Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Ergebnis und Ergebnismenge und Lernpfad Energie/Energieumwandlung und Wirkungsgrad: Unterschied zwischen den Seiten

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== Zum Überlegen ==
=='''Reibung - ein "Energie-Leck"'''==
{{Box||Stelle dir vor, du spielst Mensch ärgere dich nicht und du benötigst eine 1 oder eine 2 beim Würfeln, um deine Figur ins Haus stellen zu können. Nun würfelst du.
Würde man unser Beispiel ernst nehmen, müsste unser Skater nur rechts oben starten und könnte dann im Grunde stundenlang hin- und herfahren, ohne sich anzustrengen. Ständig würde potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt und umgekehrt. Es ist klar: in der Wirklichkeit funktioniert das so nicht. Aber warum? Ist unser "Glaubenssatz" von der Energieerhaltung etwa doch falsch?
Notiere dir alle möglichen Ausgänge, die bei diesem Zufallsexperiment herauskommen können.  


Ist es wahrscheinlicher, dass du deine Figur ins Haus stellen kannst oder dass es dir nicht gelingt? Begründe deine Antwort und tausche dich anschließend mit deiner Übungspartnerin/ mit deinem Übungspartner aus.|Unterrichtsidee }}
{{Box
|Aufgabe 4.1: Reibung spielt doch eine Rolle!
|
Schau Dir das folgende Youtube-Video an! Bearbeite danach das auf das Video folgende Quiz.
<br>
<br>


= Was ist ein Ergebnis und eine Ergebnismenge? =
{{#evu:https://www.youtube.com/watch?v=DDeDD-h8-gE}}
Ihr wisst nach dem vorigen Abschnitt, was Zufallsexperiment sind. Zu jedem durchgeführten Zufallsexperiment gibt es ein Ergebnis und man kann eine Ergebnismenge, die alle möglichen Ergebnisse umfasst, angeben.
|Arbeitsmethode
Eine formale Definition von Ergebnis und Ergebnismenge lautet folgendermaßen:
}}
<quiz display="simple">
{ Überprüfe Dein Wissen mit folgendem Quiz! Welche Aussagen sind richtig? (Das Bezugssystem wurde so gewählt, dass am tiefsten Punkt der Halfpipe die Lageenergie null beträgt.
| type ="()" }
| ja | nein
+- Die Flüssigkeit, welche verschüttet wurde, symbolisiert die entstandene Wärme.
-+ Die verschüttete Flüssigkeit ist verschwundene Energie.
-+ Lageenergie ist kinetische Energie.
+- Der Vorgang des Verschüttens der Flüssigkeit entspricht der Reibung.
-+ Auch bei Reibung wandelt sich die komplette Lageenergie in kinetische Energie um, wenn der Skater den tiefsten Punkt erreicht hat.
</quiz>


{{Box||Ein '''Ergebnis''' ist der (mögliche) Ausgang eines durchgeführten Zufallsexperiments.
<quiz display="simple">
{ Im Text im Video heißt es an einer Stelle: Die Energie, symbolisiert durch die verschüttete Flüssigkeit in dem Auffangbehälter, sei verloren. Bedeutet das:
| type ="()" }
| ja | nein
-+ Diese Energie ist weg. Die Gesamtenergie im System hat sich entsprechend reduziert.
+- Die Gesamtenergie ist erhalten, aber wir haben eine 3. Energieform, die zur Nutzung nicht mehr zur Verfügung steht.
</quiz>


Die '''Ergebnismenge''' fasst '''alle möglichen Ausgänge''' eines Zufallsexperiments zusammen.
{{Achtung|Vergiss nicht Deinen Screenshot für Dein Lerntagebuch!}}


<u>Schreibweise:</u>
{{Box
|Aufgabe 4.2 Der Energieerhaltungssatz mit Reibung
|


<math>\Omega=\{1,2,3\}</math>  Die Ergebnismenge ''Omega'' besteht aus den Ergebnissen 1,2 und 3.| Hervorhebung2}}
[[Bild:LE3 Halfpipe mit Buchstaben2.jpg|350px]]


