Lineare Funktionen/Station 3 und Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter der Normalform: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Lernpfad Lineare Funktionen}}
{{Box
|
|In diesem Kapitel stellen sich die Parameter der Normalform quadratischer Funktionen vor. Du kannst herausfinden,
#wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
#welchen Einfluss die Parameter der Normalform auf das Aussehen und die Lage der Parabel haben und
#wie du das an den Funktionstermen erkennen kannst.
|Kurzinfo
}}


__NOTOC__
<div style="  width: 80%; border: 2px solid #c6d745; background-color:#c6d745; padding:7px;font-size:1px; height:1px; border-bottom:1px solid #c6d745;"></div>
<div style="  width: 80%; border: 2px solid #c6d745; background-color:#ffffff; align:center; padding:7px;">


==Station 3: Beschreibung allgemeiner Geraden ==


{|
==Strecken, Stauchen und Spiegeln==


|align = "left" width="200"|[[Datei:Direction-1019747 1920.jpg|200px|Gerade]]
{{Box
|align = "left" |In Station 2 hast du gelernt, wie man die Steigung von Geraden im Koordinatensystem bestimmen kann. <br />
|Achtung
<br>
|Dieser Abschnitt ist identisch zu dem 1. Abschnitt in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Die Parameter der Scheitelpunktform|die Parameter der Scheitelpunktform]]. Wenn du ihn dort schon bearbeitet hast, kannst du direkt weitergehen zum nächsten Abschnitt '''"Der Parameter b"'''.
Allerdings haben wir bislang immer nur solche Geraden betrachtet, die Graph einer proportionalen Funktion waren, also Geraden, die durch den Ursprung verlaufen.
|Hervorhebung1
}}


<br>
 
<br>
{{Box
'''In dieser Station lernst du, wie man beliebige Geraden durch eine Funktionsgleichung beschreiben kann, also auch solche, die keine Ursprungsgeraden sind.'''
|Aufgabe 1
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4).
[[Datei:Notepad-117597.svg|40px|right|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
   
   
|}
Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
<br>
<br>
::(1) <math>y=2x^2</math>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2) <math>y=\frac{1}{2}x^2</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;und&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(3) <math>y=-x^2</math> ?
==Sind solche Geraden überhaupt relevant?==
 
Starte die App und '''überlege genau''', bevor du die Fragen beantwortest.<br>
'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).  
<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pdz69nvsn01" style="border:0px;width:30%;height:90px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br>
<br>
==Ursprungsgeraden reichen nicht!==
Ziehe die Begriffe unten in die richtige Lücke.
<div class="lueckentext-quiz">  
Bis jetzt haben wir immer nur Funktionen '''proportionaler''' Zusammenhänge der Form <math>f(x)=m\cdot x</math> betrachtet. Die Graphen zu diesen Funktionen waren immer Geraden, die durch den '''Ursprung''' verlaufen.
<br>
Wie du eben gesehen hast, gibt jedoch Situationen, die mit solchen Funktionen und Geraden '''nicht mehr beschrieben''' werden können.<br>
Dies ist vor allem dann der Fall, wenn beim x-Wert 0 der zugehörige y-Wert '''nicht gleich 0''' ist. In unserem Fall bedeutete das, dass zum Zeitpunkt t=0 die zugehörige Wassermenge nicht 0m<sup>3</sup>, sondern zum Beispiel 400m<sup>3</sup> war. <br>
Trotzdem stellt der Graph noch eine '''Gerade''' dar, da die Wassermenge immer noch '''gleichmäßig''' zu- oder abnimmt.Diese ist jedoch im Vergleich zur '''Ursprungsgeraden''' nach oben oder unten verschoben.<br><br>


Wie aber sieht eine Funktionsgleichung aus, die eine "allgemeine" Gerade richtig beschreiben kann?
{{Lösung versteckt|1=Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
</div>  
<br>


