In dreihundert Jahren vielleicht und Quadratische Funktionen/Kapitel 2: Die Quadratische Funktion "f(x) = (x - xs)² + ys" - Die Scheitelpunktsform: Unterschied zwischen den Seiten

Aus ZUM-Unterrichten
(Unterschied zwischen Seiten)
 
Main>Michael Schober
K (Satzbau Satzzeichen Rechtschreibung)
 
Zeile 1: Zeile 1:
'''Tilman Röhrig: ''In dreihundert Jahren vielleicht''''' (Arena Taschenbuch 1993) ist ein [[Historische Romane|historischer Roman]].
{{Lernpfad-M|<big>'''Die Quadratische Funktion "f(x)<math>=</math>(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"  -  Die Scheitelpunktsform'''</big>


==Inhalt==
Der [[Roman]] spielt im Oktober 1641 in einem Dorf namens Eggebusch. Fünf Tage im [[Dreißigjähriger Krieg|Dreißigjährigen Krieg]], die Menschen des Dorfes kämpfen tagtäglich ums Überleben, sie gehen ihrem Handwerk nicht mehr nach, Landwirtschaft findet nicht statt, ständig besteht Gefahr, dass Soldatenhorden das Dorf überfallen und plündern.


Die Hauptpersonen sind der Küster Mathias Hobe, seine Frau Elsa und deren Kinder Tobias (14) und Anne (13). Des Weiteren der Weißgerber Christoph Markart und seine schwangere Frau Ursula und deren Kinder Jockel (15), Maria (13), Elisabeth (9), Valentin (10), Leonhard (6). Des Weiteren ist da der Dorfvogt, seine Frau und seine Tochter Katharina, in die Jockel heimlich verliebt ist, und es gibt den Kriegsinvaliden und Amtsdiener Veit.
'''In diesem Lernpfad lernst du die Scheitelpunktsform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad'''


Es beginnt mit dem Spiel der Kinder, dabei werden sie von "Soldatenweibern" und deren Kindern überfallen und beraubt (10 tote Mäuse). Damit ist allen klar: Soldaten werden bald kommen. Tatsächlich kommt eine Horde, plündert, mordet und vergewaltigt, und hierbei kommt auch die Tochter des Küsters, Anna, um. Die Trauer der Eltern ist groß, ebenso die Ratlosigkeit der Dorfbewohner. Soll man das Dorf endgültig verlassen und in die Wälder gehen?
*'''Der Parameter y<sub>s</sub> stellt sich vor'''
*'''Übungen zum Parameter y<sub>s</sub>'''
*'''Der Parameter x<sub>s</sub> stellt sich vor'''
*'''Übungen zum Parameter x<sub>s</sub>'''
*'''Zusammenführung der Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> zur Scheitelpunktsform'''
*'''Aufgaben zur Scheitelpunktsform'''
}}
 
 
 
 
Im letzten Lernpfad hast du die quadratische Funktion '''"f(x) = x<sup>2</sup>"''' kennen gelernt.  
 
In diesem Lernpfad wollen wir uns mit zwei weiteren Parametern beschäftigen.
 
Bevor wir beginnen, wollen wir noch einen neuen Begriff einführen, welcher später häufiger verwendet wird.  
<br>
<br>
{{Merke|
Die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math>x<sup>2</sup>"''' ist eine spezielle Parabel. Von ihr aussgehend werden alle Veränderungen betrachtet und man nennt sie deshalb '''Normalparabel'''
}}


Am folgenden Tag gebiert Ursula einen Sohn, den sie David nennen, denn der kleine David hat den Riesen besiegt. Von ihm, dem schwächlichen Säugling, geht ein Hoffnungsschimmer aus und der Dorfvogt hat die spontane Idee, ein Fest zu veranstalten, bei dem die Dorfbewohner ihr Weniges zusammenbringen und fröhlich sein sollen. Der hinkende Amtsdiener Veit schleicht sich mit den Jungs Jockel und Tobias zum Soldatenlager, wo er Käse und Wein stiehlt, dafür aber erwischt und grausam gequält wird. Aber er ist hart und schafft den Weg zurück.


Der Dorfvogt leitet die Vorbereitungen und inmitten allen Elends und Armut schaffen es die Dörfler von Eggebusch, ein Fest zu feiern, bei dem dünner Wein getrunken, gesungen und getanzt wird. Der Küster und seine Frau können die Freude nicht teilen, sie halten auf dem Kirchturm mit dem einzigen Gewehr des Dorfes Wache.


Das Fest ist vorbei, der nächste Morgen graut. Der schwache Säugling David ist über Nacht gestorben. Sein Körper wird in einen Sack eingenäht und zum Friedhof gebracht zur raschen Beerdigung. Da rücken die Landsknechthorden wieder heran und es ist zu spät für die meisten Dorfbewohner, sich in Sicherheit zu bringen. Die Weißgerber-Familie versteckt sich gleich hinter der Friedhofsmauer und wird Zeuge, wie die Soldaten die Bewohner auf dem Dorfplatz zusammentreiben und furchtbar quälen.


Währenddessen kommen zwei Soldaten in des Küsters Haus, Elsa Hobe, die Trauernde, ersticht einen der beiden, es kommt zum Kampf, der bald zu Ende ist, und die wütenden Soldaten metzeln die Dorfbewohner nieder.


Nur Jockel und seine Familie bleiben unentdeckt, auch Amtsdiener Veit, und nun müssen sie in die Wälder gehen. Doch Jockel weiß, wo seine Katharina immer versteckt wurde, nämlich in einem Erdloch, der sonst als Vorratsschacht diente, und tatsächlich findet er sie dort unversehrt. Auch sie geht nun mit in die Wälder.
<div align="center"><big><u>'''STATION 1: Der Parameter y<sub>s</sub> stellt sich vor'''</u></big></div>




== Kurzkommentar/Leseindruck ==


{{Meinung|Das Buch ist sehr eindringlich und verlangt einen mitdenkenden Leser, denn nicht nur die Vielfalt der Namen verwirrt zuerst, sondern auch die nur in Andeutungen gehalten Situationen, die eher skizzenhaft als ausführlich gehalten sind. Gewisse Formen der Verfremdung und ständiger Szenenwechsel können das Lesen schwer machen, dennoch hat die Geschichte ihre eigene Faszination, die zum Weiterlesen zwingt. Andererseits ist die Lektüre deprimierend, ja erschütternd, und das Buch enthält soviel Grausamkeit und Unmenschlichkeit, soviel Elend und Unglück, dass es bei mir den Zweifel am Menschen erregt hat. Die Schilderung der Soldaten und ihrer entmenschten Grausamkeit, das Ausgeliefertsein der Dorfbewohner, die Grässlichkeit eines Krieges, der sich selbst ernährt, all dies ist schwer auszuhalten und veranschaulicht eine alte These, dass nämlich der Mensch, wenn die dünne Decker der Zivilisiertheit, zerstört ist, zum Unmenschen wird.  
Zunächst betrachten wir den Parameter y<sub>s</sub>, welcher zur quadratischen Funktion '''"f(x) = x<sup>2</sup>"''' dazuaddiert wird.
Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus:
                                    '''f(x) = x<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>'''


Aber es gibt da auch noch die Dorfbewohner, die Frauen und die Kinder, die still leiden und irgendwie an ein Morgen glauben, auch wenn es dafür keine guten Gründe zu geben scheint. Die Hoffnung des Lesers jedoch, dass deren Leiden mit dem veranstalteten Fest zu Ende gehen und ein neuer Anfang beginnt, wird bitter enttäuscht.


