Trigonometrische Funktionen/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen und Trigonometrische Funktionen: Unterschied zwischen den Seiten

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===FAQ===
[[Trigonometrische_Funktionen/Zum_Nachschlagen|Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.]]
__NOCACHE__
__NOTOC__
__NOTOC__
===Station 2: Erfahre, wie du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen kannst - und mehr!===
{{Box|1=Lernpfad|2=[[Datei:InfoausdemGraphen 3.png|left|230px]]
Mathematik betrifft alle unsere Lebensbereiche. Beim Karussell oder Schwingungen treten trigonometrische Funktionen auf.


'''Kompetenzen''' 
Wäre es nicht toll, wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest?
Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrschst du diese Kunst schon. Dann wirst du vieles von deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion übertragen können.


:#Auf dieser Seite lernst du, welche Informationen du aus einem Funktionsgraphen für den Funktionsterm erhältst. 
:#Du kannst zu einem gegebenen Funktionsgraphen den richtigen Funktionsterm angeben. 
:#Du erkennst im Kontext Anwendungen, die graphisch gegeben sind und kannst sie mathematisch als Formel und Funktionsterm interpretieren. 


'''Das kennst du schon'''
*Darstellungsformen von Funktionen
*Kenntnis der Auswirkung von Variationen in den Darstellungsformen von linearen und quadratischen Funktionen
*Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen


<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Formuliere eine Überschrift und mache dir Notizen zu den Aufgaben!
'''Das lernst du'''
*Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion und umgekehrt.
*Erarbeiten und Beschreiben der Auswirkungen der Variation der Parameter


----
'''Du erwirbst/ stärkst in diesem Lernpfad folgende Kompetenzen''' {{Lösung versteckt|
'''Du stärkst diese Kompetenzen''':<br>


'''Darstellen, Modellieren'''<br>
Du lernst welche Bedeutung die Parameter a,b,c und d bei der allgemeinen Sinusfunktion und Kosinusfunktion haben (Station 1)<br>
Du kannst zu gegebenen Funktionstermen die richtigen Graphen finden und selbst zeichnen. (Station 1)<br>
Du lernst, welche Informationen du aus einem Funktionsgraphen für den Funktionsterm erhältst. (Station 2)<br>


{{Box|1=Aufgabe 1|2=
'''Rechnen, Operieren'''<br>
[[Bild:InfoausdemGraphen_3.png|400px|right]]
Du kannst zu gegebenen Funktionstermen die richtigen Graphen finden und selbst zeichnen. (Station 1)<br>
Auf diesem Bild ist ein Graph einer allgemeinen Sinusfunktion (blau) zu sehen. Von diesem sollen nun einige Eigenschaften bestimmt werden. Als Hilfe wurde zusätzlich die Sinuskurve eingezeichnet. <br>
Du erkennst die Auswirkungen auf den Graphen der durch einen Term gegebenen Funktion. (Station 1)<br>
# Gib die Amplitude des Graphen an!
Du kannst zu einem gegebenen Funktionsgraphen den richtigen Funktionsterm angeben. (Station 2)<br>
# Gib die Wertemenge an!
Du gibst nach Modellierung des Problems den Funktionsterm an und zeichnest den Graphen. (Anwendungen)<br>
# Bestimme die Periode!
# Gib die Nullstellen der Funktion an!<br>
# An welchen Stellen sind die Funktionswerte am kleinsten und wo sind sie am größten? <br>
# Nenne jeweils einen Bereich in dem der Graph streng monoton fallend bzw. steigend ist!
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
Amplitude: <math>a=3</math>


Wertemenge: <math> W = [-3;3] </math>
'''Interpretieren'''<br>
Du lernst welche Bedeutung die Parameter a,b,c und d bei der allgemeinen Sinusfunktion und Kosinusfunktion haben (Station 1)<br>
Du erkennst im Kontext Anwendungen, die graphisch gegeben sind und kannst sie mathematisch als Formel und Funktionsterm interpretieren. (Station 2)<br>
Du gibst nach Modellierung des Problems den Funktionsterm an und zeichnest den Graphen. (Anwendungen)<br>


Periode: <math>\pi</math>
'''Argumentieren, Begründen'''<br>
Du kannst deine Kenntnisse über die Paramter a, b, c und d der allgemeinen Sinusfunktion anwenden. (Anwendungen)<br>