==Lineare Funktion - Funktionsterm==
'''b)''' Zeichne die drei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
Wir wissen bereits, wie der Funktionsterm von Funktionen aussieht, deren Graphe eine Ursprungsgerade ist: <math>f(x) =m\cdot x.</math><br><br>
|Arbeitsmethode
<div style="  border: 2px solid darkblue; background-color:#ffffff; align:center; padding:7px;">
}}
{|
|align = "left" width="60%"|Jetzt stellt sich aber die Frage, wie denn dann ein Funktionsterm aussehen muss, der jeder beliebige Gerade beschreiben kann?
Um dies herauszufinden, folge bitte den Anleitungen in der nächsten App. Viel Erfolg!'''
<br><div style="text-align:right">




<iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/1995255/width/929/height/887/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="929px" height="887px" style="border:0px;"> </iframe><br>
In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math>, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast, eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler a betätigen und dadurch den Graph <math>g(x)</math> verändern. Was passiert?


</div>
<ggb_applet width="100%" height="500" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="eK5MmMmb" />
|[[Datei:Search-1013910 1920.jpg|160px|Untersuchen]]
|}
</div>


{{Box
|Aufgabe 2
|In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.


'''<u>Ergebnis:</u>'''<br>
{{LearningApp|app=pm1vv0zbj16|height=375px}}
Jede beliebige Gerade im Koordinatensystem kann durch die Funktionsgleichung <math>f(x)=m\cdot x+t</math> beschrieben werden.<br>


<div style="  border: 5px solid #c6d745 ; background-color:#fff0ff; align:center; padding:7px;">
|Arbeitsmethode
{|
}}
|align = "left" width="280px"|[[File:Feuerwerks-gif.gif|230px|Feuerwerks-gif]]
|<div style="line-height:3.3em">Alle diese Funktionen, deren <span style="color:blue; font-size:18pt">Graph eine Gerade</span> ist <br>und deren Funktionsgleichung die Form <math>\color{blue} f(x)=m\cdot x+t</math> <br>
heißen <span style="color:orange; font-size:25pt">lineare Funktionen.</span></div>
|}
</div>


<br>
<br>
{{Box
{{Merke|1= Jede Funktion, die durch die Funktiongleichung  <math>\color{blue}f(x)=m\cdot x+t</math> beschrieben wird, heißt <span style="color:blue">'''lineare Funktion'''.</span> <br>
|Aufgabe 3
Der Graph einer linearen Funktion ist immer (irgend) eine '''Gerade'''.<br><br>
|'''Knobelaufgabe'''
[[Datei:Merksatz lin Funktion.png|600px|Geradengleichung]]<br>


*Man nennt <span style="color:red">'''t'''</span> den <span style="color:red">'''y-Achsenabschnitt'''</span> der Geraden.
{{LearningApp|app=pcssvbrfj16|height=500px}}
*<span style="color:darkgreen">'''m'''</span> bezeichnet die <span style="color:darkgreen">'''Steigung der Geraden.'''</span><br><br>
|Arbeitsmethode
*Verläuft der Graph durch die Punkte P(x<sub>P</sub>{{!}}y<sub>P</sub>) und Q(x<sub>Q</sub>{{!}}y<sub>Q</sub>), so gilt für die Geradensteigung: <math>m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-y_Q}</math>.<br>
<br>
'''<big>Beispiel</big>'''<br>
Bei obiger Gerade gilt:
*y-Achsenabschnitt: <math>\color{red}t=3</math>
*
*Steigung: <math>\color{OliveGreen}m=\frac{6-4,5}{6-3}=\frac{1,5}{3}=0,5</math>
<br>
Damit lautet die Funktionsgleichung: '''<math>\color{blue}f(x)=0,5x+3</math>'''
}}
}}