Im obrigen Gedankenspiel solltet ihr die Ergebnismenge beim Würfeln bestimmen. Nun könnt ihr die Ergebnismenge mathematisch richtig aufschreiben! Da nur die AUgenzahlen 1 und 2 zum Erfolg führen und es mehr Augenzahlen gibt, die keinen Erfolg bringen, ist es eher unwahrscheinlich, dass man die Figur ins Haus stellen kann.
Der Energieerhaltungssatz gilt also noch immer. Allerdings kommt nun die Energieform der Wärme hinzu. Formuliere den Energieerhaltungssatz nun unter Berücksichtigung von Reibung in Deinem Lerntagebuch als Formel für die Punkte A, B und C. Wir nehmen an, dass alle Energie, die durch Reibung umgewandelt wird, an Ende zu einer Energieform beiträgt, die man Wärmeenergie E<sub>Wärme</sub> nennt.
 
|Arbeitsmethode
== Beispiele für Ergebnisse und Ergebnismengen ==
}}
Nun wollen wir uns auch hier konkrete Beispiele anschauen:
 
Bei der '''Shuffle-Funktion''' ist das Ergebnis der Song, der gerade gespielt wird.
:: Die Ergebnismenge ist: <math>\Omega= </math> {Goodbye Machine, Thoughts for the man, Beautiful heart, Summer of Lies, Turn up the Volume, I’m Insane, Get it together, Wicked madness, Bad lies, Hard chance}
Bei dem '''Münzwurf '''ist das Ergebnis, die Seite der Münze, die beim Durchgang oben liegt.
:: Die Ergebnismenge bei einem Münzwurf ist: <math>\Omega=</math> {Kopf, Zahl}


== Aufgaben ==
== Der Wirkungsgrad -- ein Maß für effiziente Energieumwandlung ==
{{Box|1. Würfel und Glücksräder|
Trage alle Ergebismengen für folgende Zufallsexperimente zusammen:
:a) Würfeln mit folgenden Würfeln:
::1) [[Datei:D8.jpg|100px]]
::2) [[Datei:D20 - blauer Würfel.jpg|100px]]
:b) Man dreht folgende Glücksrader:
::1) [[Datei:Gluecksrad8.png|200px]]
::2) [[Datei:Gluecksrad6 gewinn.png|200px]]
:c) Man würfelt zwei sechsseitige Würfel und addiert anschließend die Augensumme der Würfel.
{{Lösung versteckt|
'''a)'''Würfel mit acht Seiten: <math>\Omega=</math> {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}


Würfel mit 20 Seiten: <math>\Omega=</math> {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
=== Ein Rechenbeispiel ===


'''b)''':Das Glücksrad drehen:
Wenn sich unser Skater an den oberen Rand der Halfpipe stellt und sich losrollen lässt, so verfolgt er damit ein bestimmtes Ziel: Er will schneller werden. Durch die Reibung wird er allerdings nicht ganz so viel schneller, wie er es sich vielleicht wünscht. Wie stark die Reibung ist, hängt dabei von vielen Einflüssen ab; vor allem aber auch von den Lagern seines Skateboards und von der Oberfläche Halfpipe. Wir können davon ausgehen, dass durch Reibung letztlich Energie in Wärmeenergie umgewandelt wird. Das kann auch über Umwege passieren: ein Skateboard rollt nicht lautlos und auch der Schall trägt Energie weg. Diese wird dann irgendwo in der Umgebung wieder durch Reibung ebenfalls in Wärme umgewandelt. Die Wärmeenergie ist im Falle unseres Skaters ein unerwünschtes "Abfallprodukt".
: 1) <math>\Omega=</math> {rot, blau, gelb, grün}
: 2) <math>\Omega=</math> {rot, orange/Hauptgewinn, gelb, grün, hellblau, dunkelblau}