Nullstellen: <math>x_N = \frac{1}{3}\pi+k\cdot \frac{\pi}{2} </math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math> oder <math>x_N \in \{ ...; -\frac{1}{6}\pi;\frac{1}{3}\pi;\frac{5}{6}\pi;\frac{4}{3}\pi;\frac{11}{6}\pi;...\}</math>
'''Problemlösen'''<br>
Du kannst deine Kenntnisse über die Paramter a, b, c und d der allgemeinen Sinusfunktion anwenden. (Anwendungen)<br>


Tiefpunkte: <math>x_T = \frac{7}{12}\pi + k \cdot \pi</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math> oder <math>x_T \in \{ ...; -\frac{5}{12}\pi;\frac{7}{12}\pi;\frac{19}{12}\pi;...\}</math>
'''Transferieren'''<br>
Du kannst deine Kenntnisse über die Paramter a, b, c und d der allgemeinen Sinusfunktion anwenden. (Anwendungen)<br>
Du findest den Graphen bzw. den Funktionsterm einer passenden Sinusfunktion zu einem gegebenen Problem. (Anwendungen)<br>


Hochpunkte: <math>x_H = \frac{1}{12}\pi + k \cdot \pi</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math> oder <math>x_H \in \{ ...; \frac{1}{12}\pi;\frac{13}{12}\pi;\frac{25}{12}\pi;...\} </math>
'''Dokumentieren'''<br>
Du dokumentierst das Erlernte als Hefteinträge. (Station 1, Station 2, Anwendungen)<br>


streng monoton fallend: <math>...;[\frac{1}{12}\pi;\frac{7}{12}\pi];[\frac{13}{12}\pi;\frac{19}{12}\pi];...</math>
'''Kommunizieren'''<br>
Je nach Arbeitsmethode kommunizierst du mit deinen MitschülerInnen. (Station 1, Station 2, Anwendungen)<br>
|Kompetenzen anzeigen|Verbergen}}


streng monoton steigend: <math>...;[-\frac{5}{12}\pi;\frac{1}{12}\pi];[\frac{7}{12}\pi;\frac{13}{12}\pi];[\frac{19}{12}\pi;\frac{25}{12}\pi];...</math>
}}


===Bestimmung einer Funktionsgleichung aus dem Graphen===


{{Box|1=Merke|2=
Erstellt von '''Silvia Joachim''', '''Karl Haberl''' und '''Franz Embacher''' (2009)
Beachte: Zu einem Graphen kann es mehrere zugehörige Funktionsgleichungen geben! D.h., die Antwort auf die Frage nach einer Funktionsgleichung zu einem gegebenen Graphen muss nicht immer eindeutig sein.
Überarbeitet im Rahmen eines internationalen Projektes von [http://www.medienvielfalt.org '''Medienvielfalt im Mathematikunterricht'''] (2011)
Siehe auch: [http://medienvielfalt.zum.de/wiki/Trigonometrische_Funktionen_2 '''Lernpfad Trigonometrische Funktionen im Medienvielfalts-Wiki''']
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]
Informationen zum Einsatz des Lernpfads im Unterricht: [[Trigonometrische Funktionen/Didaktischer Kommentar| Didaktischer Kommentar]]
|3=Lernpfad}}


Um zu sehen wie man aus dem Graphen einer Funktion eine zugehörige Funktionsgleichung bestimmen kann, klicke [[Trigonometrische_Funktionen/Bestimmung_der_Funktionsgleichung|hier]].|3=Merksatz}}


{{Lösung versteckt|
*Übertrage die als "Hefteintrag" gekennzeichneten Beiträge auch wirklich in dein Heft!
*Bei den GeoGebra-Applets ist die <math>x </math>-Achse mit Vielfachen von <math> \pi </math> beschriftet. Indem man die <math> x </math>-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit'' cm ''umstellen.
*Zu den meisten Aufgaben gibt es Lösungen, diese befinden sich am Ende der jeweiligen Seite. Bearbeite zuerst die Aufgaben, mache dir Notizen und vergleiche diese erst zum Schluss mit den Lösungen! |Hinweise|Hinweise verstecken}}