--[[Benutzer:Klaus Dautel|Klaus Dautel]]}}
Bearbeite das folgende '''Arbeitsblatt''' und entdecke die Eigenschaften vom Parameter y<sub>s</sub>!


==Unterrichtsvorschläge==
{| {{Prettytable}}
Zusammengestellt von Erika Schuchardt
|- style="background-color:#8DB6CD"
! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>x<sup>2</sup>+ y<sub>s</sub> !! Hinweise, Aufgabe und Lückentext:
|-
| <ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" filename="VerschiebenParametere.ggb" /> ||
'''Hinweise:''' <br>* In der Grafik ist die Normalparabel schwarz-gestrichelt eingezeichnet und die von y<sub>s</sub> abhängige, quadratische Funktion blau <br>* Bediene den schwarzen Schieberegler y<sub>s</sub> mit gehaltener linker Maustaste, er verändert den Wert von y<sub>s</sub>  <br>* Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen ebenfalls mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder.
<br>
<br>
'''Aufgabe:''' <br>Bediene den Schieberegler y<sub>s</sub>. Welche Veränderungen bewirkt er?
<br>
<br>
'''Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:''' <br>
<div class="lueckentext-quiz">
Der Parameter y<sub>s</sub> '''verschiebt''' die Normalparabel auf der '''y-Achse'''. Dabei bleibt die verschobene Parabel '''kongruent''' zur Normalparabel. <br>
Ist der Parameter y<sub>s</sub> positiv, so wird die Parabel um y '''Einheiten''' in Richtung der y-Achse nach '''oben''' verschoben. <br>
Ist der Parameter y<sub>s</sub> hingegen '''negativ''', so wird die Parabel um y Einheiten in Richtung der '''y-Achse''' nach '''unten''' verschoben. <br>
Der '''Scheitelpunkt''' der Parabel befindet sich auf der y-Achse, genauer gesagt bei Punkt '''[0; y<sub>s</sub>]'''. Zudem ist die y-Achse die '''Symmetrieachse''' der Parabel.


{{Idee|
</div>
'''Aufgabe: Was hat euch beim Lesen bisher am meisten gefallen und/oder besonders beeindruckt?'''
|}
Einige Antworten:<poem>
- der Autor beschreibt sehr anschaulich die Situation im dreißigjährigen Krieg.
- die Grausamkeiten der Soldaten
- die kranke Oma der Markarts verrät den Soldaten nicht das Versteck der Familie.
- die Menschen essen alles, was sie bekommen können.
- die Dorfbewohner halten zusammen, sie geben die Hoffnung nicht auf.
- die Bewohner von Eggebusch behalten trotz aller Not, Gefahr und Angst vor der Pest die Nerven.
- Jockel überwindet sich, holt die von den Soldaten in den Brunnen geworfenen Leichenteile heraus und rettet dadurch das Dorf vor der Pest ( Verseuchung des Brunnenwassers).
-  viele Menschen haben die Hoffnung verloren, aber durch die Geburt des kleinen David schöpfen sie wieder Hoffnung und glauben, dass ihr Dorf weiterleben wird.
- die Bewohner von Eggebusch freuen sich über jeden Tag, den sie gesund erleben dürfen und an dem sie von den Soldaten verschont bleiben
- jedes kleine Gefühl von Glück gibt ihnen ein bisschen Hoffnung, diese schwere Zeit zu überstehen
- Marias Mutter hat trotz des Krieges noch den Mut, ein Kind in die Welt zu setzen
- Maria ist eine sehr umsichtige Hebamme ihrer Mutter
- die Dorfbewohner veranstalten trotz aller Not ein Fest und jeder trägt nach seinen Möglichkeiten dazu bei
- Lebensmut der Menschen – sie werden vom Schicksal nicht verschont und kämpfen trotzdem weiter um ihr Bestehen
- die Menschen haben den Glauben an Gott nicht verloren
- der Küster verliert nicht den Mut und den Glauben an Gott – er erinnert die Dorfbewohner immer wieder an Gott und bewirkt dadurch, dass sie sich selbst nicht aufgeben
- die Kinder von Eggebusch wissen gar nicht, was Frieden ist
- Tobias kämpft um das Leben seiner von den Soldaten gefolterten und misshandelten Schwester
- seine heimliche Liebe zu Katharina hält Jockel aufrecht   
</poem>}}


{{Idee|
 
;Fragen zum Inhalt
 
<poem>1. Wie bereiten sich die Dorfbewohner auf die Soldaten vor? ( S. 24 )
{{Merke|
3. Was dachten die Menschen über rote Haare? ( S. 25 )
Für die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math>x² + y<sub>s</sub>"''' gilt:
4. Hat die Familie Markart ihre Ordnung verloren? ( S. 30 )
* Der Graph der Funktion ist eine '''verschobene''' Parabel entlang der y-Achse
5. Welche List wenden die Soldaten an und was wollen sie damit erreichen? (S.35)
* Die Parabel ist '''kongruent''' zur Normalparabel
6. Warum fliehen die Dorfbewohner nicht in die Stadt? ( S: 42)
* Für '''y<sub>s</sub> > 0''' gilt: Verschiebung um y Einheiten nach '''oben'''
7. Was ist mit Anne geschehen? (S.38-49)
* Für '''y<sub>s</sub> < 0''' gilt: Verschiebung um y Einheiten nach '''unten'''
8. In welchem Zusammenhang erscheint der Titel des Buches? (S. 48)
* Der '''Scheitelpunkt''' liegt bei '''S (0; y<sub>s</sub>)'''
9. Warum erschrecken der Dorfvogt und Jockel, als eine alte Frau ruft: „ Wir müssen das Böse aus unserem Dorf verjagen?‘ (S. 62-63)
* Die y-Achse ist '''Symmetrieachse'''
10. Veit geht mit Tobias und Jockel zum Lager der Soldaten. Was will er dort? Was geschieht dort mit ihm? Wie hätte diese Angelegenheit für Veit auch ausgehen können? (S. 96-106)
11. Wo war Jockel, als die Soldaten in das Dorf einfielen? Womit war er beschäftigt?(S.129)
12. Warum flüchteten Jockel und seine Familie nicht nach Hause? Wo und wie versteckten sie sich vor den Soldaten?(S.131)
13. Wie wüteten die Soldaten in Eggebusch? (S.133-135)
14. Wie verhalten sich Elsa und Matthias, als die Soldaten in ihr Haus kommen? Welches Schicksal erleiden beide? (S.136-137)
15. Warum hat Veit das Massaker überlebt? (S.139)
16. Was tut Jockel, als die Soldaten weg sind?(S.140)
17. Welches Schicksal erleiden der Dorfvogt und seine Frau? Warum überlebt Katharina? (S. 140-141)
18. Wo bringen sich die Überlebenden in Sicherheit? (S.142)
</poem>
}}
}}




