Lösung

Aufgabe 1

Stelle zunächst wie im vorherigen Beispiel ein lineares Gleichungssystem, das aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten besteht, auf. Diesmal ist es sogar etwas einfacher, da der x-Wert von $P=(0/1-a)\ 0$ ist. Wenn man diesen Punkt einsetzt, hat man schon den y-Abschnitt der Geradenschar in Abhängigkeit von $a\$:
$(1)1-a=t\$
Die zweite Gleichung ist auch nicht viel schwerer, da diesmal der Funktionswert von$Q=(a/0)\ 0$. ist:
$(2)0=a\cdot m+t$
Nun muss man nur noch das $t\$ aus Gleichung(1) in Gleichung(2) einsetzten und nach $m\$ auflösen. Es ergibt sich:
$m=\frac{a-1}{a}$ Jetzt muss man nur noch wie im Beispiel $m\$ und $t\$ in die allgemeine Geradengleichung $y=mx+t\$ einsetzen und erhält:
$g_a(x)=\frac{a-1}{a}x+1-a$
So das wars. War ja hoffentlich noch nicht so schwer. Du kannst jetzt mit Aufgabe 2 weitermachen.

Aufgabe 2

Wie ich bereits erwähnte, ist es sinnvoll die Geradenschar etwas umzustellen, damit man sie leichter ableiten kann. Hier sind meine 2 Vorschläge:

entweder: $g_x(a)=\frac{xa-x}{a}-a+1$ Jetzt kann man nämlich ohne größere Probleme die Produktregel anwenden: $g_x'(a)=\frac{xa-(xa-x)\cdot 1}{a^2}-1$ oder vereinfacht: $g_x'(a)=\frac{x}{a^2}-1$

oder: $g_x(a)=(1-\frac{1}{a})x+1-a$ $g_x(a)=-a-\frac{x}{a}+1+x$ und nun braucht man nicht einmal die Quotientenregel. Man kann einfach ableiten: $g_x'(a)=-1+\frac{x}{a^2}$

So, das schwierigste ist übestanden. Wenn du das geschafft hast, müsstest du den Rest auch schaffen können. Mach am besten gleich mit Aufgabe 3 weiter.

Aufgabe 3

Du musst die Ableitung nach $a\$ gleich $0\$ setzen, um den Scharparameter in Abhängigkeit von $x\$ zu bestimmten, für den der Funktionswert $g_a(x)\$ jeweils maximal oder minimal wird. Das sollte dann so aussehen:
$\frac{x}{a^2}-1=0$
$a^2=x\$
$a_{1/2}=\pm \sqrt{x}$
Die negative Lösung scheidet aus, da für a nur positive Werte zugelassen sind. Es kommt also nur $\sqrt{x}$ in Frage.
Jetzt musst du nur noch die zweite Ableitung bestimmen. Dies geht am einfachsten so:
$g_x''(a)=\frac{-2x}{a^3}$
Nun wird der ermittelte Scharparameter in die zweite Ableitung eingesetzt: $g_x''(\sqrt{x})=\frac{-2x}{\sqrt{x}^3}$
Hier kann man leicht erkennen, dass die zweite Ableitung für $\sqrt{x}$ negativ ist, da die Wurzel positiv sein muss.
So das ging ja schnell, jetzt kannst du mit Aufgabe 4 weitermachen.

Aufgabe 4

Auch das sollte nun keine großen Probleme darstellen. Einfach einsetzen:
$g_{\sqrt{x}}(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\cdot x+1-\sqrt{x}=g(x)$
Und danach noch etwas zusammenfassen:
$g(x)=\frac{x-\sqrt{x}}{x}\cdot x+1-\sqrt{x}$
$g(x)=x-2\sqrt{x}+1$
So fertig, dies ist also die Gleichung der Hüllkurve durch die Punkte $P=(0/1-a)\$ und $Q=(a/0)\$. Du hast es geschafft. Die eigentliche Arbeit ist getan. Jetzt sollst du in Aufgabe 5 nur noch diese Hüllkurve diskutieren.

