Benutzer:Doganac

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Inhaltsverzeichnis

Der Kosinussatz

Einleitung

Dieser Lernpfad, der durch eine Mathematik-Vorlesung entstanden ist, soll euch beim Verständnis des Kosinussates helfen. Zunächst bearbeitet man in der Schule in der Trigonometrie die einfachen trigonometrischen Sätze, die nur in rechtwinkligen Dreiecken anwendbar sind. Der Kosinussatz hilft bei der Berechnung von Seiten und Winkeln bei beliebigen Dreiecken. Im Folgenden findet ihr Aufgaben, die zum besseren Verständnis führen sollen.


Aufgabe

Ein Ort A ist von einem anderen Ort C 5km und von einem weiteren Ort B 7km entfernt. Von A aus sieht man die Orte B und C unter einem Winkel von 60°. Wie weit sind die Ort B und C voneinander entfernt? Wie groß sind die fehlenden Winkel? Fertige zunächst eine Skizze an.


Lösungsskizze zu Textaufgabe


Lösung

Es gilt α + β + γ = 180°. Außerdem ist a² = b² + c² - 2*b*c* cos(α).

Einsetzen in den Kosinussatz: a² = (5km)²+(7km)²- 2* 5km*7km*cos(60)°

Damit ergibt sich für a: a = 6,24km(gerundet) Die Orte B und C liegen ca. 6,24km von einander entfernt.

Für β gilt: b² = a² + c² - 2* a*c*cos(β)

Einsetzen in den Kosinussatz: (5km)² = (6,24km)²+(7km)²-2*6,24km*7km*cos(β)

Damit ergibt sich für β: β = 43,91°

Einsetzen in den Winkelsummensatz: 60°+43,91°+γ = 180°

Damit ergibt sich für γ: γ = 76,09° Die übrigen Winkel haben eine Größe von γ=48,19° und β=71,81°.


Was wird jetzt verständlich?

Um in beliebigen Dreiecken Seiten und Winkel zu berechnen, benötigt man den Kosinussatz. Eine weitere Voraussetzung ist, dass man mindestens zwei Seitenlängen gegeben hat und einen Winkel oder drei Seitenlängen und keinen Winkel.


Definiton des Kosinussatzes

Hier findet ihr nun die Definition des Kosinussatzes. Sind zwei Seiten gegeben und der Winkel, der von beiden Seiten eingeschlossen ist, so kann der Kosinussatz verwendet werden. Er kann aber auch verwendet werden, wenn drei Seiten bekannt sind und ein Winkel bestimmt werden soll. In einem beliebigen Dreieck mit den Seiten a,b und c, sowie den Winkeln α,β und γ gelten:

a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α)
b² = a² + c² - 2*a*c*cos(β)
c² = a² + b² - 2*a*b*cos(γ)


GeoGebra Applet

Mit dem GeoGebra Applet könnt ihr mit dem Dreieck spielen und alle Seiten- und Winkelgrößen verschieben. Durch das ändern dieser Maße, sollte dir etwas auffallen.

Übungen zum Vertiefen

a) Gegeben ist b = 4cm, c = 6cm und a = 60°, gesucht wird a.
b) Gegeben ist a = 5cm, b = 3cm und c = 7cm, gesucht wird α.
c) Gegeben ist a = 8m, b = 9m und c = 7m, gesucht wird γ.
d) Gegeben ist a = 6dm, c = 5dm und b = 120°, gesucht wird γ.

a: 5,29cm , b:38,21° , c: 48,19°, d: 9,54dm


Hier findet ihr noch weitere Übungen, die sowohl den Kosinus- als auch den Sinussatz beinhalten.

Der Kosinussatz auf Youtube

Unter diesem Punkt findet ihr ein Video, welches den Kosinussatz als Song darstellt, sodass ihr den Satz euch gut einprägen könnt:

Kosinussatz von DorFuchs

Ende