== Klassenarbeit (Vorschläge) ==
Es folgen nun einige Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.
 
 
 
 
<div align="center"><big><u>'''STATION 2: Übungen zum Parameter y<sub>s</sub>'''</u></big></div>
 
 
 
 
<big>'''1. Aufgabe: Zuordnung'''</big>
 
Du siehst hier 5 verschiedene Graphen der quadratischen Funktion "f(x) = x<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>".
Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsgleichung.
 
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
{|
|-
| [[Bild:Parabele1.png|150px]]  ||  [[Bild:Parabele2.png|150px]] || [[Bild:Parabele3.png|150px]] || [[Bild:Parabele4.png|150px]] || [[Bild:Parabele5.png|150px]]
|-
| <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 2,5 </strong>  || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 1,5 </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 3,5 </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 0,5 </strong>
|}
 
</div>
 
<br><br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
 
<big>'''2. Aufgabe:'''</big>
 
Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu!
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
{|
|-
|  || <u>  Scheitelpunkt </u> || <u>  Funktionsgleichung  </u> 
|-
| 1. || S <math>(0\!\,|\!\,4,7)</math> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 4,7 </strong> <br> 
|-
| 2. || S <math>(0\!\,|\!\,-23)</math> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 23 </strong> <br>
|-
| 3. || S <math>(0\!\,|\!\,-2,5)</math> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 2,5  </strong> <br>
|-
| 4. || S <math>(0\!\,|\!\,0)</math> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup>  </strong> <br>
|-
| 5. || S <math>(0\!\,|\!\,13)</math> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 13    </strong>
|}
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
 
<big>'''3. Aufgabe:'''</big>
 
Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde jetzt den zugehörigen Scheitelpunkt S.
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
{|
|-
|  || <u> Funktionsgleichung </u> || <u>  Scheitelpunkt  </u> 
|-
| 1. || y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 5,2 || <strong> S [0; 5,2] </strong> <br> 
|-
| 2. || y<math>=</math> 3 + x<sup>2</sup>  || <strong> S [0; 3] </strong>
|-
| 3. || y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 3 || <strong> S [0; -3] </strong> <br>
|-
| 4. || y<math>=</math> x<sup>2</sup> || <strong> S [0; 0] </strong> <br>
|}
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
 
<big>'''4. Aufgabe: Zuordnung'''</big>
 
{| {{Prettytable}}
|- style="background-color:#8DB6CD"
! Aufgabe !! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>x<sup>2</sup>+ y<sub>s</sub>
|-
|Gegeben sind fünf Funktionsgleichungen.<br> Finde dazu die zugehörigen Punkte, die auf der Parabel liegen.
<br>
Überlege dir rechnerisch, welcher Punkt zu welcher Parabel<br> gehören könnte. <br>
Überprüfe dein Ergebnis mit dem Applet rechts.<br> Verschiebe dafür die Parabel entsprechend der Funktionsgleichung.
 
Hilfe:<br>
{{versteckt|
Es liegt nur dann ein Punkt auf der Parabel, <br> wenn durch Einsetzen eines x-Wertes,<br> der zugehörige y-Wert herauskommt.
}}
<br> Als letztes ziehst du die vorgegebenen Punkte<br> zu den jeweilgen Funktionsgleichungen und überprüfst dein Ergebnis.<br>
<div class="lueckentext-quiz">
{|
|-
| y <math>=</math> x² - 1 || y <math>=</math> x² - 5 || y <math>=</math> x² + 0 || y <math>=</math> x² + 2 || y <math>=</math> x² + 4 
|-
| <strong> [3; 8] </strong>  || <strong> [3; 4] </strong> || <strong> [2; 4] </strong> || <strong> [1; 3] </strong> || <strong> [2; 8] </strong>
|}
</div>
||
<ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" filename="VerschiebenParametere.ggb" /> 
|}
<br>
<br>
<br>
<br>
<div align="center"><big><u>'''STATION 3: Der Parameter x<sub>s</sub> stellt sich vor'''</u></big></div>
 
 
Nachdem du jetzt den Parameter y<sub>s</sub> kennst, wollen wir uns mit dem Parameter x<sub>s</sub> beschäftigen. Er wird in die quadratische Funktion wie folgt integriert:
 
                                        '''f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>'''
 
 
Um die Eigenschaften dieses Parameters zu erlernen, bediene den Schieberegler x<sub>s</sub> in der nachfolgenden Geogebraanwendung, er verändert dessen Wert. Die schwarz-strichelte Parabel ist die Normalparabel. Löse anschließend den darauf folgenden Lückentext und ziehe hierfür die richtigen Textbausteine mit gehaltener linker Maustaste in die Lücken!
<br><br>
<div align="center"><ggb_applet height="450" width="400" showResetIcon="true" filename="VerschiebenParameterd.ggb" /> </div>
 
