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Main>Michael Schuster |
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| == Exkurs zur Normalverteilung 1 == | | <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"> |
| | '''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 5. Stufe|5. Stufe]] - [[Potenzfunktionen Test|Test]]'''</div> |
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| Wir betrachten folgende Funktion. Sie ist in unserem "Experimentierkasten" bereits definiert
| | Hier kannst Du Dein Wissen über die Potenzfunktionen testen. |
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| <center>[[Bild: Bin2.gif]]</center> | | <quiz display="simple"> |
| {{Aufgaben-M|1| | | { Gib die Eigenschaften des Graphen an, die für die angegebenen Funktionen zutreffen. |
| | | typ="()" } |
| | | achsensymmetrisch | punktsymmetrisch | nicht symmetrisch |
| | -+- <math>f(x) = 3 x^3 \quad</math> |
| | --+ <math>g(x)= -2 x^{\frac 13}</math> |
| | +-- <math>h(x)= x^{-2} \quad</math> |
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| }}
| | {Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit die Funktion <math>f(x)=a \cdot x^{z}, a \in \mathbb{R}, z \in \mathbb{Z}</math> einen kleinsten Wert besitzt?} |
| <table cellpadding="2" cellspacing="2" border="0"
| | + a ist positiv und z ist gerade. |
| style="text-align: left; width: 100%;">
| | - a ist negativ und z ist gerade. |
| <tr> | | - a ist positiv und z ist ungerade. |
| <td style="vertical-align: top; background-color: rgb(51, 102, 255); width: 1%;"><br>
| | - a ist negativ und z ist ungerade. |
| </td>
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| <td style="vertical-align: top;">
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| '''Arbeitsaufgaben:'''<br><br>
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| 1. Blende die phi-Funktion ein und beschreibe wie sich ihr Graph verändert, wenn man n verändert.<br> | | {Welche Punkte liegen auf den Graphen der angegebenen Funktionen? |
| 2. Für welche wähle n<10. Für welche Werte von p ist die phi-Funktion eine gute/schlechte Näherung.<br> | | | typ="()" } |
| 3. Wähle n>500. Was gilt nun?<br> | | | <math>(0/0)</math> | <math>(-1/1)</math> | <math>(1/1)</math> |
| | +-- <math>f(x) = 3 x^3 \quad</math> |
| | +-- <math>g(x)= -2 x^{\frac 13}</math> |
| | --+ <math>h(x)= x^{-3} \quad</math> |
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| 4. Diskutiere die phi-Funktion durch Rechnung und mit den Mitteln, die Geogebra zur Verfügung stellt.(Maximum, Wendepunkte, Krümmungsverhalten) <br>
| | {Für welche Funktionen ist der Definitionsbereich auf <math>\mathbb{R}^\mbox{+}</math> beschränkt?} |
| | - <math>f(x) = 3 x^3 \quad</math> |
| | + <math>g(x)= -2 x^{\frac 13}</math> |
| | - <math>h(x)= x^{-3} \quad</math> |
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| 5. Bei sehr großem Wert von n ist also die Wahrscheinlichkeit F(n,p,r) in etwa gleich dem Flächeninhalt unter der Kurve phi. Diesen wollen wir mit Phi(x) bezeichnen. Wie kann man diesen bestimmen? Schreibe einen möglichen Ansatz auf.
| | {[[Bild:potenztest1.jpg]]<br>Ordne den Graphen die entsprechenden Funktionsterme zu. |
| | | typ="()" } |
| | | a | b | c | d | e |
| | +---- <math>\frac{1}{8} x^2</math> |
| | ----+ <math>x^{-\frac{1}{3}}</math> |
| | --+-- <math>2 x^3 \quad</math> |
| | ---+- <math>-\frac 12 x^{\frac 12}</math> |
| | -+--- <math>x^{-3} \quad</math> |
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| 6. Bestimme mittels Geogebra und der phi-/Phi-Funktion die Wahrscheinlichkeit, dass bei 6000 Würfen mit einem Würfel ein Sechser mindestens 750 Mal, aber höchstens 1250 Mal auftritt. Vergleiche die Wahrscheinlichkeit, wenn Du die Binomialverteilung nimmst.
