Einführung in die Differenzialrechnung SMG

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Der folgende Lernpfad ist mit freundlicher Unterstützung und Genehmigung unseres ehem. Kollegen Dr. Roland Weber erstellt worden. Einige Links verweisen auf sein Material.

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Lernpfad

Im Mathematikunterricht der Mittelstufe wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist deren Änderungsverhalten, von welchem im Unterricht schon eine grobe Vorstellung geschaffen wurde. Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik. Im folgenden Lernpfad lernen Sie die grundlegenden Begriffe der Differentialrechnung wie mittlere und momentane Änderungsrate, Steigung, Sekante, Tangente, Differenzenquotient, Differentialquotient und Ableitung kennen.

Zur erfolgreichen Bearbeitung sollten Sie vertraut mit der Theorie der linearen Funktionen sein. Sie sollten insbesondere wissen, was die Steigung einer linearen Funktion ist und wie man sie bestimmt. Falls Sie bei diesem Thema noch etwas unsicher sind, können Sie hier die Theorie zu linearen Funktionen noch einmal nacharbeiten.

Nuvola Icon Kate.png Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Definitionen, Merksätze und Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe (Inhalt der Mappe) nachvollziehbar aufschreiben.


Inhaltsverzeichnis

Verständnis

In Anlehnung an die im Unterricht bearbeiteten Inhalte sollen nun einige Aufgaben zum bisherigen Verständnis folgen:

  Stift.gif   Aufgabe 1
  • Seite 13/4, Seite 14/6, Seite 15/8, Seite 16/11 (Neue Wege Mathematik, Analysis, Schroedel-Verlag 2010, ISBN 978-3-507-85581-6)


Farm-Fresh plenumPlenumsphase


Vorwissenstest

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Vor der Bearbeitung der weiteren Aufgaben sollten Sie in einem kurzen Vorwissenstest überprüfen, ob Sie mit für die weitere Arbeit benötigten Rechnungen vertraut genug sind.


Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate

In diesem Abschnitt soll die erste Einstiegsaufgabe, die Sie im Unterricht bearbeitet haben, vertieft werden. Sie üben, mittlere Änderungsraten zu bestimmen und damit momentane Änderungsraten anzunähern.



Blumenvase

VaseFuellvorgang.jpg

Unterschiedliche Gefäßformen lassen sich durch ihren Füllgraphen beschreiben. Dieser ergibt sich, wenn in ein Gefäß eine Flüssigkeit mit gleichmäßigem Zufluss einfließt. Die entstehende Zuordnung Zeit(t) -> Höhe(h) kann in ein Koordinatensystem übertragen werden und stellt die Zunahme des Wasserspiegels in Abhängigkeit von der Zeit dar. In der Einstiegsaufgabe haben Sie in unterschiedlichen Gefäßen gleichmäßig Wasser eingelassen (zumindest in Gedanken) und die Höhe des Wasserstandes untersucht. Betrachten wir nun die hier abgebildete Vase, in die ebenfalls gleichmäßig Wasser eingelassen wird. Die Tabelle stellt dar, wie sich die Wasserhöhe (hier gemessen vom Tischboden) in der Vase beim Einfüllvorgang im Zeitverlauf verändert. Es wurde alle drei Sekunden die Höhe des Wasserstandes gemessen.

Zeit (Sekunden) Höhe (cm)
0 0,51
3 1,33
6 2,74
9 4,91
12 8,00
15 12,17
18 17,58



Mittlere Änderungsrate

Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.

Bsp.
In den drei Sekunden zwischen Sekunde 6 und 9 steigt das Wasser um 4,91 cm - 2,74 cm = 2,17 cm. Daher nimmt das Wasser pro Sekunde um 2,17 cm : 3 s = 0,72 cm/s zu. Die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 6 und Sekunde 9 beträgt daher 0,72 cm pro Sekunde (abgekürzte Schreibweise: 0,72 cm/s)

  Stift.gif   Aufgabe 2

Berechnen Sie anhand der obigen Tabelle und mit dem Taschenrechner die mittlere Änderungsrate in den angegebenen Zeitabschnitten:
a) in den ersten drei Sekunden
b) zwischen Sekunde 3 und 6
c) zwischen Sekunde 12 und 15
d) zwischen Sekunde 3 und 12
e) in den ersten 18 Sekunden





Momentane Änderungsrate


Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der momentanen Änderungsrate. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmen kann, erfahren Sie in der folgenden Aufgabe.


