Vorlage:Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub und Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Wertetabelle und Funktionsgleichung: Unterschied zwischen den Seiten

Version vom 22. Mai 2022, 10:23 Uhr

Vorlage:Navigation Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub

2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung

Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung

Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5

Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse)

Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:

Übung 1: Wertetabelle erstellen

Erstelle eine Wertetabelle zu

f(x) = 2,5x
f(x) = -2x - 1

Setze für x schrittweise die Zahlen -3; -2; ...; 2; 3 ein und berechne den zugehörigen y-Wert

Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und prüfe, ob die von dir errechneten Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen.

https://www.geogebra.org/graphing

Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?

Bootsverleih- Aufagbe 1

Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.

Sie leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus.

Kann das sein?

Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.

geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5

ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?

In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.

Punktprobe

Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?

Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.

Gegeben ist die Funktionsgleichung y = 2x + 5. Liegt der Punkt A(3|10) auf dem Graphen der Funktion?

(Hier ist es leichter y statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)

Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.

y= 2x + 5 A(3|10)

10 = 2·3 + 5

10 = 6 + 5

10 = 11 (f)

Es ergibt sich eine falsche Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also liegt der Punkt nicht auf dem Graphen. Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(4|13) auf der Geraden liegt:

Punktprobe:

y = 2x + 5 B(4|13)

13 = 2·4 + 5

13 = 8 + 5

13 = 13 (w)

Es ergibt sich eine wahre Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also liegt der Punkt auf dem Graphen.

Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:

Zusammenfassung:

noch mehr Beispiele:

Punktprobe

Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(xIy) in die Funktionsgleichung f(x) = mx + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.

Übung 2: Punktprobe

Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.

Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen

Bootsverleih - Aufgabe 2

Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.

Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden.
a) Wie viel müssen sie bezahlen?

b) Sie bezahlen 10€. Wie lange haben sie das Boot ausgeliehen?

Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.

1. Möglichkeit: x-Koordinate ist gegeben

geg: x = 1,5 und f(x) = 2x+5

ges: zugehöriger y-Wert

Setze die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne: f(x) = 2x + 5

y = 2·1,5 + 5

= 3 + 5

= 8 P(1,5|8)

Sie müssen 8€ bezahlen.

2. Möglichkeit: y-Koordinate ist gegeben:

Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?

geg: y = 10 und f(x) = 2x+5

ges: zugehörige x-Koordinate

Setze die y-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:

f(x) = 2x + 5

10 = 2x + 5 |-5

5 = 2x |:2

2,5 = x P(2,5|10)

Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.

Zusammenfassung:

noch mehr Beispiele:

Übung 3: Fehlende Koordinate bestimmen

Bestimme in der folgenden App jeweils die fehlende Koordinate.

Übung 4: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe

Löse auf der Seite realmath jeweils so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.

Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben

Übung 5: Aufstellen der Funktionsgleichung

Bestimme die Funktionsgleichung.

Die Gerade verläuft parallel zu f(x) = 2x + 1 und geht durch P(1|5).

Wenn die Gerade parallel zur Geraden von f(x)= 2x + 1 verläuft, haben die Geraden dieselbe Steigung! Also ist m = 2 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(1|5) gegeben. Gesucht ist b.

Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.

Hilfen bietet das nachfolgende Video:

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen

Pool - Aufgabe 3

Der Pool des Hotels muss geleert werden. Zu Beginn steht das Wasser 2 m hoch. Der Wasserstand sinkt stündlich um 10 cm.
Nach welcher Zeit ist der Pool leer?

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Für den Schnittpunkt P_y mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.

P_y (0|b)

Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (Nullstelle) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.

N (x_NI0)

Übung 6: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
a) f(x) = -x+4
b) f(x) = -0,5x + 5

c) f(x) =

\tfrac{3}{2}

x + 3

Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0
y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4

Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?

