Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Einführung|Einführung]] - [[1. Stufe|1. Stufe]] - [[2. Stufe|2. Stufe]] - | '''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - 3. Stufe - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 5. Stufe|5. Stufe]]'''</div> | ||
Es sei stets IN<sub>0</sub>={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}.<br /> | |||
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: <math>0<\textstyle \frac{1}{n}\leq 1</math>. | |||
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>∈</small> IN == | == Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>∈</small> IN == | ||
=== Funktionsgraph kennenlernen === | |||
{| cellspacing="10" | |||
|- style="vertical-align:top;" | |||
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= | |||
Rechts siehst Du den Graphen der Funktion mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{1,2,3,4,5\}</math>.<br /> | |||
# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf | |||
#* Definitionsbereich | |||
#* Monotonie | |||
#* größte und kleinste Funktionswerte | |||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre> | |||
}}<br> | |||
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="Woerler_001b.ggb" /> | |||
|} | |||
=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 === | |||
{| cellspacing="10" | |||
|- style="vertical-align:top;" | |||
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= | |||
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern. | |||
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf | |||
#* Definitionsbereich | |||
#* Symmetrie | |||
#* Monotonie | |||
#* größte und kleinste Funktionswerte | |||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre> | |||
:{{Lösung versteckt| | |||
: zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an. Symmetrien (Achsen- bzw. Punktsymmetrie) findet man nur für die rot gestrichelten, nicht aber für die blauen Graphen. | |||
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen Graphen, sowohl in allen blauen, als auch in allen roten. Begründung: Es gilt stets <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>. | |||
}} | |||
}}<br> | |||
|| <ggb_applet height="350" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="Woerler_001.ggb" /> | |||
|} | |||
<!-- | |||
neue Datei {{ggb|Woerler_001.ggb|datei}}--> | |||
== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln == | |||
Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}.</math> | |||
Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ID ist - wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben - nicht negativ (Nähere Erläuterungen hierzu: siehe unten) , also ID = IR<sup>+</sup><sub>0</sub> | |||
Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt: | |||
:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math> | |||
Im Falle <math>n=3</math> nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <font style="vertical-align:27%;"><math>x^{\frac{1}{3}}</math></font> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>. | |||
=== Beispiel: Quadratwurzeln === | |||
[[Bild:diagonale.png|right|165px]] | |||
[[Bild:diagonale3.png|right|170px]] | |||
Beispielsweise ergibt sich die Länge <math>d</math> der '''Diagonale in einem Quadrat''' der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras (<math>a^2 + a^2 = d^2</math>) zu: | |||
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =d^2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math> | |||
Die Lösung ist <font style="vertical-align:18%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten. | |||
Auch die Länge der '''Raumdiagonale <math>D</math> im Einheitswürfel ('''das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>d^2 + s^2 = D^2</math>) zu: | |||
:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = D^2 \quad \Rightarrow \quad D = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math> | |||
Die Lösung ist also <math>\textstyle D = \sqrt{3}</math> angeben. | |||
=== Beispiel: Kubikwurzel === | |||
Das Volumen <math>V</math> eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge <math>s=5</math> ergibt sich über:<br /> | |||
:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math> | |||
Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen <math>V=27</math> durch ziehen der 3.-Wurzel: | |||
:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math> | |||
== Einfluss von Parametern == | |||
{| cellspacing="10" | |||
|- style="vertical-align:top;" | |||
| {{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= | |||
In nebenstehendem Applet kannst Du die Parameter <math>a</math> und <math>c</math> mit den Schiebereglern verändern.<br /> | |||
# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen? | |||
# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen? | |||
:{{Lösung versteckt| | |||
: Der Parameter <math>a</math> bewirkt für <math>a>1</math> eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für <math>0<a<1</math> eine Stauchung in y-Richtung; für <math>a=0</math> erhält man eine konstante Funktion mit <math>f(x)=c</math>. Wird <math>a</math> negativ, so wird <math>f</math> zu einer monoton fallenden Funktion.<br />Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert <math>y</math> der Wert <math>c</math> addiert wird. | |||
}}<br> | |||
}} | |||
|| <ggb_applet height="300" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="8_ax1nc_w.ggb" /> | |||
|} | |||
<!--{{ggb|8_ax1nc_w.ggb|Datei hochladen}}--> | |||
== *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen == | |||
==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup><sub>0</sub> ==== | |||
Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: <math>\sqrt[3]{-8}= -2,</math> | |||
Wegen | |||
:<math>(-2)^3 = -8</math> | |||
erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt: | |||
:<math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math> | |||
< | Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reelle Zahlen ein, also: | ||
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math> | |||
==== Wurzelfunktion auf ganz IR ==== | |||
Will man eine Wurzelfunktion ''g'' dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa ''g'' derart, dass | |||
:<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>. | |||
Dann gilt: ID<sub>g</sub> = IR. |
Version vom 20. Februar 2009, 18:23 Uhr
Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: .
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n ∈ IN
Funktionsgraph kennenlernen
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Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2
Vorlage:Arbeiten |
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln
Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit ,
Wegen nennt man diese Funktionen auch Wurzelfunktionen. Ihr Definitionsbereich ID ist - wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben - nicht negativ (Nähere Erläuterungen hierzu: siehe unten) , also ID = IR+0
Im Falle nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:
Im Falle nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: bzw. .
Beispiel: Quadratwurzeln
Beispielsweise ergibt sich die Länge der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge über den Satz des Pythagoras () zu:
Die Lösung ist ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.
Auch die Länge der Raumdiagonale im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: ) zu:
Die Lösung ist also angeben.
Beispiel: Kubikwurzel
Das Volumen eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge ergibt sich über:
Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen durch ziehen der 3.-Wurzel:
Einfluss von Parametern
Vorlage:Arbeiten | Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen
Einschränkung auf IR+0
Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung:
Wegen
erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:
Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reelle Zahlen ein, also:
- mit und
Wurzelfunktion auf ganz IR
Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass
- .
Dann gilt: IDg = IR.