  Stift.gif   Aufgabe 3

Um näherungsweise die momentane Änderungsrate für den Zeitpunkt t0 = 12 Sekunden zu erhalten, bestimmen Sie mit Hilfe der Schieberegler des Applets und mit Hilfe des Taschenrechners die mittlere Änderungsrate im Zeitintervall von ...
a) ... t0 = 12 Sekunden und t1 = 13 Sekunden
b) ... t0 = 12 Sekunden und t1 = 12,5 Sekunden
c) ... t0= 12 Sekunden und t1= 12,1 Sekunden
d) ... t0 = 12 Sekunden und t1 = 12,05 Sekunden
e) Schätzen Sie aufgrund der Ergebnisse aus a) - d), welches Ergebnis für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 Ihnen plausibel erscheint.



Wenn der Wasserstand als Funktion von der Zeit mit einer Funktionsvorschrift gegeben ist, kann man die mittleren Änderungsraten auch rechnerisch bestimmen.

  Stift.gif   Aufgabe 4

Die Höhe des Wasserstandes der bisher betrachteten Vase kann mit der Funktion w(t)=0,001(t+8)3 beschrieben werden. Hierbei gibt w(t) die Höhe des Wasserstandes in cm zu einem Zeitpunkt t (in Sekunden) an.
a) Bestimmen Sie den Näherungswert für die momentane Änderungsrate noch genauer, indem Sie mit Hilfe der Funktionsvorschrift die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 12 bis 12,001 bestimmen.
b) Beschreiben Sie, wie Sie vorgehen müssten, um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 zu erhalten.




Eine Anschauliche Darstellung der Annäherung von x1 an x0 finden Sie [| hier]


  Stift.gif   Aufgabe 5

Ein Schienenfahrzeug bewegt sich nach dem Weg-Zeit-Gesetz s(t)=0,9t^2.
a) Bestimmen Sie den Weg den das Fahrzeug in den ersten drei Sekunden zurücklegt.
b) Bestimmen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Fahrzeugs in den ersten 3 Sekunden.
c) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit in der Zehntelsekunde, die auf die ersten drei Sekunden folgt. Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus b).



  Stift.gif   Aufgabe 6

Ein Körper bewegt sich so, dass er in der Zeit t den Weg s(t)=4t^2 (s in m, t in s) zurücklegt.
a) Bestimmen Sie näherungsweise die momentane Änderungsrate von s(t) zu den Zeiten t_0=1s und t_0=5s.
b) Welche Bedeutung hat die momentane Änderungsrate von s(t)?




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Von der Sekanten- zur Tangentensteigung

In diesem Abschnitt lernen und üben Sie Sekantensteigungen und Tangentensteigungen zu bestimmen.

Der Barringer-Krater

Die Idee zu dieser Aufgabe entstammt dem Schulbuch Lambacher-Schweizer, Analysis Leistungskurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett Verlag, Stuttgart 2001, ISBN 3127321805.

Barrington-Krater

In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater. Der Krater hat einen Durchmesser von bis zu 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An einer sehr flachen Stelle kann der Teilquerschnitt des Kraters bis zum Rand durch die Funktion k(x)=0,002x^2 für 0 \leq x \leq 300 beschrieben werden.

LP Krater.png


  Stift.gif   Aufgabe 7

Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bis zu 115% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?


Arbeitsblatt zum Barringer Krater






Um entscheiden zu können, ob das Raumfahrzeug aus dem Krater kommt, benötigen wir die Steigung des Kraters am Rand des Kraters.
Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen zwei Punkten A\left( x_0 | k(x_0) \right) und B\left( x_1 | k(x_1) \right) kann mit  m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0} berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht.


Maehnrot.jpg
Merke:

Eine solche Gerade, die den Graphen einer Funktion k(x) in zwei Punkten A\left( x_0 | k(x_0) \right) und B\left( x_1 | k(x_1) \right) schneidet, nennt man Sekante.

 m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0} ist dann die Sekantensteigung.