==Übungen zum Verständnis==
{| border="2" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#8E8CF2}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}};background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}"
|-
|<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Hand.gif|30px]]
&nbsp; Übung 10:  Ordne zu!
</div>Starte die App und entscheide, welche der dargestellten Graphen zu einer linearen Funktion gehören!<br><br>
<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pbuumpt6101" style="border:0px;width:30%;height:90px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> <span style="color:green">(leicht)</span>
|}




<br>
==Der Parameter b==
{{Aufgaben|6|Schreibe in den Schulheft hinter jede Aussage, ob sie richtig oder falsch ist. '''Begründe''' deine Entscheidung.<br>
 
&nbsp;&nbsp;"Jede lineare Funktion ist eine proportionale Funktion."<br>
{{Box
&nbsp;&nbsp;"Jeder proportionale Funktion ist eine lineare Funktion."
|Aufgabe 4
<popup name="Lösung">
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 10) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|right|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
Aussage 1 ist falsch. <br>
 
<u>Grund: </u>Der Graph einer linearen Funktion kann '''irgendeine''' Gerade sein, die nicht durch den Ursprung verlaufen muss. Wenn der Graph aber nicht durch den Ursprung verläuft, kann er nicht zu einer proportionalen Funktion gehören.<br> <br>
Aussage 2 ist richtig. <br>
Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
<u>Grund: </u>Der Graph jeder proportionalen Funktion ist eine Ursprungsgerade. Da eine Ursprungsgerade natürlich auch eine Gerade ist, ist die Funktion, zu der der Graph gehört auch eine lineare Funktion.<br>
<br>
::(1) <math>y=x^2+3x</math>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2) <math>y=x^2-3x</math> ?
</popup>
 
'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).  
 
{{Lösung versteckt|1=Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.|3=Hilfe verbergen}}
 
'''b)''' Zeichne die zwei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
|Arbeitsmethode
}}
}}


<br>
<br>


In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math>, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast, eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler b betätigen und dadurch den Graph <math>g(x)</math> verändern. Was passiert?
<ggb_applet width="100%" height="571" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="MyuG9D2b" />


{| border="2" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#8E8CF2}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}};background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}"
|-
|<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Hand.gif|30px]]
&nbsp; Übung 11:  Finde die Funktionsgleichung!
</div>Starte die App und entscheide, welcher Funktionsterm den dargestellten Graphen richtig beschreibt.<br><br>
<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pt90oidw501" style="border:0px;width:30%;height:90px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> <span style="color:green">(nicht ganz ohne)</span>
|}
<br>
<br>


==''--- aktuelle Meldung: Entwarnung im Bergwerk ---''==
{{Box
{|
|Aufgabe 5
|width=60%|Das Bergwerk hat ein Gesamtvolumen von 1800m<sup>3</sup> und steht bereits völlig unter Wasser, als es endlich gelingt, neue Pumpen in Betrieb zu nehmen. Die neuen Pumpen haben eine max. Pumpleistung von 150m³ Wasser pro Stunde. <br>Wie lange wird es dauern, bis das Bergwerk wieder frei von Grundwasser ist?<br><br>
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 11) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]] [[Datei:Puzzle-1020221 640.jpg|125px|rahmenlos|Partnerarbeit]].
|[[Datei:News-1015300 1920.jpg|200px|Neuigkeiten]]
|}
<span style = "color: blue">Entscheide für dich selbst, in welchem Schwierigkeitsniveau du die Aufgabe bearbeiten möchtest!</span>


'''a)'''
{{LearningApp|app=pyf382e7a17|width=70%|height=500px}}
{{Lösung versteckt|1=Wie sieht der Graph aus: Ist er nach oben oder nach unten geöffnet? Nach rechts oder nach links verschoben?


