Auf den Spuren von Dürer

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Inhaltsverzeichnis

Einführung

Bei der ZentralperspektiveWikipedia-logo.png handelt es sich um ein Verfahren, welches in der Oberstufe im Mathematikunterricht im Zusammenhang mit geometrischen Abbildungen behandelt wird. Ein Anknüpfungspunkt für den Unterricht kann in der Geschichte der Kunst gesehen werden. Bereits im 15. Jahrhundert gab es sogenannte Perspektivmaschinen, mit deren Hilfe dreidimensionale Objekte auf einer Leinwand festgehalten wurden. Ein Vertreter dieser Technik ist Albrecht Dürer (1471-1528), der damit im Prinzip das gleiche macht, was heutzutage eine Digitalkamera übernimmt: Das gemalte Bild bzw. das Foto ist die Wiedergabe dessen, was der Betrachter mit seinen Augen (hier: der sog. Augpunkt) gesehen hat. Das Ziel ist es nun, dass dieses Verfahren zunächst experimentell zu erfahren, bevor es mit der Software Archimedes 3D spezifiziert wird. Schließlich handelt es sich um die Hinführung zur rechnerischen Lösung des Problems, wobei der Rechner eingesetzt wird.

Experimenteller Zugang

Im Experiment soll vereinfacht das Verfahren von Dürer mit seiner Perspektivmaschine nachempfunden werden:



Stift.gif   Aufgabe 1

Verwendet das zur Verfügung stehende Material und baut mit den Holzstäben und den Styropor-Würfeln einen Körper, den ihr abbilden wollt. Das Band wird auf Höhe eurer Augen an der Wand befestigt und stellt somit den Augpunkt dar. Legt eure xy-Ebene fest (am besten nehmt ihr die Tischkante). Mit dem Zollstock/Maßband könnt ihr die Bildpunkte abmessen. Zeichnet die Abbildung des Körpers schließlich in ein Koordinatensystem.


Information icon.svg Lösung


Computergestützter Zugang - Archimedes 3D

Im 21. Jahrhundert kann Dürers Methode schnell und einfach mit Hilfe einer Geometriesoftware angewandt werden. Zum Beispiel mit der freeware Archimdes 3D. Anstatt des aufwändigen Modellaufbaus sollen die SchülerInnen jetzt versuchen, mit Archimdes 3D die Methode nachzustellen.

Stift.gif   Aufgabe 2

Führe Zentralpersketiven mit Archimedes 3D durch.


  • Arbeite in einer bereits ex. Archimedes-Datei dürer.geosave, und verändere den Augpunkt und das Tetraeder. Was fällt dabei auf?
  • Führe nun selbst eine Zentralperspektive durch. In der Datei Aufgabe.Würfel.geosave sind Augpunkt und Würfel vorgegeben. Finde die Bildpunkte!


SchülerInnen und LehrerInnen sollten selbst versuchen, die Zentralperspektive mit einer Geometriesoftware hinzubekommen. Hier ist aber zum Vergleich eine Ausführung:

Information icon.svg Lösung


Computergestützter Zugang (TI-Nspire) - Tabellenkalkulation

Am Taschenrechner soll mit Hilfe einer Tabellenkalkulation mit konkreten Werten gearbeitet werden:


Stift.gif   Aufgabe 3

Erstelle die Abbildung der Ecken eines Würfels mit einer Tabellenkalkulation

a) Welche Angaben werden benötigt, um eine Abbildung der Ecken eines Würfels mit einer Tabellenkalkulation zu erstellen?

Information icon.svg Lösung


b) Die folgende Tabelle beinhaltet die Eckpunkte des Würfels. Übernehmt diese bitte für euren Rechner, um im Folgenden damit Rechnen zu können.


c) Berechne die Koordinaten des projezierten Bildes, indem du Zellenwerte miteinander verknüpfst. Benutze zur Berechnung der Koordinaten des projezierten Bildes folgende Formel:

FormelFuerTabelle.jpg

Diese Formel erhält man aus der Gleichung einer Geraden durch die beiden Punkte A (Augpunkt) und P, sowie durch die Formel für den Schnitt von Gerade und Ebene.

Beachte folgendes: A(a_x,a_y,a_z) sind die Koordinaten des Augpunktes und P(p_x,p_y,p_z) die Koordinaten des abzubildenden Punktes. Die xy-Ebene hat die Koordiantengleichung z=0.

Information icon.svg Lösung


d) Erstelle eine Grafik des projezierten Bildes. Lasse dazu die 2D-Punkte in einem Punktediagramm darstellen.

Information icon.svg Lösung


e) Zusatz: Erstelle das Kantenmodell eines Würfels.


Information icon.svg Lösung


Didaktischer Kommentar

Warum das Experiment? Das Experiment bietet sich in der Linearen Algebra einfach an, weil es auch für OberstufenschülerInnen noch anspruchsvoll ist sowie außerdem die Zentralperspektive wunderbar einführt und auf vorhandenem Wissen aufbaut.


Warum nochmal digital? Es bietet sich deshalb an, weil - nach der digitalen Konstruktion und der dadurch einhergehenden Medienkompetenz - sich die Objekte (Pyramiden, Würfel, etc. ...) und das Auge jetzt einfach, dynamisch und anschaulich verschieben lassen.

Warum eignet sich das Programm? Archimedes 3D ist einerseits umsonst und kann anderseits gut eigenständig erlernt werden, da alle - von uns - verwendeten Funktionen durch entsprechende visualisierte Items leicht zu finden sind.


Warum Berechnung mit einem Kalkulator? Der letzte Schritt bietet sich an, weil hier die Brücke zwischen dem Dürer-Experiment und bereits vorhandenen Kompetenzen (Konstruktion von Ebenen, Geraden, etc./Schnittpunkt Ebene-Gerade)geschlagen wird. Der Kalkulator dient als Hilfe.


Literatur

Pallack, Andreas (2008) Auf den Spuren von Dürer. Praxis der Mathematik 21: S. 10-17.