  Stift.gif   Aufgabe 8

Überlegen Sie, wo in der Zeichnung folgende Größen zu finden sind: x_1-x_0 und k(x_1)-k(x_0)

Achtung: Nicht auf den Monitor malen;-)


  Stift.gif   Aufgabe 9

Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(300|180) und B(400|320), wenn man sich das Kraterprofil über den Wert x0 hinaus fortgesetzt denkt.




Information
Eine Sekante schneidet den Graphen in zwei Punkten. Wenn nun der Punkt B immer weiter dem Punkt A angenähert wird und bei diesem Prozess letztendlich der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, so berührt die Gerade (lokal) den Graphen nur noch in einem Punkt, dem sogenannten Berührpunkt. Diese Gerade nennt man nun nicht mehr Sekante (da es keine zwei Schnittpunkte mehr gibt), sondern Tangente an den Graphen der Funktion k im Punkt A. Die Steigung der Tangenten gibt die Steigung des Graphen der Funktion im Berührpunkt an. Wenn die Steigung der Tangenten positiv ist, steigt der Graph, wenn sie negativ ist, bedeutet dies, dass der Graph in diesem Punkt fällt.


Um also nun zu entscheiden, ob das Fahrzeug aus dem Krater heraus kommt, muss ein genauer Wert für die Steigung der Tangenten an den Graphen im Punkt A betrachtet werden. Wenn die Steigung des Kraters im Punkt A(300|180) kleiner als 1,15 ist, kann das Raumfahrzeug den Krater verlassen.
In der Graphik der Lösung der Aufgabe 8 kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.

  Stift.gif   Aufgabe 10

Vollziehen Sie den beschriebenen Übergang von der Sekante zur Tangente im obigen Applet nach.

Berechnen Sie die Steigungen verschiedener Sekanten mit Hilfe der Werte, die Sie für \Delta x und \Delta y aus dem Applet entnehmen können.

Was können Sie nun über die Steigung im Punkt A sagen? Was bedeutet das für das Fahrzeug?





Die weiteren Betrachtungen führen wir nun etwas allgemeiner auch für andere Funktionen durch, bevor wir die Steigung im Punkt A des Kraters tatsächlich berechnen. (Aufgabe 20)



Verallgemeinerung

Die Überlegungen, die wir für die Kraterfunktion angestellt haben, kann man auch für andere Funktionen durchführen.

  Stift.gif   Aufgabe 11

Auf dem Arbeitsblatt, das am Pult liegt, ist der Graph der Funktion f mit  f(x)=x^2 gezeichnet.
a) Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte A(1|f(1)) und B(2|f(2)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
b) Zeichnen Sie ebenso die Sekante durch die Punkte A(1|f(1)) und C(1,5|f(1,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
c) Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Graphen im Punkt A(1|1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung.

Bei Bedarf: Materialien zum Wiederholen der Bestimmung von Steigungen




  Stift.gif   Aufgabe 12

Wir betrachten weiterhin die Funktion f mit f(x)=x^2.
a) Bestimmen Sie rechnerisch für die Werte x_0=1 und x_1=2 mit Hilfe der Formel m=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} die Steigung der Sekante durch die Punkte A(1|f(1)) und B(2|f(2)). Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
b) Näheren Sie nun die Steigung der Tangenten im Punkt A(1|1) an den Graphen besser an, indem Sie für x1 einen Wert wählen, der näher an x0 liegt. Vergleichen Sie mit Ihrem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
c) Überlegen Sie, wie man einen möglichst genauen Wert für die Steigung der Tangenten erhalten kann.




