Geraden und Ebenen

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Inhaltsverzeichnis

Geraden im Raum

Maehnrot.jpg
Merke:

Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form

g: \vec x = \vec p+t \cdot \vec u , t \in \mathbb{R} beschreiben.

\vec p ist hierbei ein Stützvektor und \vec u ein Richtungsvektor der Geraden g.

B Gerade.png

Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Geradengleichung aufstellen

Die Gerade g verläuft durch die Punkte P(1|-3|7) und Q(-2|5|4).

Für die Gerade g gilt:

g: \vec x = \vec p+t \cdot \vec u , t \in \mathbb{R}

Also folgt:

g:\vec{x}=\begin{pmatrix}
1\\
-3\\
7\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
-2-1\\
5+3\\
4-7\\
\end{pmatrix}

g:\vec{x}= \begin{pmatrix}
1\\
-3\\
7\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
-3\\
8\\
-3\\
\end{pmatrix} , t \in \mathbb{R}


Punktprobe

Prüfe, ob die Punkte A(-5|10|1) und B(-5|13|4) auf der Geraden g liegen.

  • Punkt P:
 \begin{pmatrix}
1\\
-3\\
7\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
-3\\
8\\
-3\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-5\\
10\\
1\\
\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix}
t_1=2\\
t_2=\frac{13}{8}\\
t_3=2\\
\end{pmatrix}\Rightarrow t_1\neq t_2

Der Punkt P liegt nicht auf der Geraden g


  • Punkt Q:
 \begin{pmatrix}
1\\
-3\\
7\\
\end{pmatrix}+2 \cdot \begin{pmatrix}
-3\\
8\\
-3\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-5\\
13\\
1\\
\end{pmatrix}

Der Punkt Q liegt auf der Geraden g


Nuvola Stift.png   Aufgabe

a) Zeichne die Gerade g in ein Koordinatensystem ein:

g_1:\vec{x}= \begin{pmatrix}
1\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix} , t \in \mathbb{R}


g_2:\vec{x}= \begin{pmatrix}
-1\\
2\\
4\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
3\\
0\\
-2\\
\end{pmatrix} , t \in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

B Geradezeichnen.png


b) Gebe vier verschiedene Parametergleichungen der Geraden g an, welche durch die Punkte P(5|-7|3) und Q(2|1|3) gehen.

Information icon.svg Lösung
g_1:\vec{x}= \overrightarrow{0P}+t \cdot \overrightarrow{PQ} , t \in \mathbb{R}

g_1:\vec{x}= \begin{pmatrix}
5\\
-7\\
3\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
-3\\
8\\
0\\
\end{pmatrix} , t \in \mathbb{R}

g_2:\vec{x}= \overrightarrow{0Q}+t \cdot \overrightarrow{PQ} , t \in \mathbb{R}

g_2:\vec{x}= \begin{pmatrix}
2\\
1\\
3\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
-3\\
8\\
0\\
\end{pmatrix} , t \in \mathbb{R}

g_3:\vec{x}= \overrightarrow{0P}+t \cdot \overrightarrow{QP} , t \in \mathbb{R}

g_3:\vec{x}= \begin{pmatrix}
5\\
-7\\
3\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
3\\
-8\\
0\\
\end{pmatrix} , t \in \mathbb{R}

g_4:\vec{x}= \overrightarrow{0Q}+t \cdot \overrightarrow{QP} , t \in \mathbb{R}

g_4:\vec{x}= \begin{pmatrix}
2\\
1\\
3\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
3\\
-8\\
0\\
\end{pmatrix} , t \in \mathbb{R}



c) Prüfe, ob die Punkte P(14|2|-8) und Q(-16|2|14) auf der Geraden g liegen.

g:\vec{x}= \begin{pmatrix}
-1\\
2\\
4\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
3\\
0\\
-2\\
\end{pmatrix} , t \in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung


P: \begin{pmatrix}
-1\\
2\\
4\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
3\\
0\\
-2\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
14\\
2\\
-8\\
\end{pmatrix}
\Rightarrow mit linsolve folgt: "keine Lösung gefunden", d.h. P liegt nicht auf g

Q: \begin{pmatrix}
-1\\
2\\
4\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
3\\
0\\
-2\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-16\\
2\\
14\\
\end{pmatrix}
\Rightarrow mit linsolve folgt: "{-5}", d.h. Q liegt auf g

Ebenengleichungen

Parameterform

Maehnrot.jpg
Merke:

Jede Ebene lässt sich durch eine Gleichung der Form

E:\vec{x}=\vec{p}+r\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v}

mit r, s \in\mathbb{R} beschreiben.