Wende dein Wissen über die Parameter a und b an.|2= Hilfe anzeigen|3=Hilfe verstecken}}


{|
'''b)''' Überlege dir einen Tipp für deinen Partner, wie er die passenden Terme beim Pferderennen herausfinden kann. Notiere den Tipp in deinem Hefter.
|1. Version der Aufgabe - '''mittlerere Schwierigkeitsgrad''' &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br>
[[Datei:Sport-1013938 1920.jpg|150px|Balance mit Stab]]
|2. Version der Aufgabe - '''hoher Schwierigkeitsgrad'''<br>
[[Datei:Sport-1013936 1920.jpg|150px|Balance]]
|-
|<span class="_togglegroup _toggle_initshow _toggle _toggler toggle-visible" style="display:none;">[A7 - mittlere Schwierigkeit anzeigen]</span><span class="_toggle_inithide _toggle _toggler toggle-hidden" style="display:none;">[Verstecken]</span>
<div class="_toggle_inithide _toggle toggle-hidden">


{{Aufgabe|7|
'''c)''' Vergleiche deinen Tipp mit dem deines Partners an dich.
{{(!}}
 
{{!}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Beispiel-Tipp Pferderennen.PNG|rahmenlos|600px|Parameter b]]|2=Beispiel Tipp anzeigen|3=Beispiel Tipp  verbergen}}
a) Welcher der Graphen stellt die beschriebene Situation richtig dar? Begründe deine Entscheidung!&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|Arbeitsmethode
{{!}}<popup name = "Tipp">Identifiziere, welche Angabe aus der Aufgabenstellung dem y-Achsenabschnitt entspricht und welche Angabe der Steigung entspricht! Bei welchem Graph passt beides?</popup>
{{!-}}
{{!}}
b) Nach wie vielen Stunden ist das Bergwerk vollständig leergepumpt? Begründe deine Antwort.
{{!}}<popup name = "Tipp">Das Bergwerk ist leer, wenn kein Wasser mehr drin ist... ;)</popup>
{{!-}}
{{!}}
c) Gib die Funktionsgleichung zu der roten Geraden an.
{{!}}<popup name = "Tipp">Du benötigst die Steigung und den y-Achsenabschnitt. Welches Vorzeichen hat die Steigung? ;)</popup>
{{!-}}
{{!}}
d) Wie groß ist der Funktionswert (y-Wert) zur Zeit <math>t=12h</math>?<br><br>
{{!)}}
{{(!}}
{{!}}[[Datei:Pumpe1.png|420px|Pumpe_Bergwerk]]
{{!}} <popup name="Lösung">
Der rote Graph stellt die Situation richtig dar, denn: <br>
*Zu Beginn (t=0) befinden sich 1800m<sup>3</sup> Wasser im Bergwerk, also f(0) = 1800
*Innerhalb einer Stunde nimmt die Wassermenge um 150m<sup>3</sup> ab. D.h. die Steigung des Graphen ist m = -150.
<br>
<br>
Daraus folgt die Funktionsgleichung der roten Geraden: <math>f(t) = -150\cdot t +1800</math><br>
''Achtung mitdenken: Hier steht t für die Variable (Zeit) nicht für den y-Achsenabschnitt, der ist 1800!''
  </popup>
{{!)}}
}}
}}
</div>


|<span class="_togglegroup _toggle_initshow _toggle _toggler toggle-visible" style="display:none;">[A7 - hohe Schwierigkeit anzeigen]</span><span class="_toggle_inithide _toggle _toggler toggle-hidden" style="display:none;">[Verstecken]</span>
{{Box
<div class="_toggle_inithide _toggle toggle-hidden">
|Merke
|Addiert man den Ausdruck <math>bx</math> zu <math>y=ax^2</math>, wird die Parabel sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben. Für <math>y=ax^2+bx</math> gilt:


