Differential

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Zur Wiederholung und zum Aufbau des Verständnisses soll der folgende Lernpfad dienen, bei dem sich alles um die Funktionsuntersuchung dreht.

Aufgabe 1

Vollziehe in nachfolgendem Applet den Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung, also vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten, indem Du den Punkt B auf A zuwandern lässt. Du kannst den Punkt B mit gedrückter linker Maustaste bewegen.

Wie groß ist jetzt der Wert des Differenzenquotienten und warum?

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Merke:

Der Differenzenquotient ist nun unbestimmt, da die beiden Punkte A und B zusammenfallen. Somit ist die Differenz der x-Werte, also der Nenner im Differenzenquotient, gleich null. Dieser wird mit der Formel für die Steigung m = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} einer Geraden berechnet.

Wie groß ist die Steigung der angegebenen Funktion bei x=4 und wodurch wird sie angegeben?

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Merke:





Aufgabe 2

Benutze im folgenden Applet zunächst den Schieberegler und aktiviere dann zusätzlich das Kontrollkästchen darunter.

Welcher mathematische Zusammenhang wird hier dargestellt?

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Merke:

Es wird die Steigung der jeweiligen Tangente an die blaue Kurve im zugehörigen Punkt eingezeichnet. Alle diese "Steigungspunkte" zusammen ergeben den Graphen der Ableitung der blauen Funktion. Man kann dies auch am eingezeichneten Steigungsdreieck erkennen.

Für Experten: Welche Funktion wird durch die blaue Kurve und welche wird durch die gestrichelte schwarze Kurve beschrieben? Welcher Zusammenhang besteht zwischen beiden?

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Merke:

Die blaue Kurve ist \sin{x}. Die gestrichelte Linie ist \cos{x}.

Der Zusammenhang ist folgender: \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin{x} = \cos{x}, d.h. die Ableitung vom Sinus ist der Cosinus.





Aufgabe 3

Experimentiere mit den Schiebereglern im nachfolgenden Applet und untersuche dabei die Beziehung zwischen dem Graphen der Funktion, der ersten und zweiten Ableitung.

Beschreibe zunächst anhand des Punktes W, was ein Wendepunkt ist, bzw. warum solch ein Punkt "Wendepunkt" heißt.

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Merke:

Ein Wendepunkt ist ein Punkt, der eine Links- und Rechtskurve des Graphen einer differenzierbaren Funktion voneinander trennt. Die Richtungen der Kurven ergeben sich dabei beim Durchlauf des Graphen von kleinen zu größeren x-Werten.

Man kann sich den Graphen anschaulich als Fahrbahn vorstellen, die mit einem Motorrad entlang gefahren wird. An den Wendepunkten der Strecke steht das Motorrad aufrecht, während es sich in den Kurven auf die Seite legen muss, um dem Streckenverlauf folgen zu können.

Am Wendepunkt wird dann die Lenkrichtung "gewendet".

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit einer waagerechten Tangente.

Schreibe nun (im Heft!) einige Regeln auf, um die Extrem- und Wendestellen aufzufinden bzw. Hoch- und Tiefpunkte voneinander zu unterscheiden.

Formuliere eine (notwendige) Bedingung für (relative) Extremstellen x_e bezüglich der Ableitung der Funktion.

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Merke:

Formuliere eine Regel für Hochpunkte bezüglich der Ableitung der Funktion.

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Merke:

1. Wenn f \ ' an der Stelle x_e einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ aufweist, dann handelt es sich an dieser Stelle bei der ursprünglichen Funktion um einen Hochpunkt.

2. Bei einem Hochpunkt ist die erste Ableitung gleich null und die zweite Ableitung kleiner null. Dies ist die hinreichende Bedingung für einen Hochpunkt.

Formuliere eine Regel für Tiefpunkte bezüglich der Ableitung der Funktion.

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Merke:
  1. Wenn f \ ' an der Stelle x_e einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv aufweist, dann handelt es sich an dieser Stelle bei der ursprünglichen Funktion um einen Tiefpunkt.
  2. Bei einem Tiefpunkt ist die erste Ableitung gleich null und die zweite Ableitung größer null. Dies ist die hinreichende Bedingung für einen Tiefpunkt.

Formuliere eine notwendige Bedingung für Wendestellen.

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Merke:

Wenn x_w eine Wendestelle der Funktion f ist, dann gilt: f \ ''(x_w) = 0.

Formuliere ein oder zwei hinreichende Bedingungen für Wendestellen.

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Merke:
  1. Wenn f \ ''(x_w)=0 und f \ '' an der Stelle x_w einen Vorzeichenwechsel hat, dann ist x_w Wendestelle der Funktion f.
  2. Wenn f \ ''(x_w)=0 und zugleich f \ '''(x_w)\not=0 gelten, dann ist x_w Wendestelle von f.