\vec{p} ist hierbei ein Stützvektor.\vec u und \vec v sind linear unabhängig und heißen Spannvektoren.

B Ebene.png




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Ebenengleichung aufstellen

Die Ebene E verläuft durch die Punkte A(1|2|3), B(-3|5|7) und C(4|0|-2).

\rightarrow Markiere die Punkte A, B und C in einem Koordinatensystem und skizziere die Ebene.

\rightarrow Stelle die Parametergleichung der Ebene auf.

Für die Ebene E gilt:

E:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AC}\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }  r, s \in\mathbb{R}
Also folgt:

E:\vec{x}=\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
-3-1\\
5-2\\
7-3\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
4-1\\
0-2\\
-2-3\\
\end{pmatrix}

E:\vec{x}=\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
-4\\
3\\
4\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
3\\
-2\\
-5\\
\end{pmatrix}, r, s \in\mathbb{R}


Punktprobe

Prüfe, ob die Punkte P(2|2|-4) und Q(1|1|-3) auf der Ebenen E liegen.

  • Punkt P:
\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
-4\\
3\\
4\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
3\\
-2\\
-5\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2\\
2\\
-4\\
\end{pmatrix}

Lösen mit GTR (linsolve)\Rightarrow "{2,3}"

Der Punkt P liegt mit r = 2 und s = 3 auf der Ebenen E


  • Punkt Q:
\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
-4\\
3\\
4\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
3\\
-2\\
-5\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\
1\\
-3\\
\end{pmatrix}

Lösen mit GTR (linsolve)\Rightarrow "keine Lösung gefunden"

Der Punkt Q liegt nicht auf der Ebenen E


Nuvola Stift.png   Aufgabe

a) Gebe zwei unterschiedliche Parametergleichungen der Ebene E an, welche durch die Punkte A(2|3|4), B(4|3|2) und C(1|2|3) gehen.

Information icon.svg Lösung

E_1:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AC}\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }  r, s \in\mathbb{R}
E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}
2\\
3\\
4\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
0\\
-2\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
-3\\
-1\\
1\\
\end{pmatrix}



E_2:\vec{x}=\overrightarrow{OB}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AC}\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }  r, s \in\mathbb{R}
E_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}
4\\
3\\
2\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
0\\
-2\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
-3\\
-1\\
1\\
\end{pmatrix}


b) Prüfe, ob die Punkte A(4|0|5), B(5|3|2), C(1|9|0) und D(1|2|3) auf einer Ebenen E liegen.

Information icon.svg Lösung

E:\vec{x}=\overrightarrow{AB}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AC}\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }  r, s \in\mathbb{R}
E:\vec{x}=\begin{pmatrix}
4\\
0\\
5\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
3\\
-3\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
-4\\
6\\
-2\\
\end{pmatrix}

Punktprobe:

\begin{pmatrix}
4\\
0\\
5\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
3\\
-3\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
-4\\
6\\
-2\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}

Lösen mit GTR (linsolve)\Rightarrow "keine Lösung gefunden"

Die Punkte A, B, C und D liegen nicht auf einer Ebenen.

c) Gebe zwei unterschiedliche Ebenengleichungen der Ebene E an, die durch die Gerade g und den Punkt P(2|0|-5) verläuft.

g:\vec{x}= \begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
6\\
7\\
-3\\
\end{pmatrix} , t \in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
-2\\
-8\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
6\\
7\\
-3\\
\end{pmatrix}\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }  r, s \in\mathbb{R}

