Aufgaben zur Kombinatorik

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Inhaltsverzeichnis

Aufgaben zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit mittels Zählstrategien

Aufgabe 1

Stift.gif   Aufgabe 1

Ein Zufallsgenerator (Codeknacker) erzeugt unabhängig voneinander 4 Ziffern von 0 bis 9.

Nach der Generierung werden diese als 4-stellige Zahl auf einem Display angezeigt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?

A: Alle Ziffern sind ungerade.
B: Es kommen nur die Ziffern 0 und 1 vor.
C: Die Zahl ist eine „Spiegelzahl“, d.h. die erste und die letzte sowie die zweite und die dritte Zahl sind gleich.

Aufgabe 2

Stift.gif   Aufgabe 2

In einer Urne sind 6 rote und 4 weiße Kugeln.

Es werden nacheinander 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse?

A: Man zieht nur rote Kugeln.
B: Man zieht zuerst alle weißen, dann eine rote Kugel.
C: Die erste Kugel ist weiß.
D: Man zieht abwechselnd weiße und rote Kugeln.

Aufgabe 3

Stift.gif   Aufgabe 3

In einer Urne befinden sich 25 nummerierte Kugeln (Zahlen 1 bis 25).

Es werden gleichzeitig 4 Kugeln aus der Urne gezogen. (Ziehen mit einem Griff).

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?

A: Alle Zahlen sind durch 5 teilbar.
B: Alle Zahlen sind gerade.
C: Die Summe der 4 Zahlen ist kleiner als 12.
D: Das Produkt der 4 Zahlen ist 12.

Aufgabe 4

Stift.gif   Aufgabe 4

Vier Freunde gehen ins Kino. Sie haben in einer Reihe 4 nummerierte Plätze nebeneinander und verteilen die Karten zufällig.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse?

A: Sven sitzt zwischen zwei Freunden.
B: Sven und Kai sitzen außen.
C: Sven und Kai sitzen nebeneinander.


Lösungen

Lösung Aufgabe 1

Information icon.svg Lösung 1
Die Anzahl der Möglichkeiten:
Für jede der 4 Stellen gibt es 10 mögliche Ziffern (0 bis 9).
Damit lassen sich 10.000 Zahlen darstellen.


A: Alle Ziffern sind ungerade.
Die Anzahl der Möglichkeiten für A ist 5^4\,
Damit ist P(A)=\frac {5^4} {10^4}=\frac {1} {16}=0,0625 die Wahrscheinlichkeit dafür, das alle Ziffern ungerade sind.


B: Nur die Zahlen 0 und 1 kommen vor.
Die Anzahl der Möglichkeiten für B ist 2^4\,
Damit ist P(B)=\frac {2^4} {10^4}=\frac {1} {625}=0,0016 die Wahrscheinlichkeit dafür, das nur die Ziffern 0 und 1 vorkommen.


C: Es kommen nur Spiegelzahlen vor. (xy


Lösung Aufgabe 2

Information icon.svg Lösung 2
6 rote und 4 weiße Kugeln ergibt n = 10 Kugeln.
Es wird k = 5 mal gezogen ohne Zurücklegen.
Damit ist die Anzahl aller Möglichkeiten \frac {10!} {5!}=30.240


A: Nur rote Kugeln werden gezogen.
Die Anzahl der Möglichkeiten für A ist: \frac {6!} {1!}=720
damit ist P(A)=\frac {720} {30.240}=\frac {1} {42} \approx 0,0238 die Wahrscheinlichkeit dafür, das nur rote Kugeln gezogen werden.


B: Man zieht zuerst alle weißen, dann eine rote Kugel.
Die Anzahl der Möglichkeiten für B ist: \frac {4!} {0!} \cdot \frac {6!} {5!}=4! \cdot 6=144
damit ist P(B)=\frac {144} {30.240}=\frac {1} {210} \approx 0,00476 die Wahrscheinlichkeit dafür, zuerst alle weißen und dann eine rote Kugel zu ziehen.


C: Die erste Kugel ist weiß.
Das bedeutet, die 2., 3., 4. und 5. Kugel ist beliebig.
Die Anzahl der Möglichkeiten für C ist: 4 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6=12.096
damit ist P(C)=\frac {12.096} {30.240}=\frac {2} {5}= 0,4 die Wahrscheinlichkeit dafür, im ersten Zug die weiße Kugel zu ziehen Kugel zu ziehen.