  Stift.gif   Aufgabe 13

a) Zeichnen Sie Tangenten an den Graphen der Funktion f mit f(x)=x^2 in Punkten A(3| 9) und B(-2| 4) und bestimmen Sie aus der Zeichnung die Steigungen dieser Geraden.
b) Bestimmen Sie wie in Aufgabe 11 Näherungswerte für die Steigungen der Tangenten an den Graphen der Funktion f mit f(x)=x^2 in Punkten A(3| 9) und B(-2| 4) und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil a.
c) Zeichnen Sie Tangenten an den Graphen der Funktion f mit f(x)=\frac{1}{x} in Punkten A(1| f(1)) und B(-0,5| f(-0,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung die Steigungen dieser Geraden.
d) Bestimmen Sie wie in Aufgabe 11 Näherungswerte für die Steigungen der Tangenten an den Graphen der Funktion f mit f(x)=\frac{1}{x} in Punkten A(1| f(1)) und B(-0,5| f(-0,5)) und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil a.



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Der Differenzenquotient

Die bisher berechnete mittlere Steigung oder Sekantensteigung hat einen mathematischen Namen, der sich aus ihrer Darstellung als Bruch ergibt:

Maehnrot.jpg
Merke:

 \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} nennt man Differenzenquotient.


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Der Differentialquotient

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Differentialquotient f'(x0 ) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten:

Differentialquotient  f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

Der Differentialquotient f'(x0) wird auch als Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 bezeichnet.


Der Differentialquotient f'(x0 )

  • beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x0 und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x0 und x1 den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 annnährt,
  • beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x0|f(x0)) und entsteht, wenn man im Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) den Punkt B(x1|f(x1)) immer mehr dem Punkt A(x0|f(x0)) annähert.


Im Applet können Sie den Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten nachvollziehen.

Nuvola apps kwrite.png   Übertragen Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer geeigneten Skizze in Ihr Heft (Mappe).


  Stift.gif   Aufgabe 14

Verschieben Sie im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten Sie den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen in Ihrem Heft.



  Stift.gif   Aufgabe 15

Bearbeiten Sie die Aufgaben im Buch S. 23 Nr. 8 und 9, sowie S. 24 Nr. 10 (Neue Wege Mathematik, Analysis, Schroedel-Verlag 2010, ISBN 978-3-507-85581-6)



Die h-Schreibweise

Da sich dadurch einige Rechungen später einfacher gestalten lassen, betrachten wir in diesem Abschnitt noch eine andere Schreibweise für den Differenzenquotienten und den Differentialquotienten.



Die h-Schreibweise des Differenzenquotienten und des Differentialquotienten

Anstatt beim Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten x1 immer mehr x0 anzunähern, kann man auch die Differenz h=\Delta x=x_1-x_0 klein werden lassen. Es ist dann  x_1=x_0+h.


  Stift.gif   Aufgabe 16

a) Überlegen Sie, wo in der folgenden Zeichnung die Größen h, x_0+h, f(x_0+h), f(x_0+h)-f(x_0) zu finden sind.
b) Geben Sie eine Formel für die Sekantensteigung für eine Funktion f an, wenn die Sekante durch den Punkt A(x0| f(x0)) und den Punkt B(x0+h| f(x0+h)) gehen soll.
c) Welches rechnerische Problem ergibt sich, wenn man in dieser Formel einfach h= 0 setzen würde.




  Stift.gif   Aufgabe 17

Gegeben ist wieder die Funktion f mit  f(x)=x^2.

Berechnen Sie für h = 0,1 (h= 0,01 und h = 0,001) die Steigung der Sekanten für x_0= 1 und x_1= 1+h . (Sie können hierzu die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners verwenden; schreiben Sie dazu h=0,1^n mit n gleich 0, 1, 2, 3,...)

Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1|1). Vergleichen Sie mit den Ergebnissen aus den Aufgaben 11 und 12.



  Stift.gif   Aufgabe 18

Ersetzen Sie in der Definition des Differentialquotienten den Wert x1 durch x0+h.



Die Berechnung von Ableitungen

Mit Hilfe dieser h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x0) einer Funktion f an einer Stelle x0 berechnen.

  Stift.gif   Aufgabe 19

Bearbeiten Sie nun folgende Aufgaben. Schreiben Sie die Rechnungen auch in Ihr Heft.

Hier die Applets zu den Übungen



Farm-Fresh plenum Beispielaufgabe:
Betrachtet wird die Funktion k(x)=0,002x^2 (die in der Einstiegsaufgabe die Höhes des Kraters beschreibt).

