}{8} </math> <math>\quad</math> Anteil von Emil: <math> \frac{1}{3} </math><br><br>
Um den Bruchteil von Alicia zu berechnen, werden erst die Bruchteile von Amy und Emil berechnet und die Summe der beiden von der Gesamtanzahl der Stimmen subtrahiert. <br><br>
Bruchteil von Amy:<br><br>
<math>24 \cdot \frac{3}{8} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 8}}{=}} \quad 3 \cdot \frac{3}{1} = 9</math><br><br>
Bruchteil von Emil: <br><br>
<math>24 \cdot \frac{1}{3} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 3}}{=}} 8 \cdot \frac{1}{1} = 8</math><br><br>
Zusammen haben Amy und Emil bei der Klassensprecherwahl 17 Stimmen erhalten. Alicia hat alle anderen Stimmen bekommen, daher ist der Bruchteil von Alicia: <br><br>
<math> 24-17=7</math>
|2=Lösung 50.000€-Frage|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Bruchteil: <math>140+70=210 </math> <math>\qquad</math> Anteil: <math> \frac{3}{7} </math> <br><br>
Ganze ist gesucht:<br><br>
<math>210 : \frac{3}{7} = 210 \cdot \frac{7}{3} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 3}}{=}} \quad 70 \cdot \frac{7}{1} = 490 </math><br><br>
|2=Lösung 250.000€-Frage|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ganze: <math>390</math> <math>\qquad</math> Bruchteil: <math>390-70-50=270</math> <br><br>
Anteil ist gesucht:<br><br>
<math> \frac{270}{390} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 30}}{=}} \quad \frac{9}{13}</math><br><br>
|2=Lösung 1.000.000€-Frage|3=Verstecken}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Wenn du Schwierigkeiten dabei hast zu erkennen, ob der Bruchteil, der Anteil oder das Ganze berechnet werden soll, dann schaue dir nochmal Aufgabe 9 genauer an.<br>
Wenn du Schwierigkeiten mit der Berechnung des Bruchteils hast, dann schaue dir nochmal die Aufgaben 3. und 4. an. <br>
Wenn du Schwierigkeiten mit der Berechnung des Ganzen hast, dann schaue dir nochmal die Aufgaben 5. und 6. an. <br>
Wenn du Schwierigkeiten mit der Berechnung des Anteils hast, dann schaue dir nochmal die Aufgaben 7. und 8. an.
|2=Tipp|3=Verstecken}}
 
|3=Arbeitsmethode}}

Aktuelle Version vom 23. Oktober 2019, 01:00 Uhr

Weiterleitung nach:

Abgerufen von „https://unterrichten.zum.de/index.php?title=Bruchteil,_Anteil_und_Ganzes_bei_der_Bruchrechnung&oldid=100235“