<br>
'''Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:'''
<div class="lueckentext-quiz">
Der Parameter x<sub>s</sub> der quadratischen Funktion "f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>" bewirkt eine '''Verschiebung''' der Normalparabel auf der '''x-Achse'''. Wie schon bei der Verschiebumg des Parameters y<sub>s</sub>, ist die verschobene Parabel '''kongruent''' zur Normalparabel.
Mit Hilfe des Schiebereglers x<sub>s</sub> stellt man fest, dass für positive Werte eine Verschiebung um '''x-Einheiten''' nach '''rechts''' erfolgt. Ist der Wert von x<sub>s</sub> '''negativ''', so wird der Graph um x-Einheiten nach '''links''' verschoben.
<br>
Aber Achtung! Es wird ein kleines Verwirrspiel getrieben, denn für positive x-Werte lautet die Funktionsgleichung "f(x) = '''[x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup>'''". Man macht leicht den Fehler und stellt für positve Werte die Gleichung "f(x) = [x + x<sub>s</sub>]<sup>2</sup>" auf. Da die Funktionsgleichung jedoch "f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>" lautet, entsteht für positive Werte eine '''Differenz''' in der Klammer. Genau andersherum verhält es sich für negative Werte von x<sub>s</sub>, denn dort lautet die Funktionsgleichung "f(x) = '''[x + x<sub>s</sub>]<sup>2</sup>".
Für den Scheitelpunkt gelten die Koordinaten "S '''[x<sub>s</sub>; 0]'''", denn der y-Wert bleibt '''Null'''.
Die Symmetrieachse ist die Parallelachse zur y-Achse senkrecht zur '''x-Achse'''.
</div>
 
 
 
Das waren einige wichtige Erkenntnisse, die wir nachfolgend festhalten wollen!
 
 
{{Merke|
Für die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math>(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>"''' gilt: 
* Der Graph der Funktion ist eine '''verschobene''' Parabel entlang der x-Achse
* Die Parabel ist '''kongruent''' zur Normalparabel
* Für '''x<sub>s</sub> > 0''' gilt: Verschiebung um x Einheiten nach '''rechts'''
* Für '''x<sub>s</sub> < 0''' gilt: Verschiebung um x Einheiten nach '''links'''
* Der '''Scheitelpunkt''' liegt bei '''S [x<sub>s</sub>; 0]'''
* Die '''Symmetrieachse''' ist die Parallelachse zur y-Achse, senkrecht zur x-Achse
}}
 
'''Achtung!'''
* Für '''x<sub>s</sub> > 0''', mit einer Verschiebung nach rechts, lautet die Funktionsgleichung "'''f(x) = (x – x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>'''"
 
Beispiel: Für x<sub>s</sub> = 5: f(x) = (x - 5)<sup>2</sup>
 
* Für '''x<sub>s</sub> < 0''', mit einer Verschiebung nach links, lautet die Funktionsgleichung "'''f(x) = (x + x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>'''"
 
Beispiel: Für x<sub>s</sub> = -5: f(x) = (x + 5)<sup>2</sup> 
 
Ebenso wie beim Parameter y<sub>s</sub>, folgen wieder einige Aufgaben, um auch diese Eigenschaften zu vertiefen.
 
 
 
 
<div align="center"><big><u>'''STATION 4: Übungen zum Parameter x<sub>s</sub>'''</u></big></div>
 
 
<big>'''1. Aufgabe: Zuordnung'''</big>
 
Gegeben sind die Graphen 5 verschiedener quadratischer Funktionen.
Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu:
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
{|
|-
| [[Bild:Parabeld-4,5.jpg]] || [[Bild:Parabeld-2,5.jpg]] || [[Bild:Parabeld0.jpg]] || [[Bild:Parabeld2.jpg]] || [[Bild:Parabeld5.jpg]]
|-
| <strong> y<math>=</math> [x + 4,5]<sup>2</sup> </strong>  || <strong> y<math>=</math> [x + 2,5]<sup>2</sup> </strong> || <strong> y<math>=</math> [x + 0]<sup>2</sup> </strong> || <strong> y<math>=</math> [x - 2]<sup>2</sup> </strong> || <strong> y<math>=</math> [x - 5]<sup>2</sup> </strong>
|}
</div>
 
<br><br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<big>'''2. Aufgabe:'''</big>
 
Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu!
 
<div class="lueckentext-quiz">
{|
|-
|  || <u>  Scheitelpunkt </u> || <u>  Funktionsgleichung  </u> 
|-
| 1. || S <math>(2,5\!\,|\!\,0)</math> || <strong> y<math>=</math> [x - 2,5]<sup>2</sup> </strong> <br> 
|-
| 2. || S <math>(-3\!\,|\!\,0)</math> || <strong> y<math>=</math> [x + 3]<sup>2</sup> </strong> <br>
|-
| 3. || S <math>(-2,5\!\,|\!\,0)</math> || <strong> y<math>=</math> [x + 2,5]<sup>2</sup> </strong> <br>
|-
| 4. || S <math>(0\!\,|\!\,0)</math> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> </strong> <br>
|-
| 5. || S <math>(3\!\,|\!\,0)</math> || <strong> y<math>=</math> [x - 3]<sup>2</sup> </strong>
|}
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
 
<big>'''3. Aufgabe:'''</big>
 
Du siehst im folgendenden Koordinatensystem 3 Parabeln. Man kann diese 3 Parabeln durch bedienen der Schieberegler verschieben. Verschiebe die drei Parabeln so, dass sie den Platz für die folgenden Funktionsgleichungen einnehmen.
 
      f(x) = (x - 2)<sup>2</sup>
      f(x) = (x - 5)<sup>2</sup>
      f(x) = (x + 3)<sup>2</sup>
 
Überprüfe anschlißend durch Anklicken des Kontrollkästchens, ob du die Aufgabe richtig gelöst hast. Überdecken die blau-gestrichelten Parabeln deine verschobenen Parabeln, dann hast du alles richtig gemacht.
 
<div align="center"><ggb_applet height="480" width="620" showResetIcon="true" filename="Für_Lernpfad_2_Station_3_Aufgabe_3.ggb‎" /></div>
 
<br>
<br>
<br>
<div align="center"><big><u>'''STATION 5: Zusammenführung der Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> zur Scheitelpunktsform'''</u></big></div>
 
 
Bevor wir nun die beiden Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung.
Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht!
 
 
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
{|
|-
|  || <u> Frage </u> || <u> Antwort </u>
|-
| 1. || Wie lautet der Scheitelpunkt für y<math>=</math> [x - 2]<sup>2</sup>?  || <strong>S [2, 0] </strong> <br>
|-
| 2. || Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach unten auf der y-Achse? || <strong>y<math>=</math> x<sup>2</sup> - y<sub>s</sub></strong>
|-
| 3. || Wie lautet der Scheitelpunkt für y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 4?  || <strong>S [0, -4] </strong>
|-
| 4. || Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach links auf der x-Achse?  || <strong>y<math>=</math> [x + x<sub>s</sub>]<sup>2</sup></strong>
|-
| 5. || Wie lautet der Scheitelpunkt für y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 2?  || <strong>S [0, 2] </strong>
|-
| 6. || Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach rechts auf der x-Achse?  || <strong>y<math>=</math> [x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup></strong>
|-
| 7. || Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach oben auf der y-Achse?  || <strong>y<math>=</math> x<sup>2</sup> + y<sub>s</sub></strong>
|-
| 8. || Wie lautet der Scheitelpunkt für y<math>=</math> [x + 4]<sup>2</sup>?  || <strong>S [-4, 0] </strong>
|}
 
</div>
 
 
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br><br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
Jetzt sind wir an dem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können.
 
