Längen und Winkel

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Inhaltsverzeichnis

Betrag eines Vektors

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Betrag gibt die Länge eines Vektors an.
Es gilt:

|\vec{v}|=|\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2\\
v_3\\
\end{pmatrix}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}



Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Bestimme die Länge des Vektors \begin{pmatrix}
2\\
-5\\
3\\
\end{pmatrix}:


|\begin{pmatrix}
2\\
-5\\
3\\
\end{pmatrix}|=\sqrt{2^2+(-5)^2+3^2}\approx 6,16



Nuvola Stift.png   Aufgabe

Berechne die Länge der Vektoren

a) \begin{pmatrix}
1\\
-3\\
7\\
\end{pmatrix}

Information icon.svg Lösung

|\begin{pmatrix}
1\\
-3\\
7\\
\end{pmatrix}|=\sqrt{1^2+(-3)^2+7^2}\approx 7,68



b) \begin{pmatrix}
-2\\
-4\\
3\\
\end{pmatrix}

Information icon.svg Lösung

|\begin{pmatrix}
-2\\
-4\\
3\\
\end{pmatrix}|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2+3^2}\approx 5,39



c) \begin{pmatrix}
9\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}

Information icon.svg Lösung

|\begin{pmatrix}
9\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}|=\sqrt{9^2+0^2+1^2}\approx 9,06


Das Skalarprodukt

Maehnrot.jpg
Merke:

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl. Es gilt:

\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
b_3\\
\end{pmatrix}=a_1\cdot b_1+ a_2\cdot b_2 + a_3\cdot b_3

Ist das Skalarprodukt Null, so sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander.



Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Berechne das Skarprodukt.

\begin{pmatrix}
2\\
-5\\
3\\
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
1\\
-2\\
5\\
\end{pmatrix}=2\cdot 1+(-5)\cdot (-2)+3\cdot 5 = 2+10+15 = 27



Nuvola Stift.png   Aufgabe

Untersuche die Vektoren auf Orthogonalität.

a) \begin{pmatrix}
1\\
-3\\
7\\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
5\\
3\\
1\\
\end{pmatrix}

Information icon.svg Lösung

\begin{pmatrix}
1\\
-3\\
7\\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
5\\
3\\
1\\
\end{pmatrix}=1\cdot 5 + (-3)\cdot 3+7\cdot 1=3

Die Vektoren sind nicht orthogonal zueinander.



b) \begin{pmatrix}
-2\\
-4\\
3\\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
0\\
1\\
-2\\
\end{pmatrix}

Information icon.svg Lösung
\begin{pmatrix}
-2\\
-4\\
3\\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
0\\
1\\
-2\\
\end{pmatrix}=(-2)\cdot 0+(-4)\cdot 1+3\cdot (-2)=-10

Die Vektoren sind nicht orthogonal zueinander.



c) \begin{pmatrix}
9\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
-1\\
7\\
9\\
\end{pmatrix}

Information icon.svg Lösung

\begin{pmatrix}
9\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
-1\\
7\\
9\\
\end{pmatrix}=9\cdot (-1)+0\cdot 7+1\cdot 9=0

Die Vektoren sind orthogonal zueinander.

Winkel zwischen zwei Vektoren

Maehnrot.jpg
Merke:

Für den Winkel \alpha zwischen zwei Vektoren gilt:
cos (\alpha ) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}



Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Gegeben sind die beiden Vektoren \vec{a}=\begin{pmatrix}
1\\
-2\\
2\\
\end{pmatrix} und \vec{b}=\begin{pmatrix}
5\\
3\\
-1\\
\end{pmatrix}.
Bestimme den Winkel zwischen den beiden Vektoren.

cos (\alpha ) = \frac{-3}{3\cdot \sqrt{35}}=-\frac{1}{\sqrt{35}}
\Rightarrow \alpha \approx 80



Nuvola Stift.png   Aufgabe

Bestimme den Winkel zwischen den beiden Vektoren.

a) \begin{pmatrix}
1\\
-3\\
7\\
\end{pmatrix}\text{und} \begin{pmatrix}
5\\
3\\
1\\
\end{pmatrix}

Information icon.svg Lösung

cos (\alpha ) = \frac{3}{\sqrt{59}\cdot \sqrt{35}}
\Rightarrow \alpha \approx 86,2



b) \begin{pmatrix}
-2\\
-4\\
3\\
\end{pmatrix}\text{und} \begin{pmatrix}
0\\
1\\
-2\\
\end{pmatrix}

Information icon.svg Lösung

cos (\alpha ) = \frac{-10}{\sqrt{29}\cdot \sqrt{5}}
\Rightarrow \alpha \approx 146,1