| | {Welche Graphen der unten stehenden Funktionen sind im Bereich <math>x \in \mathbb{R}^\mbox{+}</math> monoton steigend?} |
| | - <math>f(x)= -3 x^3 \quad</math> |
| | + <math>g(x)= x^{\frac 13}</math> |
| | + <math>h(x)= -x^{-2} \quad</math> |
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| <br> | | {[[Bild:potenztest2.jpg]]<br>Ordne den obigen Tabellen die entsprechenden Graphenarten zu. |
| </td> | | | typ="()" } |
| </tr> | | | G<sub>a</sub> | G<sub>b</sub> | G<sub>c</sub> | G<sub>d</sub> | G<sub>e</sub> |
| </table> | | -+--- Parabel |
| | ---+- Kubische Grundparabel |
| | --+-- Hyperbel |
| | +---- Quadratwurzel |
| | ----+ Kubikwurzel |
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| Das Dilemma ist nun zum einen, dass man diese Funktion Phi(n,p,r) nicht geschlossen darstellen kann. Zum anderen hat man gesehen, dass die phi-Funktionen von n und p abhängig sind. Das Tafelwerk müsste extrem umfangreich sein.
| | </quiz> |
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| == Exkurs zur Normalverteilung 2 ==
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| Die Koordinatentransformation<br><center> [[Bild:Bin3.gif]]</center> <br> verschiebt die Histogramme mit ihrem Erwartungswert in den Ursprung und staucht sie in x-Richtung um den Faktor sigma, streckt sie in y-Richtung auf das sigma-fache: der Flächeninhalt des Rechtecks, das B(n,p,r) bleibt also gleich.
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| Die Funktion phi, die für jedes n und jedes p eine andere Kurve lieferte geht über in eine einzige Funktion:
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| <center> [[Bild:Bin4.gif]]</center><br>
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| '''unabhängig von n oder p''' und für diese lässt sich der Integralwert in Stochastischen Tafelsammlungen leicht [http://www.vwi.tu-dresden.de/~treiber/statistikFormelnTabellen/erf_tab.pdf tabellieren].
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| <center> [[Bild:Bin5.gif]]
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| [[Bild:Heim24.gif]]</center>
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| <br>
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| <small>Ansicht der GEOGEBRA-Anwendung</small>
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| <br><br>
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| Mit der folgenden Anwendung kann man ebenfalls ohne Verwendung einer Tabelle Aufgaben lösen, für die man konventionell nicht mit der Binomialverteilung arbeiten konnte, sondern auf die Normalverteilung mit Tafelwerk angewiesen war. In Geogebra sind die Aufgaben sowohl mit der obigen Anwendung möglich als auch mit der unten angegebenen.<br> <br>
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| <ggb_applet height="450" width="600" filename="Normalverteilung.ggb" /><br>
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| <br><br>
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| <br><br>
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| <br>
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| <small>Diese Datei erfordert die Installation der Version Web-Start von Geogebra! [http://www.geogebra.org]</small>
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| <table cellpadding="2" cellspacing="2" border="0"
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| style="text-align: left; width: 100%;">
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| <tr>
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| <td style="vertical-align: top; background-color: rgb(51, 102, 255); width: 1%;"><br>
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| </td>
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| <td style="vertical-align: top;">
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| '''Arbeitsaufgaben:'''<br><br>
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| <br>
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| </td>
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| </tr>
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| </table>
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| == Ein Beispiel für ganz andere Verteilungen ==
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| Das delta 12 auf S. 113/20 beschreibt eine Anwendung aus der Wirtschaft, die für die Abschätzung von Garantiefragen wichtig ist. <br><br>
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| Simulieren lässt sich dies durch die folgende Geogebra-Anwendung:
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| <br>
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| <center><[[Bild:Heim26.gif]]</center><br>
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| <ggb_applet height="450" width="600" filename="garantie.ggb" /><br>
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| == Links ==
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| *[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm Rechner für Normal- Bionomial- und Poissonverteilung]
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