  • Die Ableitung an der Stelle x=100 wird wie folgt berechnet:
  • Ganz analog lässt sich die Ableitung auch für eine beliebige Stelle x=x0 bestimmen:


  Stift.gif   Aufgabe 20
  1. Berechnen Sie nun mit HIlfe der h-Methode die tatsächliche Steigung im Punkt A des Kraters.
  2. Bestimmen Sie mit Hilfe des Applets, wie weit das Fahrzeug im Barringer-Krater kommt.
  3. Berechnen Sie mit Hilfe der Ableitungsfunktion, wie weit das Fahrzeug kommt.


  Stift.gif   Aufgabe

Nuvola apps kcmdrkonqi.png Übung für Fortgeschrittene 

Bestimmen Sie wie in der Beispielaufgabe die Ableitung für die die Funktion w(t)=0,001(t+8)^3 (die in der Einstiegsaufgabe die Wasserhöhe in der Vase beschreibt) zum Zeitpunkt t=5s und für einen bliebigen Zeitpunkt t=t0.


  Stift.gif   Aufgabe 21
  1. Variieren Sie die Stelle x0 im Applet und beschreiben Sie die Bedeutung der sich ergebenden Ortslinie.
  2. Treffen Sie sich mit einem weiteren Lernteam und vergleichen Sie Ihre Lösungen.




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Die Ableitungsfunktion

Man kann nun zu jedem x-Wert den Differentialquotienten f'(x) bestimmen.

Ordnet man jedem x -Wert den zugehörigen Wert der Ableitung f'(x) zu, so erhält man eine neue Funktion, die Ableitungsfunktion f' .


  Stift.gif   Aufgabe 22

a) Auf dem ausliegenden Arbeitsblatt ist der Graph der Funktion f mit f(x)=x2 gegeben. Zeichnen Sie an mehreren Stellen die Tangenten an den Graphen der Funktion und bestimmen Sie deren Steigungen. Legen Sie nun eine Tabelle an, in der Sie die x-Werte und die zugehörigen Werte der Tangentensteigung eintragen. Die Werte dieser Tabellen übertragen Sie in ein neues Koordinatensystem; dies ist der Graph der Ableitungsfunktion. Stellen Sie eine Vermutung für die Funktionsvorschrift der Ableitungsfunktion auf.
b) Auf der zweiten Seite des ausliegenden Arbeitsblatt ist der Graph der Funktion f mit f(x)=x3 gegeben. Zeichnen Sie an mehreren Stellen die Tangenten an den Graphen der Funktion und bestimmen Sie deren Steigungen. Zeichnen Sie nun in einem neuen Koordinatensystem den Graphen der Ableitungsfunktion. Stellen Sie eine Vermutung für die Funktionsvorschrift der Ableitungsfunktion auf.
c) Nuvola apps ksirc.png   Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit einer anderen Gruppe.


Maehnrot.jpg
Merke:

Die Berechnung des Grenzwertes des Differenzenquotienten für eine bestimmte Stelle x0 ergibt die Ableitung an dieser Stelle. Wird diese Berechnung für eine allgemeine Stelle x durchgeführt, so erhält man die Funktion f´(x), die jeder Stelle x die Ableitung an der Stelle zuordnet – die sogenannte Ableitungsfunktion.
Mithilfe der Ableitungsfunktion lässt sich die Steigung des Graphen an jeder beliebigen Stelle bzw. die Änderungsrate zu jedem beliebigen Zeitpunkt schnell berechnen.



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Zum Abschluss

Nuvola apps korganizer.png   Schätzen Sie Ihren aktuellen Lernstand anhand des ausliegenden Selbsteinschätzungsbogen ein.





Entstanden unter Mitwirkung von:


Abgeändert und ergänzt:

Die didaktischen Gestaltungselemente dieses Lernpfad werden im Abschnitt 8 des Buchs Medienvielfalt im Mathematikunterricht, Jürgen Roth, Evelyn Süss-Stepancik, Heike Wiesner (Hrsg.), Springer Spektrum 2015, ISBN 978-3-658-06448-8 beschrieben.

Der hier vorliegende Lernpfad ist eine überarbeitete Version. Die Original-Version, auf die sich der Abschnitt des Buchs bezieht, ist hier zu finden.