'''c)''':Die Augensumme bei einem Wurf mit zwei Würfeln: <math>\Omega=</math> {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
{{Box
|Aufgabe 4.3 Aufteilung in "nützlich" und "nutzlos" beschreiben
|
Wir betrachten nochmal den Fall, dass unser Skater aus einer Höhe von 2,5 Meter in der Halfpipe nach unten fährt.
[[Bild:LE3 halfpipe mit Buchstaben und Höhen2.jpg|350px]]<br>
Im Punkt B wird seine Geschwindigkeit gemessen; sie beträgt 5 Meter pro Sekunde.<br>
a) Nenne die Energieformen, in die die Lageenergie umgewandelt wird.<br>
b) Berechne, wie viel der ursprünglich als Lageenergie gespeicherten Energie bei Erreichen von Punkt B als zusätzliche Wärmeenergie vorliegt.<br>
{{Lösung versteckt|Text zum Verstecken
Trotz Reibung bleibt die Gesamtenergie, also die Summe von Lageenergie, Bewegungsenergie und in diesem Fall Wärmeenergie, erhalten. Die Lageenergie und die Bewegungsenergie kann man sowohl am Startpunkt als auch in Punkt B leicht errechnen. Die Differenz an Wärmeenergie <br><math>E_\text{Wärme,B}-E_\text{Wärme,Start}</math><br> kann man so leicht ausrechnen.
|Tipp anzeigen|Tipp verbergen
}}<br>
c) Berechne das Verhältnis von Bewegungsenergie am Punkt B zur Lageenergie beim Start. <br>
d) Beschreibe, was kannst Du über die physikalische Einheit dieses Verhältnisses sagen kannst?
|Arbeitsmethode
}}
}}
|Üben}}


{{Box|2. Was könnte hier passiert sein?|
=== Allgemeine Definition: Wirkungsgrad ===
Beschreibe passende Zufallsexperimente für folgende Ergebnismengen:
:a) <math>\Omega=</math> {Niete, kleiner Gewinn, mittlerer Gewinn, großer Gewinn}
:b) <math>\Omega=</math> {Song 1, Song 2, Song 3, Song 4}
:c) <math>\Omega=</math> {weiß, schwarz, rot, blau}
:d) <math>\Omega=</math> {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}


{{Lösung versteckt|
Wenn bei einer Energieumwandlung eine Energieform in mehrere andere umgewandelt wird, von denen manche nützlich sind und andere eher als "Abfallprodukt" gelten, definiert man den so genannten Wirkungsgrad <math>\eta</math> (griech. "eta"). Dieser wird manchmal auch als "Effizienz" bezeichnet (das erklärt auch die Wahl des griechischen Buchstabens.
'''Achtung:''' Hierbei handelt es sich um eine beispielhafte Lösung! Eure eigenen Beispiele können und sollen ganz anders aussehen


:'''a)''': Man zieht aus einer Lostrommel, die Nieten, kleine, mittlere und große Gewinne enthält.
[[Bild:Wirkungsgrad-Bild2.jpg|400px]]


:'''b)''': Man drückt auf die zufällige Wiedergabe bei einer Playliste, die nur 4 Songs enthält.
<math>
\eta = \frac{E_\text{Nutz}}{E_\text{Aufwand}}
</math>
<br><br>


:'''c)''': Man dreht ein Glücksrad, dass vier Sektoren enthält in den Farben weiß, schwarz, rot und blau.
Im Falle unseres Skaters entspricht die aufgewendete Energie gerade der Lageenergie am Anfang, die "Nutz-Energie" der Bewegungsenergie im Punkt B. Bei Aufgabe c) hast Du also bereits den Wirkungsgrad ausgerechnet. Und wahrscheinlich erkannt, dass sich die Einheiten wegkürzen, dass der Wirkungsgrad also eine der wenigen Größen in der Physik ist, die tatsächlich keine Maßeinheit haben.