In dieser Lerneinheit hast du die Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> einzeln kennen gelernt.
<br><br>
Ziel dieser Lerneinheit ist die quadratische Funktion '''"f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''', in der beide Parameter integriert sind.
<br><br>
Du weißt mittlerweile, welche Aufgaben der jeweilige Parameter hat.
Während der Parameter y<sub>s</sub> für den y-Wert im Koordinatensystem steht, gibt der Parameter x<sub>s</sub> den x-Wert an. Genau durch diese beiden Punkte wird der Scheitelpunkt der Parabel bestimmt und man nennt die quadratische Funktion "f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>" deshalb '''Scheitelpunktsform'''. <br>
Die Scheitelpunktsform vereint somit die Eigenschaften der Paramter x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub>.
<br><br>
Im folgenden Kreuzworträtsel werden diese Eigenschaften nun nochmal abgefragt. Viel Erfolg! 
 
 
 
{| {{Prettytable}}
|- style="background-color:#8DB6CD"
! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> !! Hinweise und Quiz:
|-
| <ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" filename="VerschiebenParameterdunde.ggb" /> ||
'''Hinweise:''' <br>* In der Grafik siehst du die verschobene Normalparabel
<br>* Mit den Schiebereglnern y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> kannst du die Lage der Parabel verändern
<br>* Bediene die Schieberegler und versuche das folgende Quiz zu lösen
<br>
 
'''Quiz:''' <br>
 
Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld. Trage dort deine Antwort ein. In deiner Lösung dürfen keine Bindestriche vorkommen, dass bedeutet z.B. für x-Achse schreibt man xAchse. Erst wenn das komplette Rätsel ausgefüllt ist, können die Ergebnisse überprüft werden.
<div class="kreuzwort-quiz">
{| 
|-
| Scheitelpunkt || Wie nennt man den Punkt S(x<sub>s</sub>, y<sub>s</sub>) der Parabel?
|-
| Scheitelpunktsform ||  Wie bezeichnet man die FORM der Funktionsgleichung f(x) = (x - x<sub>s</sub>)² + y<sub>s</sub>? 
|-
| Symmetrieachse || Wie heißt die Achse, für die x = y<sub>s</sub> gilt?
|-
| Normalparabel || Zu welcher Parabel sind die verschobenen Parabeln kongruent?
|-
| Unten || In welche Richtung verschiebt man die Parabel f(x) = x² - 4?
|-
| x-Achse || Auf welcher Achse verschiebt der Parameter x<sub>s</sub> die Parabel?
|-
| Ebene || Die Parameter x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub> bewirken eine Verschiebung der Normalparabel in der...
|-
| y-Achse || Auf welcher Achse verschiebt der Parameter y<sub>s</sub> die Parabel?
|-
| Zwei || Um wie viele Einheiten wird die Funktion f(x) = (x - 5)² + 2 nach oben verschoben?
</div>
|}
|}
<br>
<br>
<br>
 
{{Merke|
Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math>(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>''' gilt: 
* Der Graph der Funktion ist eine '''verschobene''' Parabel in der '''Ebene'''
* Die Parabel ist '''kongruent''' zur Normalparabel
* Man erhält den Graph von f durch verschieben der Normalparabel um '''x Einheiten''' entlang der '''x-Achse''' und um '''y Einheiten''' entlang der '''y-Achse'''
* Der '''Scheitelpunkt''' liegt bei S [x<sub>s</sub>; y<sub>s</sub>]
* Die '''Symmetrieachse''' hat die Gleichung x <math>=</math> y<sub>s</sub>
}}
 
 
 
 
<div align="center"><big><u>'''STATION 6: Aufgaben zur Scheitelpunktsform'''</u></big></div>
 
 
 
<big>'''1. Aufgabe: Multiple Choice'''</big>
 
Kreuze '''alle''' richtigen Aussagen an!
 
<div class="multiplechoice-quiz">
 
'''f(x) <math>=</math> (x - 5)<sup>2</sup> - 3''' (!Die Parabel ist nach rechts und nach oben verschoben)(!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [-3, 5])(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [5, -3]) (!Die Parabel ist nach unten geöffnet) (Die Parabel ist nach rechts und nach unten verschoben)
 
'''f(x) <math>=</math> 5 + (x + 12)<sup>2</sup>'''  (!Es liegt keine Parabel vor) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach oben verschoben) (!Die Parabel ist um 12 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 12 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse) (!Die Parabel hat keine Symmetrieachse)
 
'''f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + 3''' (!Die Parabel ist eine um 3 Einheiten nach links verschobene Normalparabel) (Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 3]) (Die Symmetrieachse der Parabel ist die y-Achse) (!Die Parabel ist um eine Einheit nach rechts verschoben) (Die Parabel ist nach oben geöffnet)
 
'''f(x) <math>=</math>-5 + (x - 6)<sup>2</sup>''' (!Die Funktionsgleichung ist keine quadratische Funktion) (!Die Parabel ist um 5 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist um 6 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten verschoben) (! Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten und um 6 Einheiten nach links veschoben)
 
</div>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br><br><br><br><br>
 
 
<big>'''2. Aufgabe:'''</big>
 
Gegeben ist der Scheitelpunkt S einer verschobenen Normalparabel.
Finde zum jeweiligen Scheitelpunkt die richtige Funktionsvorschrift:
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
{|
|-
|  || <u>  Scheitelpunkt </u> || <u>  Funktionsgleichung  </u> 
|-
| 1. || S <math>(2\!\,|\!\,-5)</math> || <strong> y<math>=</math> [x - 2]<sup>2</sup> - 5 </strong> <br> 
|-
| 2. || S <math>(4\!\,|\!\,-8)</math> || <strong> y<math>=</math> [x - 4]<sup>2</sup> - 8 </strong> <br>
|-
| 3. || S <math>(4\!\,|\!\,8)</math> || <strong> y<math>=</math> [x - 4]<sup>2</sup> + 8  </strong> <br>
|-
| 4. || S <math>(5\!\,|\!\,-2)</math> || <strong> y<math>=</math> [x - 5]<sup>2</sup> - 2  </strong> <br>
|}
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
 