'''Methoden'''
{{Lernpfad Trigonometrische Funktionen}}


:Falls du die Aufgabe 2 zu viert mit Hilfe eines Kreisbriefes bearbeiten möchtest, klicke auf den Button und lese dir die Erklärung durch:
{{Lösung versteckt|1=Diese Aufgabe dürft ihr zu viert bearbeiten. Sprecht euch dazu ab, wer zu welchem Graphen (unterschiedliche Farben) einen Funktionsterm bestimmen möchte. Dabei soll jeder einen anderen Graphen auswählen und die entsprechende Farbe oben auf einem Blatt notieren. Nun löst jeder seine Aufgabe auf dem Blatt und faltet es danach so, dass man zwar die gewählte Farbe lesen kann, aber nicht die Lösung. Nun tauscht ihr die Zettel innerhalb eurer Gruppe aus und bestimmt eine Funktionsgleichung zum neuen Graphen. Jetzt wieder falten und weiterreichen, usw. Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit. Je nachdem wie schnell ihr seid, wird es auf jedem Zettel zwei bis vier Lösungsmöglichkeiten geben. Nach 10 Minuten Bearbeitungszeit dürft ihr also die Zettel auffalten und alles lesen. Ihr habt nun fünf Minuten Zeit um über die Lösungsmöglichkeiten zu diskutieren.|2=Erklärung einblenden|3=Erklärung ausblenden}}
:Ansonsten ignoriere diesen Punkt und los geht's mit Aufgabe 2.


{{Fortsetzung|weiter=Einfluss der Parameter|weiterlink=Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter}}


{{Box|1=Aufgabe 2|2=
Bestimme zu folgenden Graphen je einen zugehörigen Funktionsterm der Form <math> x\rightarrow a\cdot\sin\Big(b\cdot (x+c)\Big)+d </math>.
:[[bild:Kontrolle_5.jpg|500px]]
|3=Arbeitsmethode}}




'''Jetzt noch was zum Knobeln!!!'''


{{Box|1=Aufgabe 3|2=
# In diesem <!-- [http://www.mathe-online.at/mathint/fun2/applet_b_grapherk3.html Applet]--> [http://www.mathe-online.at/galerie/fun2/fun2.html#grapherk3 Applet] (Bitte klicke dann auf '''Graphen erkennen 3'''!) <!-- und in diesem [[Trigonometrische_Funktionen/Bestimmung_der_Funktionsgleichung_aus_dem_Graphen/Applet|Applet]] -->kannst zu zeigen, ob du zu den gegebenen Graphen den zugehörigen Term findest.
# Gib einen Funktionsterm zu dem Graphen an, den man erhält, falls die Sinuskurve um zwei nach links und um 3 nach oben verschoben wird! Wie lautet die Gleichung, falls zusätzlich die Periode halbiert werden soll?
|3=Arbeitsmethode}}


'''Anwendungsbeispiel - Erdbeben'''
{{Box|1=Aufgabe 4|2=
Die Abbildung zeigt dir, wie man die Bewegung eines schwingenden Objekts mit Hilfe eines Streifen Papier, der an ihm mit konstanter Geschwindigkeit vorbei gezogen wird, "festhalten kann".
Auf diese Weise kann die Auslenkung als Funktion der Zeit aufgezeichnet werden. Nach diesem Prinzip können beispielsweise die Schwingungen, die ein Erdbeben auslöst, protokolliert werden.
Die folgende Abbildung zeigt ein solches "Protokoll".
* Wie viele Einzelschwingungen führt das Objekt pro Sekunde aus?
{{Lösung versteckt|1=Diese Zahl gibt die "Frequenz" an, wenn beispielsweise 100 Einzelschwingungen pro Sekunde stattfinden, so sagt man, die Schwingung hat eine Frequenz von 100 Hertz und schreibt <math>f=100 Hz</math>. Unter "einer Einzelschwingung" ist dabei ein vollständiges Durchlaufen einer Periode, ein "hin und her" gemeint.
|2=Tipp einblenden|3=Tipp ausblenden}}
* Stelle die Funktionsgleichung der Schwingung auf!
:[[bild:Abb1.gif|left|400px]][[bild:Abb2.gif|center|400px]]
|3=Arbeitsmethode}}
Super! Nun hast du es geschafft und das Ende der zweiten Station erreicht.
<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alles Wichtige notiert hast! Beachte, dass in dem Merke-Kasten ein Hefteintrag versteckt ist!
Falls du noch etwas üben möchtest, so löse die Zusatzaufgabe!
----
{{Box|1=Aufgabe 5 - Zusatzaufgabe|2=
In dem unteren Bild sind die Sinuskurve (rot) und ein Graph einer allgemeinen Sinusfunktion (blau) zu sehen.<br>
[[Bild:sin(2x-2).jpg|center|700px]]
# Du kennst die Nullstellen der Sinusfunktion. Wo sind sie?<br>
# Stelle in der Zeichnung fest, an welchen Stellen der schwarze Graph Nullstellen besitzt und notiere sie!<br>
# Wo hat der Graph der schwarzen Funktion Hochpunkte bzw. Tiefpunkte?<br>
# Wo ist er streng monoton fallend bzw. steigend?
|3=Arbeitsmethode}}
----
{{Fortsetzung|weiter=Anwendungen|weiterlink=Trigonometrische Funktionen/Anwendungen_2}}




[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Trigonometrische Funktionen]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Lernpfad]]

Version vom 17. Dezember 2021, 11:11 Uhr


Lernpfad
InfoausdemGraphen 3.png

Mathematik betrifft alle unsere Lebensbereiche. Beim Karussell oder Schwingungen treten trigonometrische Funktionen auf.

