Punkte und Vektoren

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Aus der Sekundarstufe I kennen wir bereits Koordinatensysteme, mit denen man Punkte in einer Ebene darstellen kann. Die Punkte werden durch Zahlenpaare angegeben. Ein Koordinatensystem mit drei Achsen stellt die Lage von Punkten in einem Raum dar. Die Punkte werden hierbei als Zahlentripel angegeben.

Inhaltsverzeichnis

Punkte im Raum

Punkte im Raum werden in einem dreidimensionalen Koordinatensystem (KO-System) dargestellt.

Möchte man den Punkt P(2|-3|4) einzeichnen, geht man vom Ursprung aus zwei Einheiten entlang der x1-Achse, drei Einheiten entgegengesetzt der x2-Achse und vier Einheiten entlang der x3-Achse.

Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Möchte man den Punkt P(2|-3|4) einzeichnen, geht man vom Ursprung aus zwei Einheiten entlang der x1-Achse, drei Einheiten entgegengesetzt der x2-Achse und vier Einheiten entlang der x3-Achse.

Punkte einzeichnen.png


Nuvola Stift.png   Aufgabe

Ein Würfel hat die Ecken A(0|0|0), B(4|0|0), C(4|4|0), D(0|4|0) und H(0|4|4).

  1. Zeichne den Würfel in ein KO-System.
  2. Gib die fehlenden Koordinaten der Eckpunkte des Würfels, sowie den Mittelpunkt M von dem Viereck BCGF an.

Information icon.svg Lösung

Punkte Würfel.png

Die fehlenden Punkte lauten: E(0|0|4), F(4|0|4), G(4|4|4) und M(2|4|2).



Vektoren im Raum

Verschiebt man einen Punkt P, so wird diese Verschiebung durch einen Vektor \vec{v} dargestellt. Hierbei gibt von \vec{v}=\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2\\
v_3\\
\end{pmatrix},
v_1 die Verschiebung in x_1-Richtung,
v_2 die Verschiebung in x_2-Richtung und
v_3 die Verschiebung in x_3-Richtung an.

Maehnrot.jpg
Merke:

Ein Vektor \vec{v} ist durch seine Länge und seine Richtung vorgegeben.

Verschiebt man einen Punkt A(a_1|a_2|a_3) nach B(b_1|b_2|b_3), so lautet der entsprechende Vektor \vec{v}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}
b_1-a_1\\
b_2-a_2\\
b_3-a_3\\
\end{pmatrix}.

Zu jedem Punkt P(p_1|p_2|p_3) gibt es einen Vektor \overrightarrow{OP}, der den Ursprung O(0|0|0) auf den Punkt P abbildet. Der Vektor \overrightarrow{OP} heißt Ortsvektor des Punktes P.



Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Zeichne die Vektoren in Form von Pfeilen in ein KO-System. \vec{v_1}=\begin{pmatrix}
1\\
2\\
\end{pmatrix} ,\vec{v_2}=\begin{pmatrix}
3\\
-4\\
\end{pmatrix} ,\vec{v_3}=\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix} und \vec{v_4}=\begin{pmatrix}
2\\
0\\
-3\\
\end{pmatrix}

Vektoren einzeichnen.png


Nuvola Stift.png   Aufgabe

a) Zeichne die Vektoren in Form von Pfeilen in ein KO-System.

\vec{v_1}=\begin{pmatrix}
1\\
-4\\
\end{pmatrix} , \vec{v_2}=\begin{pmatrix}
2\\
2\\
\end{pmatrix} , \vec{v_3}=\begin{pmatrix}
1\\
-2\\
3\\
\end{pmatrix} und \vec{v_4}=\begin{pmatrix}
-2\\
4\\
0\\
\end{pmatrix}

Information icon.svg Lösung

L Vektoren.png


b) Bestimme die Koordinaten des Vektors \overrightarrow{AB} und seines Gegenvektors \overrightarrow{BA}.