<big>'''3. Aufgabe-Zuordnung:'''</big>
 
Finde die richtige Funktionsvorschrift für die Graphen!
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
{|
|-
| [[Bild:Parabel1lo.jpg]]  ||||  [[Bild:Parabel1ro.jpg]]  ||||  [[Bild:Parabel1ru.jpg]]  ||||  [[Bild:Parabel1lu.jpg]]
|-
| <strong> y<math>=</math> [x + 3]<sup>2</sup> + 4 </strong>  |||| <strong> y<math>=</math> [x - 3]<sup>2</sup> + 2 </strong> |||| <strong> y<math>=</math> [x - 1]<sup>2</sup> - 5 </strong> |||| <strong> y<math>=</math> [x + 5]<sup>2</sup> - 1 </strong>
|}
</div>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
 
<big>'''4. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE:'''</big>
 
Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken. <br>
Gegeben ist die Funktion f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> + 1,5 und die Punkte W, X, T und P.
Welche der folgenden Punkte liegt auf dem Graphen? Überprüfe dies durch Kopfrechnung!
 
      a) W <math>(0\!\,|\!\,1)</math>
      b) X <math>(0\!\,|\!\,10,5)</math>
      c) T <math>(-1\!\,|\!\,2)</math>
      d) P <math>(-3\!\,|\!\,1,5)</math>
 
 
Hilfe: <br> Falls du nicht weiterkommst, lass dir helfen!
{{versteckt|
[[Setze den x-Wert in die Gleichung ein, wenn du den vorgegebenen y-Wert erhälst, dann liegt der Punkt auf der Parabel]]
}}
Bediene nun noch den Schieberegler um den Graphen an die richtige Stelle zu positionieren.
Mit dem Anklicken des Kontrollkästchens "Punkte an", erkennst du, welche Punkte auf der Parabel liegen.
 
<div align="center"><ggb_applet height="480" width="580" showResetIcon="true" filename="Für_Lernpfad_2_Station_6_Aufgabe_4.ggb‎  " /></div>


{{Idee|
1. Du schreibst deiner Brieffreundin/ deinem Brieffreund, wie dir das Buch gefallen/ nicht gefallen hat.


2. Versetze dich in Jockel Markart. Beschreibe den Überfall der Soldaten auf Eggebusch aus der Sicht Jockels (S. 129-Schluss)
'''Prima!'''
<!--
Erwartungen zu 2:
<poem>
-sie sind auf dem Friedhof, um den kleinen David zu beerdigen, als der Dorfvogt  durch einen Schuss vor den Soldaten warnt
-sie wollen zuerst nach Hause, aber die Gerberei (Herdfeuer, Ziege ) könnte zur Falle werden
-sie bleiben auf dem Friedhof, verstecken sich direkt hinter der hohen Friedhofsmauer
-Maria und Jockel nehmen die Kleinen unter sich, die Mutter legt sich vor, der Vater  hinter die Kinder dicht an die Mauer
-keiner in Eggebusch hatte Zeit gefunden, die Hütten unbewohnt erscheinen zu    lassen
-der Totengräber wird ermordet, sein Hund mitgenommen
-die Bevölkerung von Eggebusch wird auf dem Marktplatz zusammengetrieben
-Mädchen und Frauen werden vergewaltigt
-als die Soldaten nichts finden, wird die Bevölkerung misshandelt und gequält  Elsa Hobe tötet einen Soldaten
-als die Soldaten von dem Mord an ihrem Kameraden erfahren, töten sie die Dorfbewohner und stecken das Dorf in Brand
-schließlich verlassen die Soldaten das verwüstete Dorf
-die Familie Markart und Tobias haben überlebt
-plötzlich kommt Veit angehumpelt, auch er hat überlebt
-Jockel macht sich auf die Suche nach Katharina, findet sie, befreit sie aus ihrem Versteck und nimmt sie mit
-die Überlebenden wollen durch das Moor in die Wälder, um sich dort zu verstecken,  bis der Krieg zu Ende ist
-Christoph Markart und Veit wollen, ehe die Soldatenweiber kommen, in dem verwüsteten Dorf nach Gerät und evtl. Nahrungsmitteln suchen
</poem>
-->}}


== Siehe auch ==
Damit kennst du nun die Parameter x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub>, welche für die Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind.


* [[Barock]]
In der nächsten Lerneinheit lernst du dann die Normalform kennen.
* [[Gewalt]]
* [[Krieg]]
* [[Liebe]]
* [[Tod]]  [[Kategorie:Historische Romane]] [[Kategorie:Kinder- und Jugendliteratur]] [[Kategorie:Unterrichtsidee]] [[Kategorie:Deutsch]] [[Kategorie:Geschichte]] [[Kategorie:Werke]] [[Kategorie:ZUM2Edutags]]
<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,ZUM.de,OER,In dreihundert Jahren vielleicht,Tilman Röhrig,Geschichte,Rezension,Unterrichtsidee,Kinder- und Jugendliteratur</metakeywords>

Version vom 7. September 2009, 07:09 Uhr

Vorlage:Lernpfad-M



Im letzten Lernpfad hast du die quadratische Funktion "f(x) = x2" kennen gelernt.

In diesem Lernpfad wollen wir uns mit zwei weiteren Parametern beschäftigen.

Bevor wir beginnen, wollen wir noch einen neuen Begriff einführen, welcher später häufiger verwendet wird.

Merke

Die quadratische Funktion "f(x)x2" ist eine spezielle Parabel. Von ihr aussgehend werden alle Veränderungen betrachtet und man nennt sie deshalb Normalparabel




STATION 1: Der Parameter ys stellt sich vor


Zunächst betrachten wir den Parameter ys, welcher zur quadratischen Funktion "f(x) = x2" dazuaddiert wird. Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus:

                                    f(x) = x2 + ys


Bearbeite das folgende Arbeitsblatt und entdecke die Eigenschaften vom Parameter ys!

Quadratische Funktion f(x)x2+ ys Hinweise, Aufgabe und Lückentext:
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

Hinweise:
* In der Grafik ist die Normalparabel schwarz-gestrichelt eingezeichnet und die von ys abhängige, quadratische Funktion blau
* Bediene den schwarzen Schieberegler ys mit gehaltener linker Maustaste, er verändert den Wert von ys
* Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen ebenfalls mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder.

Aufgabe:
Bediene den Schieberegler ys. Welche Veränderungen bewirkt er?

Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Der Parameter ys verschiebt die Normalparabel auf der y-Achse. Dabei bleibt die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel.
Ist der Parameter ys positiv, so wird die Parabel um y Einheiten in Richtung der y-Achse nach oben verschoben.
Ist der Parameter ys hingegen negativ, so wird die Parabel um y Einheiten in Richtung der y-Achse nach unten verschoben.
Der Scheitelpunkt der Parabel befindet sich auf der y-Achse, genauer gesagt bei Punkt [0; ys]. Zudem ist die y-Achse die Symmetrieachse der Parabel.



Merke

Für die quadratische Funktion "f(x)x² + ys" gilt:

  • Der Graph der Funktion ist eine verschobene Parabel entlang der y-Achse
  • Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel
  • Für ys > 0 gilt: Verschiebung um y Einheiten nach oben
  • Für ys < 0 gilt: Verschiebung um y Einheiten nach unten
  • Der Scheitelpunkt liegt bei S (0; ys)
  • Die y-Achse ist Symmetrieachse


Es folgen nun einige Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.



STATION 2: Übungen zum Parameter ys



1. Aufgabe: Zuordnung

Du siehst hier 5 verschiedene Graphen der quadratischen Funktion "f(x) = x2 + ys". Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsgleichung.


Parabele1.png Parabele2.png Parabele3.png Parabele4.png Parabele5.png
y x2 + 2,5 y x2 + 1,5 y x2 y x2 - 3,5 y x2 - 0,5




















2. Aufgabe:

Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu!

Scheitelpunkt Funktionsgleichung
1. S y x2 + 4,7
2. S y x2 - 23
3. S y x2 - 2,5
4. S y x2
5. S y x2 + 13
















3. Aufgabe:

Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde jetzt den zugehörigen Scheitelpunkt S.

Funktionsgleichung Scheitelpunkt
1. y x2 + 5,2 S [0; 5,2]
2. y 3 + x2 S [0; 3]
3. y x2 - 3 S [0; -3]
4. y x2 S [0; 0]













4. Aufgabe: Zuordnung

Aufgabe Quadratische Funktion f(x)x2+ ys
Gegeben sind fünf Funktionsgleichungen.
Finde dazu die zugehörigen Punkte, die auf der Parabel liegen.


Überlege dir rechnerisch, welcher Punkt zu welcher Parabel
gehören könnte.
Überprüfe dein Ergebnis mit dem Applet rechts.
Verschiebe dafür die Parabel entsprechend der Funktionsgleichung.

Hilfe:
Vorlage:Versteckt
Als letztes ziehst du die vorgegebenen Punkte
zu den jeweilgen Funktionsgleichungen und überprüfst dein Ergebnis.

y x² - 1 y x² - 5 y x² + 0 y x² + 2 y x² + 4
[3; 8] [3; 4] [2; 4] [1; 3] [2; 8]

Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.





STATION 3: Der Parameter xs stellt sich vor


Nachdem du jetzt den Parameter ys kennst, wollen wir uns mit dem Parameter xs beschäftigen. Er wird in die quadratische Funktion wie folgt integriert:

                                       f(x) = (x - xs)2


Um die Eigenschaften dieses Parameters zu erlernen, bediene den Schieberegler xs in der nachfolgenden Geogebraanwendung, er verändert dessen Wert. Die schwarz-strichelte Parabel ist die Normalparabel. Löse anschließend den darauf folgenden Lückentext und ziehe hierfür die richtigen Textbausteine mit gehaltener linker Maustaste in die Lücken!

Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.


Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Der Parameter xs der quadratischen Funktion "f(x) = (x - xs)2" bewirkt eine Verschiebung der Normalparabel auf der x-Achse. Wie schon bei der Verschiebumg des Parameters ys, ist die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel. Mit Hilfe des Schiebereglers xs stellt man fest, dass für positive Werte eine Verschiebung um x-Einheiten nach rechts erfolgt. Ist der Wert von xs negativ, so wird der Graph um x-Einheiten nach links verschoben.
Aber Achtung! Es wird ein kleines Verwirrspiel getrieben, denn für positive x-Werte lautet die Funktionsgleichung "f(x) = [x - xs]2". Man macht leicht den Fehler und stellt für positve Werte die Gleichung "f(x) = [x + xs]2" auf. Da die Funktionsgleichung jedoch "f(x) = (x - xs)2" lautet, entsteht für positive Werte eine Differenz in der Klammer. Genau andersherum verhält es sich für negative Werte von xs, denn dort lautet die Funktionsgleichung "f(x) = [x + xs]2". Für den Scheitelpunkt gelten die Koordinaten "S [xs; 0]", denn der y-Wert bleibt Null. Die Symmetrieachse ist die Parallelachse zur y-Achse senkrecht zur x-Achse.


Das waren einige wichtige Erkenntnisse, die wir nachfolgend festhalten wollen!


Merke

Für die quadratische Funktion "f(x)(x - xs)2" gilt:

  • Der Graph der Funktion ist eine verschobene Parabel entlang der x-Achse
  • Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel
  • Für xs > 0 gilt: Verschiebung um x Einheiten nach rechts
  • Für xs < 0 gilt: Verschiebung um x Einheiten nach links
  • Der Scheitelpunkt liegt bei S [xs; 0]
  • Die Symmetrieachse ist die Parallelachse zur y-Achse, senkrecht zur x-Achse


Achtung!

  • Für xs > 0, mit einer Verschiebung nach rechts, lautet die Funktionsgleichung "f(x) = (x – xs)2"

Beispiel: Für xs = 5: f(x) = (x - 5)2

  • Für xs < 0, mit einer Verschiebung nach links, lautet die Funktionsgleichung "f(x) = (x + xs)2"

Beispiel: Für xs = -5: f(x) = (x + 5)2


Ebenso wie beim Parameter ys, folgen wieder einige Aufgaben, um auch diese Eigenschaften zu vertiefen.



STATION 4: Übungen zum Parameter xs


1. Aufgabe: Zuordnung

Gegeben sind die Graphen 5 verschiedener quadratischer Funktionen. Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu:

Parabeld-4,5.jpg Parabeld-2,5.jpg Parabeld0.jpg Parabeld2.jpg Parabeld5.jpg
y [x + 4,5]2 y [x + 2,5]2 y [x + 0]2 y [x - 2]2 y [x - 5]2























2. Aufgabe:

Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu!

Scheitelpunkt Funktionsgleichung
1. S y [x - 2,5]2
2. S y [x + 3]2
3. S y [x + 2,5]2
4. S y x2
5. S y [x - 3]2















3. Aufgabe:

Du siehst im folgendenden Koordinatensystem 3 Parabeln. Man kann diese 3 Parabeln durch bedienen der Schieberegler verschieben. Verschiebe die drei Parabeln so, dass sie den Platz für die folgenden Funktionsgleichungen einnehmen.

     f(x) = (x - 2)2
     f(x) = (x - 5)2
     f(x) = (x + 3)2

Überprüfe anschlißend durch Anklicken des Kontrollkästchens, ob du die Aufgabe richtig gelöst hast. Überdecken die blau-gestrichelten Parabeln deine verschobenen Parabeln, dann hast du alles richtig gemacht.

Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.




STATION 5: Zusammenführung der Parameter ys und xs zur Scheitelpunktsform


Bevor wir nun die beiden Parameter ys und xs zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung. Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht!


Frage Antwort
1. Wie lautet der Scheitelpunkt für y [x - 2]2? S [2, 0]
2. Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach unten auf der y-Achse? y x2 - ys
3. Wie lautet der Scheitelpunkt für y x2 - 4? S [0, -4]
4. Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach links auf der x-Achse? y [x + xs]2
5. Wie lautet der Scheitelpunkt für y x2 + 2? S [0, 2]
6. Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach rechts auf der x-Achse? y [x - xs]2
7. Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach oben auf der y-Achse? y x2 + ys
8. Wie lautet der Scheitelpunkt für y [x + 4]2? S [-4, 0]


















Jetzt sind wir an dem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können.

In dieser Lerneinheit hast du die Parameter ys und xs einzeln kennen gelernt.

Ziel dieser Lerneinheit ist die quadratische Funktion "f(x) = (x - xs)2 + ys", in der beide Parameter integriert sind.

Du weißt mittlerweile, welche Aufgaben der jeweilige Parameter hat. Während der Parameter ys für den y-Wert im Koordinatensystem steht, gibt der Parameter xs den x-Wert an. Genau durch diese beiden Punkte wird der Scheitelpunkt der Parabel bestimmt und man nennt die quadratische Funktion "f(x) = (x - xs)2 + ys" deshalb Scheitelpunktsform.
Die Scheitelpunktsform vereint somit die Eigenschaften der Paramter xs und ys.

Im folgenden Kreuzworträtsel werden diese Eigenschaften nun nochmal abgefragt. Viel Erfolg!


Quadratische Funktion f(x)(x - xs)2 + ys Hinweise und Quiz:
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

Hinweise:
* In der Grafik siehst du die verschobene Normalparabel
* Mit den Schiebereglnern ys und xs kannst du die Lage der Parabel verändern
* Bediene die Schieberegler und versuche das folgende Quiz zu lösen

Quiz:

Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld. Trage dort deine Antwort ein. In deiner Lösung dürfen keine Bindestriche vorkommen, dass bedeutet z.B. für x-Achse schreibt man xAchse. Erst wenn das komplette Rätsel ausgefüllt ist, können die Ergebnisse überprüft werden.

Scheitelpunkt Wie nennt man den Punkt S(xs, ys) der Parabel?
Scheitelpunktsform Wie bezeichnet man die FORM der Funktionsgleichung f(x) = (x - xs)² + ys?
Symmetrieachse Wie heißt die Achse, für die x = ys gilt?
Normalparabel Zu welcher Parabel sind die verschobenen Parabeln kongruent?
Unten In welche Richtung verschiebt man die Parabel f(x) = x² - 4?
x-Achse Auf welcher Achse verschiebt der Parameter xs die Parabel?
Ebene Die Parameter xs und ys bewirken eine Verschiebung der Normalparabel in der...
y-Achse Auf welcher Achse verschiebt der Parameter ys die Parabel?
Zwei Um wie viele Einheiten wird die Funktion f(x) = (x - 5)² + 2 nach oben verschoben?





Merke

Für die quadratische Funktion f(x)(x - xs)2 + ys gilt:

  • Der Graph der Funktion ist eine verschobene Parabel in der Ebene
  • Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel
  • Man erhält den Graph von f durch verschieben der Normalparabel um x Einheiten entlang der x-Achse und um y Einheiten entlang der y-Achse
  • Der Scheitelpunkt liegt bei S [xs; ys]
  • Die Symmetrieachse hat die Gleichung x ys



STATION 6: Aufgaben zur Scheitelpunktsform


1. Aufgabe: Multiple Choice

Kreuze alle richtigen Aussagen an!

f(x) (x - 5)2 - 3 (!Die Parabel ist nach rechts und nach oben verschoben)(!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [-3, 5])(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [5, -3]) (!Die Parabel ist nach unten geöffnet) (Die Parabel ist nach rechts und nach unten verschoben)

f(x) 5 + (x + 12)2 (!Es liegt keine Parabel vor) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach oben verschoben) (!Die Parabel ist um 12 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 12 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse) (!Die Parabel hat keine Symmetrieachse)

f(x) x2 + 3 (!Die Parabel ist eine um 3 Einheiten nach links verschobene Normalparabel) (Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 3]) (Die Symmetrieachse der Parabel ist die y-Achse) (!Die Parabel ist um eine Einheit nach rechts verschoben) (Die Parabel ist nach oben geöffnet)

f(x) -5 + (x - 6)2 (!Die Funktionsgleichung ist keine quadratische Funktion) (!Die Parabel ist um 5 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist um 6 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten verschoben) (! Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten und um 6 Einheiten nach links veschoben)


































2. Aufgabe:

Gegeben ist der Scheitelpunkt S einer verschobenen Normalparabel. Finde zum jeweiligen Scheitelpunkt die richtige Funktionsvorschrift:

Scheitelpunkt Funktionsgleichung
1. S y [x - 2]2 - 5
2. S y [x - 4]2 - 8
3. S y [x - 4]2 + 8
4. S y [x - 5]2 - 2













3. Aufgabe-Zuordnung:

Finde die richtige Funktionsvorschrift für die Graphen!

Parabel1lo.jpg Parabel1ro.jpg Parabel1ru.jpg Parabel1lu.jpg
y [x + 3]2 + 4 y [x - 3]2 + 2 y [x - 1]2 - 5 y [x + 5]2 - 1





















4. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE:

Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken.
Gegeben ist die Funktion f(x) = (x + 3)2 + 1,5 und die Punkte W, X, T und P. Welche der folgenden Punkte liegt auf dem Graphen? Überprüfe dies durch Kopfrechnung!

     a)	W  
     b)	X  
     c)	T  
     d)	P  


Hilfe:
Falls du nicht weiterkommst, lass dir helfen! Vorlage:Versteckt Bediene nun noch den Schieberegler um den Graphen an die richtige Stelle zu positionieren. Mit dem Anklicken des Kontrollkästchens "Punkte an", erkennst du, welche Punkte auf der Parabel liegen.

Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.


Prima!

Damit kennst du nun die Parameter xs und ys, welche für die Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind.

In der nächsten Lerneinheit lernst du dann die Normalform kennen.