Aufgabe 5

Nullstelle

Die Nullstelle sollte eigentlich recht einfach zu bestimmen sein. Man setzt einfach die oben errechnete Hüllkurve gleich 0: $x-2\sqrt{x}+1=0$ Doch was soll man nun machen. Man hat eine Wurzel und kann deswegen nicht einfach die Gleichung lösen, aber man kann ja immer noch so substituiern (=ersetzen), dass man eine quadratische Gleichung erhält:
$\mathbf{Substitution:}\sqrt{x}=z$
$z^2-2z+1=0\$
Und diese Gleichung kann man jetzt nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen lösen oder man erkennt, dass man hier die 2.Binomische Formel anwenden kann:

Lösungsformel: $z_{1/2}=\frac{2\pm\sqrt{4-4}}{2}=1$

Binomische Formel: $z^2-2z+1=(z-1)^2\$

Aus beiden Lösungswegen kann man erkennen, dass die Lösung der quadratischen Gleichung $z=1\$ ist.
Aber wir müssen ja noch resubstituieren:
$\sqrt{x}=1\rightarrow x=1\rightarrow N(1/0)$

Definitionsbereich

Da in der Gleichung der Hüllkurve eine Wurzel vorkommt, muss der Definitionsbereich auf positive $x-Werte\$ eingeschränkt werden, weil Wurzeln für negative $x-Werte\$ nicht definiert sind. Man hat also folgende Definitionsmenge: $|D=]0;\infty[$

y-Abschnitt

Nun zur Abwechslung mal was leichteres. Einfach den Funktionswert an der Stelle $0$ berechnen:
$f(0)=1\rightarrow S(0/1)$
So und das war es schon.
Nun geht es mit dem Monotonieverhalten weiter.

Monotonie und Extremwerte

Da man für die Monotonie die erste Ableitung braucht, muss man zunächst erstmal diese bestimmen:
$g'(x)=1-\frac{1}{\sqrt{x}}$
Nun muss man schauen in welchen Intervallen die Ableitung positiv und somit die Funktion streng monoton steigend bzw. negativ und somit streng monoton fallend ist:

streng monoton steigend: $1-\frac{1}{\sqrt{x}}>0$ etwas umgestellt ergibt sich: $\sqrt{x}>1\Rightarrow f\ddot ur\ x>1\ streng\ monoton\ steigend$

streng monoton fallend: $1-\frac{1}{\sqrt{x}}<0$ wieder etwas umstellen: $\sqrt{x}<1\Rightarrow f\ddot ur\ x<1\ streng\ monoton\ fallend$

$\Longrightarrow$ in $N(1/0)\$ hat die Funktion ein rel. Minimum, weil die Funktion links davon fällt und rechts davon steigt.

Wertebereich

Um den Wertebereich zu ermitteln, muss man noch das Verhalten der Funktion bei Annäherung an die Definitionslücken bestimmen, also zum einen den Grenwert gegen $0\$, zum anderen den Grenzwert gegen unendlich:
$\lim_{x \to 0} x-2\sqrt{x}+1=1$
$\lim_{x \to \infty} x-2\sqrt{x}+1=\infty$
Wegen des eben schon festgestellten Monotonieverhaltens, weiß man, dass der Funktionswert im relativen und absoluten Minimum in $1\$ bis zur $0\$ abfällt und anschließend gegen unendlich steigt. Daher hat die Funktion folgende Wertemenge:
$|W=[0;\infty [=|R$

Krümmungsverhalten und Wendepunkt

Zunächst braucht man hierfür die zweite Ableitung. Dies ist diesmal jedoch relativ einfach, da man keine besonderen Regeln anwenden muss:
$g'(x)=1-x^{-\frac{1}{2}}$
$g''(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$
Im gesamten Definitionsbereich ist der Funktionswert der zweiten Ableitung positiv. Somit ist die Hüllkurve im gesamten Definitionsbereich linksgekrümmt. Es gibt also keinen Wendepunkt. Diese Merkmale kannst du dir auch noch einmal im Applet anschauen. Du wirst feststellen, dass man alle Merkmale, die wir soeben nachgewiesen haben, auch in der Zeichnung vorkommen.