  1. A(2|0|2) und  B(2|3|1)
  2. A(-2|0|-2) und  B(2|3|1)
  3. A(2|0|2) und  B(-2|3|-1)

Information icon.svg Lösung
  • \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}
2-2\\
3-0\\
1-2\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\\
3\\
-1\\
\end{pmatrix}
\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix}
0\\
-3\\
1\\
\end{pmatrix}
  • \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}
2+2\\
3-0\\
1+2\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4\\
3\\
3\\
\end{pmatrix}
\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix}
-4\\
-3\\
-3\\
\end{pmatrix}
  • \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}
-2-2\\
3-0\\
-1-2\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-4\\
3\\
-3\\
\end{pmatrix}
\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix}
4\\
-3\\
3\\
\end{pmatrix}


Rechnen mit Vektoren

Addition zweier Vektoren

Maehnrot.jpg
Merke:

Werden zwei verschiedene Vektoren \vec{a} und \vec{b} hintereinander ausgeführt, so kann dies durch eine einzige Verschiebung \vec{c} dargestellt werden.

B Addition.png

Statt einer Hintereinanderausführung von Verschiebungen sagt an auch, dass die Vektoren addiert werden.

\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
b_3\\
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
a_1 + b_1\\
a_2 + b_2\\
a_3 + b_3\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
c_1\\
c_2\\
c_3\\
\end{pmatrix}=\vec{c}.



Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Gegeben ist der Punkt P(1|2|3) und der Vektor \vec{v}=\begin{pmatrix}
-2\\
4\\
5\\
\end{pmatrix}.

Bestimme die Koordinaten des Punktes Q für den gilt: \vec{OQ}=\vec{OP}+\vec{v}

Information icon.svg Lösung

\overrightarrow{0Q}=\overrightarrow{0P}+\vec{v}=\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
-2\\
4\\
5\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1\\
6\\
4\\
\end{pmatrix}


\Rightarrow Q(-1|6|4)


Nuvola Stift.png   Aufgabe

Aufgabe 1: Der Vektor \vec{v}=\begin{pmatrix}
1\\
-3\\
7\\
\end{pmatrix} verschiebt den Punkt A nach A'. Bestimme die Koordinaten von A'.

  1. A(1|2|3)
  2. A(-2|5|-6)
  3. A(0|-3|8)

Information icon.svg Lösung


  • \overrightarrow{0A'}=\overrightarrow{0A}+\vec{v}=\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1\\
-3\\
7\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
10\\
\end{pmatrix}


\Rightarrow A'(2|-1|10)
  • \overrightarrow{0A'}=\overrightarrow{0A}+\vec{v}=\begin{pmatrix}
-2\\
5\\
-6\\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1\\
-3\\
7\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
1\\
\end{pmatrix}


\Rightarrow A'(-1|2|1)
  • \overrightarrow{0A'}=\overrightarrow{0A}+\vec{v}=\begin{pmatrix}
0\\
-3\\
8\\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1\\
-3\\
7\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\
-6\\
15\\
\end{pmatrix}


\Rightarrow A'(1|-6|15)


Aufgabe 2: Berechne.

  1. \begin{pmatrix}
2\\
1\\
-3\\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
4\\
-1\\
2\\
\end{pmatrix}
  2. \begin{pmatrix}
2\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
-3\\
5\\
1\\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
7\\
1\\
4\\
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
2\\
-3\\
-4\\
\end{pmatrix}

Information icon.svg Lösung
  1. \begin{pmatrix}
2\\
1\\
-3\\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
4\\
-1\\
2\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
6\\
0\\
-1\\
\end{pmatrix}
  2. \begin{pmatrix}
2\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
-3\\
5\\
1\\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
7\\
1\\
4\\
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
2\\
-3\\
-4\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
10\\
1\\
10\\
\end{pmatrix}


Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

Verschiebt man einen Punkt mehrmals um den Vektor \vec{v}, so ergibt sich ein Vektor, der ein Vielfaches von \vec{v} ist.

B Verschiebung.png


Maehnrot.jpg
Merke:

Für einen Vektor \vec{v} (\vec{v}\neq\vec{0}) und r (r\in\mathbb{N} und r\neq 0) mit r \cdot \vec{v} gilt:

  • der neue Vektor ist parallel zu \vec{v}
  • der neue Vektor ist |r|-mal so lang wie \vec{v}
  • ist r > 0, so zeigt der neue Vektor in die gleiche Richtung wie \vec{v}; und ist r<0, so zeigt er in die entgegengesetzte Richtung wie \vec{v}
  • ist r = 0, so gilt r\cdot\vec{v}=0 für alle \vec{v}
  • ist \vec{v} = 0, so gilt r\cdot\vec{v}=0 für alle r

Für die Berechnung gilt:

r\cdot\vec{v}=r\cdot\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2\\
v_3\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
r\cdot v_1\\
r\cdot v_2\\
r\cdot v_3\\
\end{pmatrix} .

