Aufgaben zur Teilbarkeit

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche

Aufgaben zur Wiederholung

Aufgabe 1:
Versuchen Sie sich die Regeln für die Teilbarkeit durch 2,3,4,5,6,8,9,10,11 in Erinnerung zu rufen. Können Sie die Regeln auch begründen?

Aufgabe 2:
Wie erkennt man eine Primzahl am Hassediagramm? Gibt es Zahlen, deren Hassediagramm nur aus einer Kette besteht?

Aufgabe 3:
Die Summe von drei aufeinander folgenden Zahlen (z.B. 15+16+17=48) ist immer durch eine bestimmte kleine Zahl teilbar. Beweisen Sie! Was ist, wenn man drei aufeinander folgende gerade Zahlen addiert? Was, wenn man vier aufeinander folgende Zahlen addiert? Bei fünf? Bei sieben? Bei 23? Was ist, wenn man drei aufeinander folgende Zahlen multipliziert?

Aufgabe 4:
Überprüfen Sie, ob der Term n²+n+41 für n=1, 2, 3, 4, 5,... Primzahlen liefert. Allerdings gilt das leider nicht für alle n. Für welche Zahl n erhält man eine zusammengesetzte Zahl?

Aufgabe 5:
Beweisen Sie, dass die Summe von Primzahlzwillingen durch 12 teilbar ist.

Aufgabe 6:
Zwei Zahlen heißen teilerfremd, wenn die größte Zahl, die beide teilt, 1 ist. Wie lässt sich Teilerfremdheit anhand der Primfaktorzerlungen der Zahlen erkennen? Geben Sie nach Möglichkeit eine Äquivalenz an: a, b sind teilerfremd genau dann, wenn....

Aufgabe 7:
Es seien p_1, p_2,..., p_n die ersten n ungeraden Primzahlen. Welche Aussagen sind wahr?

Die Zahl p_1 \cdot p_2 \cdot...\cdot p_n +1 ist prim.
Die Zahl p_1\cdot p_2\cdot... \cdot p_n +2 hat einen von allen p_1, p_2,..., p_n verschiedenen Primteiler.
Die Zahl p_1\cdot p_2 \cdot...\cdot p_n +1 hat einen von allen p_1, p_2,..., p_n verschiedenen Primteiler.
Die Zahl p_1\cdot p_2 \cdot ...\cdot p_n -1 hat einen von allen p_1, p_2,..., p_n verschiedenen Primteiler.

Aufgabe 8:
Die Fakultät von n ist die Zahl n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot...\cdot n.
Begründen Sie die folgenden Aussagen:
• n! ist keine Primzahl, außer für n=2
• n!+2 ist keine Primzahl, falls 2\len
• n!+3 ist keine Primzahl, falls 3\len
• n!+k ist keine Primzahl, wenn k \le n.

Aufgabe 9:
Auf wie viele Nullen endet 100! ?

Aufgabe 10:
Begründen Sie ohne die Produkte auszumultiplizieren, welche der folgenden Produkte verschiedene Ergebnisse liefern:
a) 4 • 9 • 74 • 20 • 25
b) 6 • 17 • 4 • 5 • 25
c) 8 • 22 • 24 • 30
d) 8 • 12 • 26 • 15

Aufgabe 11:
Beschreiben Sie alle natürlichen Zahlen mit
a)genau 7 Teilern
b)genau 8 Teilern
c)genau 6 Teilern
d)genau 6 Teilern und genau 3 Primzahlen in der Primfaktorzerlegung

Aufgabe 12:
Begründen Sie, dass für zwei Primzahlen p und q mit q > 2 niemals p = q+3 gilt.