E_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}
2\\
0\\
-5\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
-2\\
-8\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
6\\
7\\
-3\\
\end{pmatrix}\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }  r, s \in\mathbb{R}

Lagebeziehungen

Gerade und Gerade

Maehnrot.jpg
Merke:

Es gibt vier Möglichkeiten, wie zwei Geraden g und h im dreidimensionalen Raum zueinander liegen können:

  • g und h sind identisch
  • g und h sind parallel zueinander
  • g und h schneiden sich in einem Punkt P
  • g und h sind windschief zueinander


Zur Bestimmung der Lagebeziehung kann man durch Gleichsetzen ( g = h ) die gemeinsamen Punkte der beiden Geraden herausfinden.
Aus der erhaltenen Lösung kann man anschließend Aussagen über die Lagebeziehung treffen.

  • Hat das LGS genau eine Lösung, so existiert ein Schnittpunkt, d.h. die Geraden schneiden sich.
  • Hat das LGS unendlich viele Lösungen, so sind g ung h identisch.
  • Hat das LGS keine Lösung
  • und sind die Richtungsvektoren linear abhängig, dann sind g und h parallel zueinander.
  • und sind die Richtungsvektoren linear unabhängig, dann sind g und h windschief zueinander.



Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Untersuche die Lagebeziehung zweier Geraden g und h.

a)

g:\vec{x}= \begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
0\\
-6\\
\end{pmatrix} , r\in \mathbb{R}


h:\vec{x}= \begin{pmatrix}
0\\
2\\
6\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
-1\\
0\\
3\\
\end{pmatrix} , s \in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

g = h

\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
0\\
-6\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\\
2\\
6\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
-1\\
0\\
3\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: unendlich viele Lösungen, d.h. g und h sind identisch.


b)

g:\vec{x}= \begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
0\\
-6\\
\end{pmatrix} , r\in \mathbb{R}


h:\vec{x}= \begin{pmatrix}
1\\
1\\
5\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
-1\\
0\\
3\\
\end{pmatrix} , s \in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

g = h

\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
0\\
-6\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\
1\\
5\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
-1\\
0\\
3\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: keine Lösung

Prüfe Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit:
r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
0\\
-6\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
3\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: r = -0,5; d.h. die Richtungsvektoren sind linear abhängig, also sind g und h sind parallel zueinander.


c)

g:\vec{x}= \begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
0\\
-6\\
\end{pmatrix} , r\in \mathbb{R}
h:\vec{x}= \begin{pmatrix}
2\\
0\\
3\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
0\\
-2\\
3\\
\end{pmatrix} , s \in \mathbb{R}


Information icon.svg Lösung

g = h

\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
0\\
-6\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2\\
0\\
3\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
0\\
-2\\
3\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: {0,5;-1}genau eine Lösung, d.h. die beiden Geraden schneiden sich im Punkt P mit
\overrightarrow{0P}=\begin{pmatrix}
2\\
0\\
3\\
\end{pmatrix}+(-1) \cdot \begin{pmatrix}
0\\
-2\\
3\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2\\
2\\
0\\
\end{pmatrix}

also gilt: P(2|2|0)



d)

g:\vec{x}= \begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
0\\
-6\\
\end{pmatrix} , r\in \mathbb{R}


h:\vec{x}= \begin{pmatrix}
1\\
0\\
3\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
1\\
0\\
3\\
\end{pmatrix} , s \in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

g = h

\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
0\\
-6\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
3\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
1\\
0\\
3\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: keine Lösung

Prüfe Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit:
r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
0\\
-6\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
3\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: keine Lösung gefunden; d.h. die Richtungsvektoren sind linear unabhängig, also sind g und h windschief zueinander.





