Lineare Funktionen/Station 1

Lineare Funktionen

• Station 1: Proportionalität
• Übung 1
• Station 2: Steigung
• Übung 2
• Station 3: Beschreibung allgemeiner Geraden
• Übung 3
• Station 4: Aufstellen eines Funktionterms
• Übung 4
• Abschluss

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Station 2: Steigung einer Geraden

In Station 1 hast du dir noch einmal bewusst gemacht, dass Geraden im Koordinatensystem unterschiedlich steil verlaufen können. Wie steil eine Gerade verläuft, gibt die sogenannte Steigung der Geraden an. Wie du ebenfalls in Station 1 gesehen hast, enthält die Steigung einer Geraden wichtige Informationen darüber, wie schnell bzw. wie stark sich Größen in einer betrachteten Situation ändern. In dieser Station lernst du, wie man die Steigung einer Geraden bestimmen und Geraden mit einer gewünschten Steigung zeichnen kann.

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2.1 Für's Gefühl

Folgende App soll dir helfen, zunächst ein Gefühl dafür zu entwickeln, wie der Wert der Steigung mit der Lage der Geraden zusammenhängt.

Überprüfe, ob du die richtigen Erkenntnisse gezogen hast!

2.2 Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden?

Nachdem du nun erfahren hast, wie der Wert der Steigung und die Lage einer Geraden im Koordinatensystem zusammenhängen, stellt sich jetzt die Frage, wie man denn den Wert der Steigung bestimmen kann!

Frage

Dein Cousin zeigt dir auf seinem Smartphone das unten dargestellte Foto. Er behauptet: "Diesen Berg bin ich gestern mit meinem Mountainbike hochgefahren!" Was sagst du dazu?

Wie stehst du zur Aussage deines Cousins?

Mein Cousin ... (!...ist ein großer Lügner!) (...fährt oft Mountainbike, schon möglich, dass er so einen Berg raufgekommen ist.) (!... wäre höchstens da raufgekommen, wenn er geklettert wäre!)

Um das Verkehrsschild zu verstehen, ist es wichtig zu wissen, wie denn eine Steigung überhaupt festgelegt ist.

Aufgabe

4

Die Steigung von Geraden bestimmt man allgemein genauso wie die Steigung von Straßen, nämlich mithilfe von Steigungsdreiecken.

Um das genauer zu erforschen, bearbeite bitte folgende App: Vorlage:Anleitung

Prüfe dich!

Welche Antworten sind richtig? (!Die Steigung hängt davon ab, wo die Punkte P und Q auf der Geraden liegen.) (Je größer $\Delta y$ bei gleichem $\Delta x$ ist, desto größer ist die Steigung.) (Zur Berechnung der Steigung ist es vollkommen egal, wo auf der Gerade das Steigungsdreieck liegt.) (Das Steigungsdreieck ist immer rechtwinklig!)

Merke

Die Steigung einer Geraden bestimmt man mithilfe eines Steigungsdreiecks.

• Wähle zwei beliebige Punkte P und Q auf der Geraden aus, am besten so, dass man die Koordinaten gut ablesen kann.
• Lege das Steigungsdreieck in diesen Punkten an die Gerade an.
• Berechne die Steigung m:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}$

Unterscheide drei Fälle:

$m>0$ Gerade steigt nach rechts an	$m=0$ Gerade parallel zur x-Achse	$m<0$ Gerade fällt nach rechts ab

Übernimm bitte auch folgende Beispiele in dein Schulheft!

Beispiel 1		Beispiel 2
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}=\frac{3 - 1}{6 - 2}=\frac{2 }{4}=0,5$		$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}=\frac{-6 - (-2)}{3 - 1}=\frac{-4}{2}=-2$
oder
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{Q_1} - y_{P_1}}{x_{Q_1} - x_{P_1}}=\frac{5 - 4}{10 - 8}=\frac{1 }{2}=0,5$

Schätze doch mal ab, wie groß die Steigung war, die dieser Audi Quattro vor 30 Jahren bereits erkommen hat!

<popup name="tatsächlichen Wert"> Die Steigung betrug 80% oder 0,8!</popup>

Übung 4: Wie groß ist die Steiung? Führe die Übung in der App durch. Notiere deine Überlegungen und Berechnungen ins Übungsheft!! In der App musst du Dezimalzahlen nicht mit Komma, sondern mit Punkt eintragen! Wenn es dir hilft, kannst du die Darstellungen auch in dein Heft übernehmen, um dort das Steigungsdreieck einzuzeichnen.

Probleme zu verstehen, wie man die Steigung bestimmt? Dann kannst du hier hier die Steigungsbestimmung nochmal Schritt für Schritt nachzuvollziehen! Keine Probleme? Dann kannst du einfach weitermachen! :)]

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2.3 Zeichnen einer Geraden unter Ausnutzung der Steigung

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der umgehehrten Fragestellung:

Frage

{{{1}}}

Du hast die Idee nicht verstanden? Kein Problem, in diesem Fall kannst du es dir hier nochmal ausführlich erklären lassen!

Aufgabe

5

Nicht sicher, ob deine Lösung stimmt? Hier ist ein ähnliches Beispiel ausführlich dargestellt!

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Glückwunsch, du hast die zweite Station erfolgreich gemeistert! Es warten Aufgaben auf dich...! :)

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