{{Aufgabe|7|
<u>Für '''a>0:'''</u>
{{(!}}
{{!}}
a) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die die Situation korrekt beschreibt.
{{!}}<popup name = "Tipp">Identifiziere, welche Angabe aus der Aufgabenstellung dem y-Achsenabschnitt entspricht und welche Angabe der Steigung entspricht! Bei welchem Graph passt beides?</popup>
{{!-}}
{{!}}
b) Zeichne den Funktionsgraphen zu deiner Funktionsgleichung!
{{!}}<popup name = "Tipp">Die Wassermenge wird weniger! ;)</popup>
{{!-}}
{{!}}
c) Nach wie vielen Stunden ist das Bergwerk leergepumpt? Findest zu zwei verschiedene Lösungswege?
{{!}}<popup name = "Tipp">1. Lösung mit Hilfe des Graphen<br> 2. Lösung nur mit Hilfe der Funktionsgleichung</popup>
{{!)}}
{{(!}}


{{!}} <popup name="Lösung">
'''b>0''': Die Parabel wird nach links und unten verschoben.
[[Datei:Pumpe1.png|420px|Pumpe_Bergwerk]]
Der rote Graph im oberen Schaubild stellt die Situation richtig dar, denn: <br>
*Zu Beginn (t=0) befinden sich 1800m<sup>3</sup> Wasser im Bergwerk, also f(0) = 1800
*Innerhalb einer Stunde nimmt die Wassermenge um 150m<sup>3</sup> ab. D.h. die Steigung des Graphen ist m = -150.
<br>
<br>
Daraus folgt die Funktionsgleichung der roten Geraden: <math>f(t) = -150\cdot t +1800</math><br>
''Achtung mitdenken: Hier steht t für die Variable (Zeit) nicht für den y-Achsenabschnitt, der ist 1800!''<br><br>


Nach 12 Stunden ist das Bergwerk vom Wasser befreit.
'''b<0''': Die Parabel wird nach rechts und unten verschoben.
<math>f(t)=-150t+1800</math> und wenn das Wasser weg ist gilt: <math>f(t)=0</math>, also <math>-150t+1800=0</math>. <br>
 
Auflösung der Gleichung liefert: <math>t=12</math>
<u>Für '''a<0:'''</u>
  </popup>
 
{{!)}}
'''b>0''': Die Parabel wird nach rechts und oben verschoben.
 
'''b<0''': Die Parabel wird nach links und oben verschoben.
|Merksatz
}}
}}
</div>
|}
<br>
<br>
----


<div style="  width: 60%; border: 2px solid #c6d745; background-color:#c6d745; padding:7px;font-size:1px; height:1px; border-bottom:1px solid #c6d745;"></div>
<div style="  width: 60%; border: 2px solid #c6d745; background-color:#ffffff; align:center; padding:7px;">
{|
|Nimm dir bitte kurz Zeit, und gib eine Rückmeldung zu dieser Station. <br>


<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pcsnv8z0j01" style="border:0px;width:60%;height:90px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
==Der Parameter c==
|[[Datei:Information-1015297 1920.jpg|230px|Information]]
 
|}
{{Box
</div>
|Aufgabe 6
</div>
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 11) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
<br>
 
<br>
Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
::(1) <math>y=x^2+3x+2</math>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2) <math>y=x^2+3x-2</math> ?
 
'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
 
{{Lösung versteckt|1=Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.|2= Hilfe anzeigen|3=Hilfe verstecken}}
 
'''b)''' Zeichne die zwei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
|Arbeitsmethode
}}
 
 
In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math>, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast, eingezeichnet. Du kannst die Schieberegler  a, b und c betätigen und dadurch den Graph <math>g(x)</math> verändern. Was passiert?
 
