Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit

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Aufgabe 1

Die Tabelle zeigt Frauen und Männer einer Firma, unterteilt nach Rauchern und Nichtrauchern.

	$B\,$ Frauen	$\bar B$ Männer	Summe
$A\,$ Raucher	$200\,$	$800 \,$	$1000\,$
$\bar A$ Nichtraucher	$300\,$	$200\,$	$500\,$
Summe	$500\,$	$1000\,$	$1500\,$

Sie gehen durch die Firma und treffen zufällig auf eine Person.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen Raucher anzutreffen?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Frau anzutreffen?

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Raucherin anzutreffen?

d) Sie Treffen eine Frau an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie Raucherin?

e) Überprüfen Sie, ob die Ereignisse A und B voneinander abhängig sind.

Lösung zu Aufgabe 1

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Berechnung der relativen Häufigkeiten:

	$B\,$ Frauen	$\bar B$ Männer	Summe
$A\,$ Raucher	$\frac {200} {1500}=\frac {2} {15}$	$\frac {800} {1500}=\frac {8} {15}$	$\frac {1000} {1500}=\frac {10} {15}=\frac {2} {3}$
$\bar A$ Nichtraucher	$\frac {300} {1500}=\frac {3} {15}$	$\frac {200} {1500}=\frac {2} {15}$	$\frac {500} {1500}=\frac {5} {15}=\frac {1} {3}$
Summe	$\frac {500} {1500}=\frac {5} {15}$	$\frac {1000} {1500}=\frac {10} {15}$	$\frac {1500} {1500}=\frac {15} {15}=1$

Bemerkung:

Um Rundungsfehler möglichst gering zu halten, wird mit Brüchen gerechnet.

zu a) Die Wahrscheinlichkeit, einen Raucher anzutreffen, ist $P(A)=\frac {2} {3}= 0{,}\bar 6$

zu b) Die Wahrscheinlichkeit, eine Frau anzutreffen, ist $P(B)=\frac {5} {15}=\frac {1} {3}= 0{,}\bar 3$

zu c) Die Wahrscheinlichkeit, eine Raucherin anzutreffen, ist $P(A \cap B)=\frac {2} {15}= 0{,}1\bar 3$

zu d) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine von Ihnen angetroffene Frau zu den Rauchern gehört, ist $P_B(A)=\frac {P(A \cap B)} {P(B)}=\frac {2} {15}:\frac {5} {15}=\frac {2} {5}= 0{,}4$

zu e) A und B sind voneinander unabhängig, wenn gilt: $P_A(B)=P(B)\,$

$P_A(B)=\frac {P(A \cap B)} {P(A)}=\frac {2} {15}:\frac {2} {3}=\frac {1} {5}\not = \frac{1} {3}=P(B)\Rightarrow$ A und B sind voneinander abhängig.

Weitere Aufgaben

• Aufgaben Stochastik AB V - Bedingte Wahrscheinlichkeit (Rudolf Brinkmann)

Siehe auch

• Bedingte Wahrscheinlichkeit