:'''d)''': Man zieht aus einer Urne mit 10 Kugeln, die mit den Zahlen von 1 bis 10 beschriftet sind.
== Wirkungsgrad im Alltag ==
{{Box
|Aufgabe 4.4 Wirkungsgrad von Leuchtmitteln
|
[[Datei:New torch bulb.jpg|miniatur|LED- und Glühlampe]]
Eine 12W-Glühlampe wandelt innerhalb einer Sekunde 12 Joule elektrischer Energie in Lichtenergie um. Naja, jedenfalls teilweise. Denn der typische Wert einer Glühlampe liegt bei etwa 5 Prozent. <br>
a) Stelle eine Vermutung an, welche Energieform außer elektrischer Energie und Licht bei Lampen eine Rolle spielt?<br>
b) Berechne, wie viel Energie in einer Sekunde wirklich in Form von Licht abgegeben wird.<br>
c) Berechne, wie viel Energie man bei einer LED-Lampe in Form von elektrischer Energie pro Sekunde zuführen müsste, um die gleiche Menge an Licht zu erreichen. Eine kleine LED-Lampe hat einen Wirkungsgrad von etwa 15%.
|Arbeitsmethode
}}
}}
|Üben}}
{{Box|3. Buntes Würfeln und Drehen|
Im Folgenden siehst du verschiedene Würfel(-netze) und Glücksräder. Schreibe zu den gegeben Zufallsexperimenten die Ergebnismenge des jeweiligen Würfels/Glücksrad auf:
:a) [[Datei:D12 - orangener Würfel.jpg|100px]]
::1) Zufallsexperiment: Man würfelt den Würfel einmal.
::2) Zufalsexperiment: Man würfelt den Würfel zweimal und subtrahiert die kleinere Augenzahl von der größeren.
:b) [[Datei:Gluecksrad6.png|150px]]
::1) Zufallsexperiment: Man dreht das Glücksrad einmal
::2) Zufallsexperiment: Man dreht das Glücksrad zweimal hintereinander und notiert die beiden Ergebnisse in der aufgetretenen Reihenfolge.
:c) [[Datei:Dodeca.png|200px]]
::1) Zuafllsexperiment: Man würfelt den Würfel einmal und betrachtet die Farbe als Ergebnis.
::2) Zufallsexperiment: Man würfelt und betrachtet die Augenzahl als Ergebnis.
{{Lösung versteckt|
'''Ergebnis zu a):'''
::1) <math>\Omega=</math> {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
::2) <math>\Omega=</math> {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
'''Ergebnis zu b):'''
::1) <math>\Omega=</math> {violett, grün, gelb}
::2) <math>\Omega=</math> {(violett,violett), (violett,grün), (violett,gelb), (grün,grün), (grün,violett),(grün,gelb), (gelb,gelb), (gelb,violett), (gelb,grün)}


'''Ergebnis zu c):'''
{{Box
::1) <math>\Omega=</math> {pink, orange, hellblau}
|Aufgabe 4.5 Elektroauto und Diesel-Auto
::2) <math>\Omega=</math> {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
|
Elektroautos fahren ohne Abgase. Naja, wenigstens kommen keine aus ihrem Auspuff. Natürlich muss aber die Energie für ein Elektroauto irgendwo herkommen. Im Idealfall aus erneuerbaren Energien wie Wind- oder Sonnenenergie.
Nehmen wir aber einmal an, die Energie zum Laden käme aus einem Ölkraftwerk (Wirkungsgrad: ca. 45%). Mit dem Strom würde ein Lithium-Ionen-Akku aufgeladen werden, der dann die Energie später an den Elektromotor des Fahrzeugs abgibt. Der Akku wärmt sich beim Laden und Entladen auf und hat dabei einen Wirkungsgrad von nur 90%. Gute Elektromotoren haben einen Wirkungsgrad von ca. 95%.
Ein Dieselmotor in einem modernen Auto hat einen Wirkungsgrad von ca. 40%.
Vergleiche die beiden Fahrzeugtypen hinsichtlich ihres Wirkungsgrades vom Brennstoff zur Fortbewegung.
|Arbeitsmethode
}}
}}
|Üben}}
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|}