D: Man zieht abwechselnd weiß und rot.
Das bedeutet, (wrwr) oder (rwrw).
Die Anzahl der Möglichkeiten für D ist: 4 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2 + 6 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 4 =2160
damit ist P(D)=\frac {2160} {30.240}=\frac {1} {14} \approx 0,0714 die Wahrscheinlichkeit dafür, abwechselnd weiße und rote Kugeln zu ziehen.
Stichprobenart: Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen (Anzahl der Möglichkeiten \frac {n!} {(n-k)!}\,)


Lösung Aufgabe 3

Information icon.svg Lösung 3
Die Anzahl der Möglichkeiten aus 25 unterschiedlichen Kugeln 4 zu ziehen ist:
{25 \choose 4} = \frac {25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22} {4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=25 \cdot 23 \cdot 22 = 12.650
Das ist die Anzahl aller Möglichkeiten.


A: Die Zahlen sind durch 5 teilbar. (5, 10, 15, 20, 25)
Die Anzahl der Möglichkeiten daraus 4 auszuwählen ist: {5 \choose 4} = \frac {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} {4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=5
Das ist die Anzahl der Möglichkeiten für das Eintreten von A.
Damit ist P(A)=\frac {5} {12.650}=\frac {1} {2530} \approx 0,000.395 die Wahrscheinlichkeit dafür, 4 Zahlen zu ziehen, die durch 5 teilbar sind.


B: Alle Zahlen sind gerade. (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24)
Die Anzahl der geraden Zahlen ist 12.
Die Anzahl der Möglichkeiten daraus 4 auszuwählen ist: {12 \choose 4} = \frac {12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9} {4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=495
Das ist die Anzahl der Möglichkeiten für das Eintreten von B.
Damit ist P(B)=\frac {495} {12.650}=\frac {99} {2530} \approx 0,0391 die Wahrscheinlichkeit dafür, 4 gerade Zahlen zu ziehen.


C: Die Summe der 4 Zahlen ist kleiner als 12. (1+2+3+4<12 oder 1+2+3+5<12)
Für das Ereignis C gibt es 2 Möglichkeiten.
Damit ist P(C)=\frac {2} {12.650}=\frac {1} {6325} \approx 0,000.158 die Wahrscheinlichkeit dafür, 4 Zahlen zu ziehen, deren Summe kleiner als 12 ist.


D: Das Produkt der 4 Zahlen ist 12.
1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4=24>12 \Rightarrow Für das Ereignis C gibt es 0 Möglichkeiten (unmögliches Ereignis).
Damit ist P(D)=0\, die Wahrscheinlichkeit dafür, 4 Zahlen zu ziehen, deren Produkt 12 ist.
Stichprobenart: Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen (oder Ziehen mit einem Griff) (Anzahl der Möglichkeiten {n \choose k})


Lösung Aufgabe 4

Information icon.svg Lösung 4
Die Anzahl der Möglichkeiten 4 Personen auf 4 Plätze zu verteilen ist 4! = 24
Das ist die Anzahl aller Möglichkeiten.


A: Sven sitzt zwischen zwei Freunden.
Er hat zwei Möglichkeiten: xSxx oder xxSx (Platz 2 oder Platz 3)
Die drei Freunde haben 3! Möglichkeiten.
Die Anzahl der Möglichkeiten für A ist: 2 \cdot 3!=12
Damit ist P(A)=\frac {12} {24}=\frac {1} {2}= 0,5 die Wahrscheinlichkeit dafür, das Sven zwischen zwei Freunden sitzt.


B: Sven und Kai sitzen außen.
SxxK oder KxxS Sven und kai haben 2 Möglichkeiten, die beiden Freunde ebenfalls.
Die Anzahl der Möglichkeiten für B ist: 2 \cdot 2=4
Damit ist P(B)=\frac {4} {24}=\frac {1} {6}= 0,1 \bar6 die Wahrscheinlichkeit dafür, das Sven und Kai außen sitzen.


C: Sven und Kai sitzen nebeneinander.
SKxx KSxx xSKx xKSx xxSK xxKS das sind 6 Möglichkeiten.
Für die beiden anderen gibt es 2 Möglichkeiten.
Die Anzahl der Möglichkeiten für C ist: 6 \cdot 2=12
Damit ist P(C)=\frac {12} {24}=\frac {1} {2}= 0,5 die Wahrscheinlichkeit dafür, das Sven und Kai nebeneinander sitzen.
Anordnung von k Elementen k!


Weblinks

Weitere Aufgaben

Siehe auch