B Skalar.png



Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Berechne.

3\cdot\begin{pmatrix}
1\\
-4\\
5\\
\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
3\cdot 1\\
3\cdot (-4)\\
3\cdot 5\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3\\
-12\\
15\\
\end{pmatrix}



Nuvola Stift.png   Aufgabe

Aufgabe 1:

Berechne die Koordinaten des Vektors:

a) 5\cdot\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}=

b) 2\cdot\begin{pmatrix}
-2\\
3\\
4,5\\
\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
5\\
\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}
0,5\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}=

Information icon.svg Lösung

a) 5\cdot\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5\\
10\\
15\\
\end{pmatrix}

b) 2\cdot\begin{pmatrix}
-2\\
3\\
4,5\\
\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
5\\
\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}
0,5\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3\\
7\\
30\\
\end{pmatrix}


Aufgabe 2: Berechne.

Bestimme r und s, falls möglich.

a) \begin{pmatrix}
8\\
4\\
\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}
4\\
2\\
\end{pmatrix}

b) \begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}
15\\
0\\
11\\
\end{pmatrix}

c) \begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}
5\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}=s\cdot\begin{pmatrix}
3\\
0\\
-1\\
\end{pmatrix}


d) r\cdot\begin{pmatrix}
1\\
5\\
2\\
\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}
2\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\
10\\
6\\
\end{pmatrix}

Information icon.svg Lösung

L Skalar.png



lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren

Sind mehrere Vektoren \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, ... , \vec{v_n} gegeben, so nennt man die Summe r_1 \cdot \vec{v_1}+r_2 \cdot \vec{v_2}+r_3 \cdot \vec{v_3}+ ... + r_n\cdot \vec{v_n} mit r_i\in\mathbb{R} für I=1, 2, ... , n Linearkombination der Vektoren \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, ... , \vec{v_n}.

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Vektoren \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, ... , \vec{v_n} sind linear abhängig, wenn sich mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren schreiben lässt.
Ist dies nicht möglich, heißen die Vektoren linear unabhängig.


  • zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b} sind linear abhängig, wenn \vec{a} ein Vielfaches von \vec{b} ist, d.h.
\vec{b}=r\cdot\vec{a}, r\in \mathbb{R}
In diesem Fall sind \vec{a} und \vec{b} parallel zueinander voneinander.

  • zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b} sind linear abhängig, wenn
\vec{b}\neq r\cdot\vec{a}, r\in\mathbb{R}
Man bezeichnet sie dann als kollinear.

  • drei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie alle in einer Ebene liegen

  • drei Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie alle einen Raum aufspannen

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Vektoren \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, ... , \vec{v_n} sind linear unabhängig, wenn die Gleichung
r_1 \cdot \vec{v_1}+r_2 \cdot \vec{v_2}+r_3 \cdot \vec{v_3}+ ... + r_n\cdot \vec{v_n}=\vec{0} mit r_1, r_2, r_3, .... , r_n\in\mathbb{R}
die einzige Lösung r_1 = r_2 = r_3 = ... = r_n = 0 hat.


Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Überprüfe die Vektoren auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit.

a) \begin{pmatrix}
2\\
-1\\
1\\
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1\\
-3\\
-1\\
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
3\\
1\\
3\\
\end{pmatrix}

Information icon.svg Lösung

a\cdot \begin{pmatrix}
2\\
-1\\
1\\
\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}
1\\
-3\\
-1\\
\end{pmatrix}c\cdot\begin{pmatrix}
3\\
1\\
3\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: es gibt unendlich viele Lösungen, d.h. die Vektoren sind linear abhängig voneinander.



b) \begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1\\
3\\
4\\
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\\
2\\
0\\
\end{pmatrix}

Information icon.svg Lösung

a\cdot \begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}
1\\
3\\
4\\
\end{pmatrix}c\cdot\begin{pmatrix}
0\\
2\\
0\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}

\Rightarrow mit linsolve folgt: es gibt nur die Lösung a=b=c=0, d.h. die Vektoren sind linear unhängig voneinander.