F(x) = -x+4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png

2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph

2.4) Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub und andere Anwendungen

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-{{Navigation|<big>'''[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub]]'''
+{{Navigation Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub}}
-) [[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|Vorwissen zum Thema]]<br>
-) [[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Zuordnungen und Funktionen|Zuordnungen und Funktionen]]<br>
+==2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung==
-.1) [[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Lineare Funktionen erkennen und darstellen|Lineare Funktionen erkennen und darstellen]]<br>
-.2.) [[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Funktionsgleichung und Funktionsgraph|Funktionsgleichung und Funktionsgraph]]<br>
+===Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung===
-.3) [[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Wertetabelle und Funktionsgleichung|Wertetabelle und Funktionsgleichung]]<br>
+Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5
-.4) [[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Anwendungen|Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen]]}}
+Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert.  Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse) <br>
+[[Datei:Wertetabelle_erstellen_Beispiel_2x+5_berichtigt.png|rahmenlos|800x800px]]<br>
+Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:{{#ev:youtube|EfPX2lmay0c}}
+{{Box|1=Übung 1: Wertetabelle erstellen|2=Erstelle eine Wertetabelle zu
+* f(x) = 2,5x
+* f(x) = -2x - 1|3=Üben}}
+{{Lösung versteckt|Setze für x schrittweise die Zahlen -3; -2; ...; 2; 3 ein und berechne den zugehörigen y-Wert|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und prüfe, ob die von dir errechneten Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen.
+https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zur Kontrolle der Lösung|Verbergen}}
+<br>
+===Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?===
+{{Box|Bootsverleih- Aufagbe 1|[[Datei:Boat-g79745909a 1280.png|rahmenlos|rechts|200x200px]]Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
+Sie leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus.
+Kann das sein?|Meinung}}<br>
+Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.
+geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5
+ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?
+In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.
+[[Datei:F(x)_=_2x_+_5_Punkt_A_liegt_nicht_auf_dem_Graphen.png|487x487px]]
+{{Box|Punktprobe|Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?
+Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.|Frage}}
+Gegeben ist die Funktionsgleichung  <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5. Liegt der Punkt A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>) auf dem Graphen der Funktion?
+(Hier ist es leichter <span style="color:blue">y</span> statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)
+Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.
+   <span style="color:blue">y</span>=  2<span style="color:red">x</span> + 5       A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>)
+<span style="color:blue">10</span> = 2·<span style="color:red">3</span> + 5
+= 6 + 5
+= 11 '''(f)'''
+Es ergibt sich eine '''falsche''' Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also '''liegt''' der Punkt '''nicht''' auf dem Graphen. Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13</span>) auf der Geraden liegt:
+'''Punktprobe:'''
+  <span style="color:blue">y</span>  =  2<span style="color:red">x</span> + 5       B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13)</span>
+<span style="color:blue">13</span> = 2·<span style="color:red">4</span> + 5
+= 8 + 5
+= 13 '''(w)'''
+Es ergibt sich eine '''wahre''' Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also '''liegt''' der Punkt auf dem Graphen.
+Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:
+<div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=0&end=180}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=0&end=135}}</div></div>
+<br>
+<br>
+{{Box|Punktprobe| 2 = Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.| 3 = Merksatz}}
+{{Box|Übung 2: Punktprobe|Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.|Üben}}
+{{LearningApp| app = ppkr9n4sj20| width = 100%| height = 800px}}
+<br>
+<br>
+===Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen===
+{{Box|Bootsverleih - Aufgabe 2|[[Datei:Boat-g79745909a 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
+Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. <br>
+a) Wie viel müssen sie bezahlen?<br>
+b) Sie bezahlen 10€. Wie lange haben sie das Boot ausgeliehen?|Meinung}}
+Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.
+'''1. Möglichkeit: <span style="color:red">x</span>-Koordinate ist gegeben'''
+geg: <span style="color:red">x = 1,5</span> und f(x) = 2x+5
+ges: zugehöriger y-Wert