Nuvola Stift.png   Aufgabe


Untersuche die Lagebeziehung zweier Geraden g und h.

a)

g:\vec{x}= \begin{pmatrix}
2\\
1\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
-1\\
0\\
2\\
\end{pmatrix} , r\in \mathbb{R}


h:\vec{x}= \begin{pmatrix}
1\\
-1\\
4\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
0\\
2\\
1\\
\end{pmatrix} , s \in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

g = h

\begin{pmatrix}
2\\
1\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
-1\\
0\\
2\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
4\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
0\\
2\\
1\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: {1;1}genau eine Lösung, d.h. die beiden Geraden schneiden sich im Punkt P mit
\overrightarrow{0P}=\begin{pmatrix}
2\\
1\\
3\\
\end{pmatrix}+1 \cdot \begin{pmatrix}
-1\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\
1\\
5\\
\end{pmatrix}

also gilt: P(1|1|5)


b)

g:\vec{x}= \begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
4\\
1\\
\end{pmatrix} , r\in \mathbb{R}


h:\vec{x}= \begin{pmatrix}
3\\
6\\
4\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
4\\
8\\
2\\
\end{pmatrix} , s \in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

g = h

\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
4\\
1\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3\\
6\\
4\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
4\\
8\\
2\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: unendlich viele Lösungen, d.h. g und h sind identisch.


c)

g:\vec{x}= \begin{pmatrix}
2\\
0\\
2\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
4\\
2\\
\end{pmatrix} , r\in \mathbb{R}


h:\vec{x}= \begin{pmatrix}
4\\
2\\
4\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
-1\\
-2\\
-1\\
\end{pmatrix} , s \in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

g = h

\begin{pmatrix}
2\\
0\\
2\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
4\\
2\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4\\
2\\
4\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
-1\\
-2\\
-1\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: keine Lösung

Prüfe Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit:
r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
4\\
2\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1\\
-2\\
-1\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: r = -0,5; d.h. die Richtungsvektoren sind linear abhängig, also sind g und h sind parallel zueinander.


d)

g:\vec{x}= \begin{pmatrix}
1\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
-2\\
1\\
-3\\
\end{pmatrix} , r\in \mathbb{R}


h:\vec{x}= \begin{pmatrix}
0\\
2\\
7\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
8\\
1\\
3\\
\end{pmatrix} , s \in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

g = h

\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
-2\\
1\\
-3\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\\
2\\
7\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
8\\
1\\
3\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: keine Lösung

Prüfe Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit:
r \cdot \begin{pmatrix}
-2\\
1\\
-3\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
8\\
1\\
3\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: keine Lösung gefunden; d.h. die Richtungsvektoren sind linear unabhängig, also sind g und h windschief zueinander.




Gerade und Ebene

Maehnrot.jpg
Merke:

Es gibt drei Möglichkeiten, wie eine Gerade g und eine Ebene E im dreidimensionalen Raum zueinander liegen können:

  • g liegt in E
  • g und E sind parallel zueinander
  • g und E schneiden sich in einem Punkt P


Zur Bestimmung der Lagebeziehung kann man durch Gleichsetzen ( g = E ) die gemeinsamen Punkte der Geraden und der Ebene herausfinden.
Aus der erhaltenen Lösung kann man anschließend Aussagen über die Lagebeziehung treffen.

  • Hat das LGS genau eine Lösung, so existiert ein Schnittpunkt, d.h. die Gerade und die Ebene schneiden sich.
  • Hat das LGS unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene.
  • Hat das LGS keine Lösung, so sind die Gerade und die Ebene parallel zueinander.



Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Untersuche die Lagebeziehung von der Gerade und der Ebene.

E:\vec{x}= \begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
-2\\
4\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
5\\
3\\
-4\\
\end{pmatrix} , r, s\in \mathbb{R}


g_1:\vec{x}= \begin{pmatrix}
-16\\
3\\
7\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
-18\\
3\\
0\\
\end{pmatrix} , t \in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

E = g

\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
-2\\
4\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
5\\
3\\
-4\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-16\\
3\\
7\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
-18\\
3\\
0\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: (1;0;-1)genau eine Lösung, d.h. die Ebene und die Gerade schneiden sich im Punkt P mit
\overrightarrow{0P}=\begin{pmatrix}
-16\\
3\\
7\\
\end{pmatrix}-1 \cdot \begin{pmatrix}
-18\\
3\\
0\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2\\
0\\
7\\
\end{pmatrix}

also gilt: P(2|0|7)


g_2:\vec{x}= \begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}
6\\
1\\
0\\
\end{pmatrix} , t\in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