<ggb_applet width="100%" height="571" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="uV5keF5j" />
 
 
 
{{Box
|Aufgabe 7
|'''Welchen Wert hat der Parameter c?''' Trage deine Lösung wie in dem '''Beispiel''' ein:  
 
::[[Datei:Beispiel Parameter c.PNG|rahmenlos|Beispiel]]
{{LearningApp|app=p8zh59fa317|width=100%|height=700px}}
|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Hilfe" data-collapsetext="Hilfe verbergen">
Der Paramter c gibt den y-Achsenabschnitt an. Du kannst ihn an dem Punkt P(0|c) ablesen.</div>
 
 
 
{{Box
|Merke
|Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Parabel in y-Richtung. Er gibt dabei den '''y-Achsenabschnitt''' der Parabel <math>y=ax^2+bx+c</math> an. Es gilt für:
 
'''c>0''': Die Parabel wird nach oben verschoben.
 
'''c<0''': Die Parabel wird nach unten verschoben.
|Arbeitsmethode
}}
 
 
 
==Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte==
 
{{Box
|Aufgabe 8
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 4) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
Ergänze die folgenden Merksätze durch Beispiele.
|Arbeitsmethode
}}
 
 
{{Box
|Merke
|
Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für:
 
'''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.
 
'''a < 0''': Die Parabel ist nach unten geöffnet.
 
'''a < -1''' bzw. '''a > 1''': Die Parabel ist gestreckt.
 
'''-1 < a < 1''': Die Parabel ist gestaucht.
 
Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.
|Merksatz
}}
 
 
{{Box
|Merke
|Addiert man den Ausdruck <math>bx</math> zu <math>y=ax^2</math>, wird die Parabel sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben. Für <math>y=ax^2+bx</math> gilt:
 
<u>Für '''a>0:'''</u>
 
'''b>0''': Die Parabel wird nach links und unten verschoben.
 
'''b<0''': Die Parabel wird nach rechts und unten verschoben.
 
<u>Für '''a<0:'''</u>
 
'''b>0''': Die Parabel wird nach rechts und oben verschoben.
 
'''b<0''': Die Parabel wird nach links und oben verschoben.
|Merksatz
}}
 
 
{{Box
|Merke
|Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Parabel in y-Richtung. Er gibt dabei den '''y-Achsenabschnitt''' der Parabel <math>y=ax^2+bx+c</math> an. Es gilt für:
 
'''c>0''': Die Parabel wird nach oben verschoben.
 
'''c<0''': Die Parabel wird nach unten verschoben.
|Merksatz
}}
 
 
[[Datei:Binoculars-1026426 640.jpg|rahmenlos|links|Ausblick|100px]]
 
Die auf dieser Seite gewonnen '''Erkenntnisse können kombiniert werden''' und ergeben quadratische Funktion der Form <math>y=ax^2+bx+c</math>. Diese Form heißt '''Normalform'''.
 
Auf der [[{{BASEPAGENAME}}/Die Normalform|nächsten Seite]] lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Übungen|Übungen]].
 
 
{{Quadratische Funktionen erkunden}}
 
[[Datei:Pfeil Hier geht's weiter.png|rahmenlos|200px|rechts|link={{BASEPAGENAME}}/Die Normalform]]


----
'''Alle Aufgaben erledigt? Dann kann's weitergehen!'''
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="60"|[[Datei:binoculars-1015267_1920.jpg|150px]]
|align = "left"|[[/Übung|'''Hier geht es weiter zur letzten Übung...''']]'''...'''
|}


{{Lernpfad Lineare Funktionen}}
Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])

Version vom 7. April 2018, 19:15 Uhr

In diesem Kapitel stellen sich die Parameter der Normalform quadratischer Funktionen vor. Du kannst herausfinden,

  1. wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
  2. welchen Einfluss die Parameter der Normalform auf das Aussehen und die Lage der Parabel haben und
  3. wie du das an den Funktionstermen erkennen kannst.


Strecken, Stauchen und Spiegeln

Achtung

Dieser Abschnitt ist identisch zu dem 1. Abschnitt in dem Kapitel die Parameter der Scheitelpunktform. Wenn du ihn dort schon bearbeitet hast, kannst du direkt weitergehen zum nächsten Abschnitt "Der Parameter b".


Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4).

Notizblock mit Bleistift
.