+Setze die <span style="color:red">x</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne:  f(x) = 2<span style="color:red">x</span> + 5
+  <span style="color:blue">y</span> = 2·<span style="color:red">1,5</span> + 5
+          = 3 + 5
+         = <span style="color:blue">8</span>                            P(<span style="color:red">1,5</span>|<span style="color:blue">8</span>)
+Sie müssen 8€ bezahlen.
+'''2. Möglichkeit: <span style="color:blue">y</span>-Koordinate ist gegeben:'''
+Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?
+geg: <span style="color:blue">y = 10</span> und f(x) = 2x+5
+ges: zugehörige x-Koordinate
+Setze die <span style="color:blue">y</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:
+  f(x) = 2x + 5
+  <span style="color:blue">10</span>  = 2<span style="color:red">x</span> + 5      |-5
+ = 2<span style="color:red">x</span>             |:2
+,5 = <span style="color:red">x</span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;P(<span style="color:red">2,5</span>|<span style="color:blue">10</span>)
+Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.
+<br />
+<div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=185&end=409}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=135&end=302}}</div></div>
+<br>
+{{Box|Übung 3: Fehlende Koordinate bestimmen|Bestimme in der folgenden App jeweils die fehlende Koordinate.|Üben}}
+{{LearningApp| app = pz6auqgia20| width = 100%| height = 600px}}
+{{Box|Übung 4: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe|Löse auf der Seite realmath jeweils so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
+*[http://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/liegtpaufg.php Level 1]
+*[http://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/koordberechnen.php Level 2]|Üben}}
+<br />
+===Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben===
+{{Box|1=Übung 5: Aufstellen der Funktionsgleichung|2=Bestimme die Funktionsgleichung.<br>
+Die Gerade verläuft parallel zu f(x) = 2x + 1 und geht durch P(1&#124;5).|3=Üben}}
+{{Lösung versteckt|1=Wenn die Gerade <b>parallel</b> zur Geraden von f(x)= 2x + 1 verläuft, haben die Geraden <b>dieselbe Steigung</b>! Also ist m = 2 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(1&#124;5) gegeben. Gesucht ist b.
+Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.|2=Tipp|3=Verbergen}}
+{{Lösung versteckt|Hilfen bietet das nachfolgende Video:{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}|Video mit Beispielaufgaben|Verbergen}}<br />
+===Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen===
+{{Box|Pool - Aufgabe 3|[[Datei:Smartphone-g0b5325198 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Der Pool des Hotels muss geleert werden. Zu Beginn steht das Wasser 2 m hoch. Der Wasserstand sinkt stündlich um 10 cm.<br>
+Nach welcher Zeit ist der Pool leer?|Meinung}}
+{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}
+<br>
+{{Box|Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen| 2 = Für den Schnittpunkt P<sub>y</sub> mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.
+P<sub>y</sub> (0&#124;b)
+Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (<b>Nullstelle</b>) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.
+N (x<sub>N</sub>I0)| 3 = Merksatz}}
+[[Datei:Übersicht_Schnittpunkte_mit_den_Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]]
+{{LearningApp| app = pu8028csj20| width = 100%| height = 800px}}
+{{Box|1=Übung 6: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|2=Bestimme  die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.<br>
+a) f(x) = -x+4<br>
+b) f(x) = -0,5x + 5<br>
+c) f(x) = <math>\tfrac{3}{2}</math>x + 3|3=Üben}}
+{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|1=Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0 <br>
+y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4 <br>
+Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?|2=Tipp zu 7a)|3=Verbergen}}
+{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -x+4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png]]|Probe: Funktionsgraph zu a)|Verbergen}}
+{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -0.5x+5.png]]|Funktionsgraph zu b)|Verbergen}}
+{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung S. 137 Nr. 7b.png]]|2=Lösung zu b)|3=Verbergen}}
+{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 1.5x+3.png]]|Funktionsgraph zu c)|Verbergen}}
+|Tipps|Verbergen}}
+{{Fortsetzung|vorher=2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|vorherlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|weiter=2.4) Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub und andere Anwendungen|weiterlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4) Anwendungen}}

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2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung

Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung

Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?

Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen

Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben

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2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung

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