{{Vorlage:Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung}}
{{Lernpfad Energie}}
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Version vom 18. September 2018, 17:18 Uhr

Reibung - ein "Energie-Leck"

Würde man unser Beispiel ernst nehmen, müsste unser Skater nur rechts oben starten und könnte dann im Grunde stundenlang hin- und herfahren, ohne sich anzustrengen. Ständig würde potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt und umgekehrt. Es ist klar: in der Wirklichkeit funktioniert das so nicht. Aber warum? Ist unser "Glaubenssatz" von der Energieerhaltung etwa doch falsch?


Aufgabe 4.1: Reibung spielt doch eine Rolle!

Schau Dir das folgende Youtube-Video an! Bearbeite danach das auf das Video folgende Quiz.

Überprüfe Dein Wissen mit folgendem Quiz! Welche Aussagen sind richtig? (Das Bezugssystem wurde so gewählt, dass am tiefsten Punkt der Halfpipe die Lageenergie null beträgt.

ja nein
Die Flüssigkeit, welche verschüttet wurde, symbolisiert die entstandene Wärme.
Die verschüttete Flüssigkeit ist verschwundene Energie.
Lageenergie ist kinetische Energie.
Der Vorgang des Verschüttens der Flüssigkeit entspricht der Reibung.
Auch bei Reibung wandelt sich die komplette Lageenergie in kinetische Energie um, wenn der Skater den tiefsten Punkt erreicht hat.


Im Text im Video heißt es an einer Stelle: Die Energie, symbolisiert durch die verschüttete Flüssigkeit in dem Auffangbehälter, sei verloren. Bedeutet das:

ja nein
Diese Energie ist weg. Die Gesamtenergie im System hat sich entsprechend reduziert.
Die Gesamtenergie ist erhalten, aber wir haben eine 3. Energieform, die zur Nutzung nicht mehr zur Verfügung steht.


Achtung
Vergiss nicht Deinen Screenshot für Dein Lerntagebuch!



Aufgabe 4.2 Der Energieerhaltungssatz mit Reibung


LE3 Halfpipe mit Buchstaben2.jpg

Der Energieerhaltungssatz gilt also noch immer. Allerdings kommt nun die Energieform der Wärme hinzu. Formuliere den Energieerhaltungssatz nun unter Berücksichtigung von Reibung in Deinem Lerntagebuch als Formel für die Punkte A, B und C. Wir nehmen an, dass alle Energie, die durch Reibung umgewandelt wird, an Ende zu einer Energieform beiträgt, die man Wärmeenergie EWärme nennt.

Der Wirkungsgrad -- ein Maß für effiziente Energieumwandlung

Ein Rechenbeispiel

Wenn sich unser Skater an den oberen Rand der Halfpipe stellt und sich losrollen lässt, so verfolgt er damit ein bestimmtes Ziel: Er will schneller werden. Durch die Reibung wird er allerdings nicht ganz so viel schneller, wie er es sich vielleicht wünscht. Wie stark die Reibung ist, hängt dabei von vielen Einflüssen ab; vor allem aber auch von den Lagern seines Skateboards und von der Oberfläche Halfpipe. Wir können davon ausgehen, dass durch Reibung letztlich Energie in Wärmeenergie umgewandelt wird. Das kann auch über Umwege passieren: ein Skateboard rollt nicht lautlos und auch der Schall trägt Energie weg. Diese wird dann irgendwo in der Umgebung wieder durch Reibung ebenfalls in Wärme umgewandelt. Die Wärmeenergie ist im Falle unseres Skaters ein unerwünschtes "Abfallprodukt".