Wäre es nicht toll, wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest? Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrschst du diese Kunst schon. Dann wirst du vieles von deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion übertragen können.


Das kennst du schon

  • Darstellungsformen von Funktionen
  • Kenntnis der Auswirkung von Variationen in den Darstellungsformen von linearen und quadratischen Funktionen
  • Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen

Das lernst du

  • Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion und umgekehrt.
  • Erarbeiten und Beschreiben der Auswirkungen der Variation der Parameter
Du erwirbst/ stärkst in diesem Lernpfad folgende Kompetenzen

Du stärkst diese Kompetenzen:

Darstellen, Modellieren
Du lernst welche Bedeutung die Parameter a,b,c und d bei der allgemeinen Sinusfunktion und Kosinusfunktion haben (Station 1)
Du kannst zu gegebenen Funktionstermen die richtigen Graphen finden und selbst zeichnen. (Station 1)
Du lernst, welche Informationen du aus einem Funktionsgraphen für den Funktionsterm erhältst. (Station 2)

Rechnen, Operieren
Du kannst zu gegebenen Funktionstermen die richtigen Graphen finden und selbst zeichnen. (Station 1)
Du erkennst die Auswirkungen auf den Graphen der durch einen Term gegebenen Funktion. (Station 1)
Du kannst zu einem gegebenen Funktionsgraphen den richtigen Funktionsterm angeben. (Station 2)
Du gibst nach Modellierung des Problems den Funktionsterm an und zeichnest den Graphen. (Anwendungen)

Interpretieren
Du lernst welche Bedeutung die Parameter a,b,c und d bei der allgemeinen Sinusfunktion und Kosinusfunktion haben (Station 1)
Du erkennst im Kontext Anwendungen, die graphisch gegeben sind und kannst sie mathematisch als Formel und Funktionsterm interpretieren. (Station 2)
Du gibst nach Modellierung des Problems den Funktionsterm an und zeichnest den Graphen. (Anwendungen)

Argumentieren, Begründen
Du kannst deine Kenntnisse über die Paramter a, b, c und d der allgemeinen Sinusfunktion anwenden. (Anwendungen)

Problemlösen
Du kannst deine Kenntnisse über die Paramter a, b, c und d der allgemeinen Sinusfunktion anwenden. (Anwendungen)

Transferieren
Du kannst deine Kenntnisse über die Paramter a, b, c und d der allgemeinen Sinusfunktion anwenden. (Anwendungen)
Du findest den Graphen bzw. den Funktionsterm einer passenden Sinusfunktion zu einem gegebenen Problem. (Anwendungen)

Dokumentieren
Du dokumentierst das Erlernte als Hefteinträge. (Station 1, Station 2, Anwendungen)

Kommunizieren
Je nach Arbeitsmethode kommunizierst du mit deinen MitschülerInnen. (Station 1, Station 2, Anwendungen)


Erstellt von Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher (2009)
Überarbeitet im Rahmen eines internationalen Projektes von Medienvielfalt im Mathematikunterricht (2011)
Siehe auch: Lernpfad Trigonometrische Funktionen im Medienvielfalts-Wiki
Mathematik-digital
Informationen zum Einsatz des Lernpfads im Unterricht: Didaktischer Kommentar


  • Übertrage die als "Hefteintrag" gekennzeichneten Beiträge auch wirklich in dein Heft!
  • Bei den GeoGebra-Applets ist die -Achse mit Vielfachen von beschriftet. Indem man die -Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit cm umstellen.
  • Zu den meisten Aufgaben gibt es Lösungen, diese befinden sich am Ende der jeweiligen Seite. Bearbeite zuerst die Aufgaben, mache dir Notizen und vergleiche diese erst zum Schluss mit den Lösungen!


Trigonometrische Funktionen
Sin(2x-2).jpg
Mathematik-digital.de


Einfluss der Parameter
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