Was passiert, wenn man statt der Funktion folgende Funktionen gegeben hat:

(1) ,          (2)      und     (3)  ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von vergleichen.

b) Zeichne die drei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?


In dem Applet ist die Normalparabel , die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast, eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler a betätigen und dadurch den Graph verändern. Was passiert?

GeoGebra


Aufgabe 2

In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.




Aufgabe 3

Knobelaufgabe



Der Parameter b

Aufgabe 4
Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 10)
Notizblock mit Bleistift
.


Was passiert, wenn man statt der Funktion folgende Funktionen gegeben hat:

(1) ,          (2)  ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von vergleichen.

b) Zeichne die zwei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?


In dem Applet ist die Normalparabel , die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast, eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler b betätigen und dadurch den Graph verändern. Was passiert?

GeoGebra


Aufgabe 5

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 11) und einen Partner Notizblock mit Bleistift Partnerarbeit.

a)

Wie sieht der Graph aus: Ist er nach oben oder nach unten geöffnet? Nach rechts oder nach links verschoben?

Wende dein Wissen über die Parameter a und b an.

b) Überlege dir einen Tipp für deinen Partner, wie er die passenden Terme beim Pferderennen herausfinden kann. Notiere den Tipp in deinem Hefter.

c) Vergleiche deinen Tipp mit dem deines Partners an dich.

Parameter b


Merke

Addiert man den Ausdruck zu , wird die Parabel sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben. Für gilt:

Für a>0:

b>0: Die Parabel wird nach links und unten verschoben.

b<0: Die Parabel wird nach rechts und unten verschoben.

Für a<0:

b>0: Die Parabel wird nach rechts und oben verschoben.

b<0: Die Parabel wird nach links und oben verschoben.


Der Parameter c

Aufgabe 6

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 11) Notizblock mit Bleistift.


Was passiert, wenn man statt der Funktion folgende Funktionen gegeben hat:

(1) ,          (2)  ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von vergleichen.

b) Zeichne die zwei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?


In dem Applet ist die Normalparabel , die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast, eingezeichnet. Du kannst die Schieberegler a, b und c betätigen und dadurch den Graph verändern. Was passiert?

GeoGebra



Aufgabe 7

Welchen Wert hat der Parameter c? Trage deine Lösung wie in dem Beispiel ein:

Beispiel

Der Paramter c gibt den y-Achsenabschnitt an. Du kannst ihn an dem Punkt P(0|c) ablesen.



Merke

Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Parabel in y-Richtung. Er gibt dabei den y-Achsenabschnitt der Parabel an. Es gilt für:

c>0: Die Parabel wird nach oben verschoben.

c<0: Die Parabel wird nach unten verschoben.


Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte

Aufgabe 8

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 4) Notizblock mit Bleistift.

Ergänze die folgenden Merksätze durch Beispiele.


Merke

Multipliziert man mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. (mit a≠0) ergibt demnach für:

a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.

a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.

a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.

-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.

Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.


Merke

Addiert man den Ausdruck zu , wird die Parabel sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben. Für gilt:

Für a>0:

b>0: Die Parabel wird nach links und unten verschoben.

b<0: Die Parabel wird nach rechts und unten verschoben.

Für a<0:

b>0: Die Parabel wird nach rechts und oben verschoben.

b<0: Die Parabel wird nach links und oben verschoben.


Merke

Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Parabel in y-Richtung. Er gibt dabei den y-Achsenabschnitt der Parabel an. Es gilt für:

c>0: Die Parabel wird nach oben verschoben.

c<0: Die Parabel wird nach unten verschoben.


Ausblick

Die auf dieser Seite gewonnen Erkenntnisse können kombiniert werden und ergeben quadratische Funktion der Form . Diese Form heißt Normalform.

Auf der nächsten Seite lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel Übungen.


gRIFIKBERSCHREIBUNG)

Quadratische Funktionen erkunden

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Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)

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