Aufgabe 4.3 Aufteilung in "nützlich" und "nutzlos" beschreiben

Wir betrachten nochmal den Fall, dass unser Skater aus einer Höhe von 2,5 Meter in der Halfpipe nach unten fährt. LE3 halfpipe mit Buchstaben und Höhen2.jpg
Im Punkt B wird seine Geschwindigkeit gemessen; sie beträgt 5 Meter pro Sekunde.
a) Nenne die Energieformen, in die die Lageenergie umgewandelt wird.
b) Berechne, wie viel der ursprünglich als Lageenergie gespeicherten Energie bei Erreichen von Punkt B als zusätzliche Wärmeenergie vorliegt.

Text zum Verstecken Trotz Reibung bleibt die Gesamtenergie, also die Summe von Lageenergie, Bewegungsenergie und in diesem Fall Wärmeenergie, erhalten. Die Lageenergie und die Bewegungsenergie kann man sowohl am Startpunkt als auch in Punkt B leicht errechnen. Die Differenz an Wärmeenergie

kann man so leicht ausrechnen.


c) Berechne das Verhältnis von Bewegungsenergie am Punkt B zur Lageenergie beim Start.
d) Beschreibe, was kannst Du über die physikalische Einheit dieses Verhältnisses sagen kannst?

Allgemeine Definition: Wirkungsgrad

Wenn bei einer Energieumwandlung eine Energieform in mehrere andere umgewandelt wird, von denen manche nützlich sind und andere eher als "Abfallprodukt" gelten, definiert man den so genannten Wirkungsgrad (griech. "eta"). Dieser wird manchmal auch als "Effizienz" bezeichnet (das erklärt auch die Wahl des griechischen Buchstabens.

Wirkungsgrad-Bild2.jpg



Im Falle unseres Skaters entspricht die aufgewendete Energie gerade der Lageenergie am Anfang, die "Nutz-Energie" der Bewegungsenergie im Punkt B. Bei Aufgabe c) hast Du also bereits den Wirkungsgrad ausgerechnet. Und wahrscheinlich erkannt, dass sich die Einheiten wegkürzen, dass der Wirkungsgrad also eine der wenigen Größen in der Physik ist, die tatsächlich keine Maßeinheit haben.

Wirkungsgrad im Alltag

Aufgabe 4.4 Wirkungsgrad von Leuchtmitteln
LED- und Glühlampe

Eine 12W-Glühlampe wandelt innerhalb einer Sekunde 12 Joule elektrischer Energie in Lichtenergie um. Naja, jedenfalls teilweise. Denn der typische Wert einer Glühlampe liegt bei etwa 5 Prozent.
a) Stelle eine Vermutung an, welche Energieform außer elektrischer Energie und Licht bei Lampen eine Rolle spielt?
b) Berechne, wie viel Energie in einer Sekunde wirklich in Form von Licht abgegeben wird.
c) Berechne, wie viel Energie man bei einer LED-Lampe in Form von elektrischer Energie pro Sekunde zuführen müsste, um die gleiche Menge an Licht zu erreichen. Eine kleine LED-Lampe hat einen Wirkungsgrad von etwa 15%.


Aufgabe 4.5 Elektroauto und Diesel-Auto

Elektroautos fahren ohne Abgase. Naja, wenigstens kommen keine aus ihrem Auspuff. Natürlich muss aber die Energie für ein Elektroauto irgendwo herkommen. Im Idealfall aus erneuerbaren Energien wie Wind- oder Sonnenenergie. Nehmen wir aber einmal an, die Energie zum Laden käme aus einem Ölkraftwerk (Wirkungsgrad: ca. 45%). Mit dem Strom würde ein Lithium-Ionen-Akku aufgeladen werden, der dann die Energie später an den Elektromotor des Fahrzeugs abgibt. Der Akku wärmt sich beim Laden und Entladen auf und hat dabei einen Wirkungsgrad von nur 90%. Gute Elektromotoren haben einen Wirkungsgrad von ca. 95%. Ein Dieselmotor in einem modernen Auto hat einen Wirkungsgrad von ca. 40%. Vergleiche die beiden Fahrzeugtypen hinsichtlich ihres Wirkungsgrades vom Brennstoff zur Fortbewegung.