Flächeninhalt zwischen Grafen

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Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph Gf der Funktion f und der Graph Gg der Funktion g einschließt (Schaubild nicht vergessen)

1.Zusatzaufgabe: Wie man Philipp's Bild entnimmt, wird die eingechlossene Fläche von der x-Achse geschnitten... Das könnte den Verdacht aufkommen lassen, dass das Integral u.U einen zu kleinen Wert für die Fläche liefert (Abzug von negativen Anteilen); zeigen Sie mit der "Methode von Julia" dass dem nicht so ist.

2.Zusatzaufgabe: Kennzeichnen Sie in Philipp's Bild positve und negative Anteile (neue Grafik!; vgl. Unterricht) und berechnenen Sie diese; bestätigen Sie damit Philipp's Ergebnis.

f(x)=-\frac{1}{x^2} +2 und g(x)=2,5x-3,25

. Lösungsvorschlag von:--Philipp95 13:40, 11. Okt. 2013 (CEST)

Philipp95 Bildschirmfoto 2013-10-13 um 19.19.24.png


-\frac{1}{x^2}+2=2,5x-3,25 \rightarrow 0=2,5x^3-5,25x^2+1  |:2,5


\begin{matrix} (x^3-2,1x^2+0,4) : (x &  -0,5) = & x^2-1,6x-0,8\\
\underline{-(x^3}  & \underline{-0,5x^2)} \\
0 & {-1,6x^2}  & {+0,4} \\
& \underline{-(-1.6x^2} & \underline{+0,8x)} \\
& 0 & -0,8x & +0,4 \\
& & \underline{-(-0,8x}  & \underline{+0,4)} \\
& & & 0 \\
\end{matrix}

NS:x_1=0,5, x_2=2, x_3=-0,4


Schnittstellen: x_1=0,5 und x_2=2

\int_{0,5}^{2} [f(x)-g(x)]\,dx = \int_{0,5}^{2} (-\frac{1}{x^2}+2)-(2,5x-3,25) \,dx = \int_{0,5}^{2} (-\frac{1}{x^2}-2,5x+5,25) \,dx = \left[ \frac{1}{x}-1,25x^2+5,25\right] _{0,5}  ^2

=(\frac{1}{2}-5+10,5)-(2-\frac{5}{16}+\frac{21}{8}) = 6-\frac{69}{16} = \frac{27}{16}\approx1,69

A:Die Fläche ist 1,69


. Lösungsvorschlag für die Zusatzaufgabe 1 von:--Marius95 18:06, 14. Okt. 2013 (CEST)

Nach der "Methode von Julia" verschiebt man die Graphen um einen bestimmten y-Wert d, bis beide im Intervall \left[ 0,5; 2 \right] vollständig oberhalb der x-Achse liegen. In unserem Fall findet eine Verschiebung in y-Richtung von 2 statt (d=+2).

Marius95 Verschoben um 2.jpg

f(x) =-\frac{1}{x^{2}}+4

g(x) =2,5x-1,25

Nun können wir den Flächeninhalt A_{2} ausrechnen.

\int_{0,5}^{2} [f(x)-g(x)]\,dx = \int_{0,5}^{2}\left( -\frac{1}{x^{2}} + 4-2,5x+1,25\right)=\int_{0,5}^{2} (-\frac{1}{x^{2} }-2,5x+5,25) \,dx= \left[\frac{1}{x}-\frac{5}{4}x^{2} +5,25x\right] _{0,5}  ^2=\left(\frac{1}{2}-5+10,5\right)-\left(2-\frac{5}{16}+\frac{21}{8}\right)=6-4,3125\approx 1,69

Das Ergebnis für die Fläche A_{2} ist gleich mit der Fläche A_{1} , da sich bei der Verschiebung der Flächeninhalt nicht ändert:

A_{1}=A_{2}=\int_{0,5}^{2} g(x) + 2 \,dx-\int_{0,5}^{2} f (x)+2\,dx =\int_{0,5}^{2} (f (x)+2-g(x)-2)\,dx=\int_{0,5}^{2} (f (x)-g(x))\,dx

Somit liefert der Abzug von "negativen Anteilen" keinen zu kleinen Wert für die Fläche.


. Lösungsvorschlag von:____