E = g

\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
-2\\
4\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
5\\
3\\
-4\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
6\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: keine Lösung gefunden, d.h. die Ebene und die Gerade liegen parallel zueinander.


g_3:\vec{x}= \begin{pmatrix}
2\\
0\\
7\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
18\\
3\\
0\\
\end{pmatrix} , t\in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

E = g

\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
-2\\
4\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
5\\
3\\
-4\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
2\\
0\\
7\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
18\\
3\\
0\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: unendlich viele Lösungen, d.h. die Gerade liegt in der Ebene.





Nuvola Stift.png   Aufgabe


Untersuche die Lagebeziehung von der Gerade und der Ebene.

E:\vec{x}= \begin{pmatrix}
-3\\
1\\
1\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
-2\\
1\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
0\\
-1\\
2\\
\end{pmatrix} , r, s\in \mathbb{R}


g_1:\vec{x}= \begin{pmatrix}
2\\
-3\\
2\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
1\\
-1\\
3\\
\end{pmatrix} , t \in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

E = g

\begin{pmatrix}
-3\\
1\\
1\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
-2\\
1\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
0\\
-1\\
2\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
2\\
-3\\
2\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
1\\
-1\\
3\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: (3;-4;2)genau eine Lösung, d.h. die Ebene und die Gerade schneiden sich im Punkt P mit
\overrightarrow{0P}=\begin{pmatrix}
2\\
-3\\
2\\
\end{pmatrix}+2 \cdot \begin{pmatrix}
1\\
-1\\
3\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
4\\
-5\\
8\\
\end{pmatrix}
Also folgt P(4|-5|8)


g_2:\vec{x}= \begin{pmatrix}
-3\\
0\\
3\\
\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}
1\\
-3\\
3\\
\end{pmatrix} , t\in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

E = g

\begin{pmatrix}
-3\\
1\\
1\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
-2\\
1\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
0\\
-1\\
2\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-3\\
0\\
3\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
1\\
-3\\
3\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: unendlich viele Lösungen, d.h. die Gerade liegt in der Ebene


g_3:\vec{x}= \begin{pmatrix}
2\\
7\\
5\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
-3\\
9\\
-9\\
\end{pmatrix} , t\in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

E = g

\begin{pmatrix}
-3\\
1\\
1\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
-2\\
1\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
0\\
-1\\
2\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
2\\
7\\
5\\
\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}
-3\\
9\\
-9\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: keine Lösung gefunden, d.h. die Ebene und die Gerade liegen parallel zueinander





Ebene und Ebene

Maehnrot.jpg
Merke:

Es gibt drei Möglichkeiten, wie zwei Ebenen im dreidimensionalen Raum zueinander liegen können:

  • E_1 und E_2 sind identisch.
  • E_1 und E_2 schneiden sich.
  • E_1 und E_2 sind parallel zueinander.


Zur Bestimmung der Lagebeziehung kann man durch Gleichsetzen ( E_1 = E_2 ) die gemeinsamen Punkte der beiden Ebenen herausfinden.
Aus der erhaltenen Lösung kann man anschließend Aussagen über die Lagebeziehung treffen.

  • Hat das LGS unendlich viele Lösungen, wobei nur eine Variable frei wählbar ist, so existiert eine Schnittgerade g, d.h. die beiden Ebenen schneiden sich in einer Geraden.
  • Hat das LGS unendlich viele Lösungen, wobei zwei Variablen frei wählbar sind, so sind die beiden Ebenen identisch.
  • Hat das LGS keine Lösung, so sind die die Ebenen parallel zueinander.



Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen.

E_1:\vec{x}= \begin{pmatrix}
-1\\
5\\
2\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
1\\
2\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
-2\\
1\\
3\\
\end{pmatrix} , r, s\in \mathbb{R}


E_2:\vec{x}= \begin{pmatrix}
1\\
3\\
2\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
-2\\
0\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
3\\
1\\
4\\
\end{pmatrix} , r, s\in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

\begin{pmatrix}
-1\\
5\\
2\\
\end{pmatrix}+u \cdot \begin{pmatrix}
1\\
1\\
2\\
\end{pmatrix}+u \cdot \begin{pmatrix}
-2\\
1\\
3\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\
3\\
2\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
-2\\
0\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
3\\
1\\
4\\
\end{pmatrix}

\Rightarrowmit linsolve folgt: unendlich viele Lösungen, wobei eine Variable frei wählbar ist, d.h. die beiden Ebenen schneiden sich in einer Schnittgerade.


E_2:\vec{x}= \begin{pmatrix}
-2\\
7\\
7\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
4\\
9\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
-1\\
2\\
5\\
\end{pmatrix} , r, s\in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

\begin{pmatrix}
-1\\
5\\
2\\
\end{pmatrix}+u \cdot \begin{pmatrix}
1\\
1\\
2\\
\end{pmatrix}+u \cdot \begin{pmatrix}
-2\\
1\\
3\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-2\\
7\\
7\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
4\\
9\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
-1\\
2\\
5\\
\end{pmatrix}

\Rightarrowmit linsolve folgt: unendlich viele Lösungen, wobei zwei Variablen frei wählbar ist, d.h. die beiden Ebenen sind identisch.


E_2:\vec{x}= \begin{pmatrix}
-3\\
5\\
10\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
4\\
9\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
-3\\
0\\
1\\
\end{pmatrix} , r, s\in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

\begin{pmatrix}
-1\\
5\\
2\\
\end{pmatrix}+u \cdot \begin{pmatrix}
1\\
1\\
2\\
\end{pmatrix}+u \cdot \begin{pmatrix}
-2\\
1\\
3\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-3\\
5\\
10\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
1\\
4\\
9\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
-3\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}

\Rightarrowmit linsolve folgt: keine Lösungen vorhanden, d.h. die beiden Ebenen sind parallel zueinander.





Nuvola Stift.png   Aufgabe


Untersuche die Lagebeziehung von der Gerade und der Ebene.

E_1:\vec{x}= \begin{pmatrix}
0\\
3\\
1\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
-2\\
0\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
0\\
2\\
-1\\
\end{pmatrix} , r, s\in \mathbb{R}


E_2:\vec{x}= \begin{pmatrix}
1\\
-2\\
1\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
-4\\
4\\
0\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
0\\
-2\\
1\\
\end{pmatrix} , r, s\in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

\begin{pmatrix}
0\\
3\\
1\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
-2\\
0\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
0\\
2\\
-1\\
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1\\
-2\\
1\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
-4\\
4\\
0\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
0\\
-2\\
1\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: es sind keine Lösungen vorhanden, d.g. die Ebenen liegen parallel zueinander.



E_2:\vec{x}= \begin{pmatrix}
1\\
2\\
1\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
-1\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
0\\
-4\\
2\\
\end{pmatrix} , r, s\in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

\begin{pmatrix}
0\\
3\\
1\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
-2\\
0\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
0\\
2\\
-1\\
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1\\
2\\
1\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
-1\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
0\\
-4\\
2\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: es gibt unendlich viele Lösungen, wobei zwei Variablen frei wählbar sind, d.h. die Ebenen liegen parallel zueinander.


E_2:\vec{x}= \begin{pmatrix}
1\\
2\\
1\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
-3\\
0\\
6\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
0\\
-2\\
1\\
\end{pmatrix} , r, s\in \mathbb{R}

Information icon.svg Lösung

\begin{pmatrix}
0\\
3\\
1\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
2\\
-2\\
0\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
0\\
2\\
-1\\
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1\\
2\\
1\\
\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
-3\\
0\\
6\\
\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}
0\\
-2\\
1\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: es gibt unendlich viele Lösungen, wobei eine Variable frei wählbar ist, d.h. die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgerade.