Physik im Daltonplan-Unterricht Mechanische Schwingungen

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Inhaltsverzeichnis

Experimentelle Einführung in das Thema

Gekoppeltes Pendel mittels zwei Wasserflaschen

  1. Hängen Sie eine Schnur zwischen zwei Tischen auf (Abstand ca. 1m).
  2. Befestigen Sie an dieser Schnur zwei kürzere Schnüre in Abstand von ca. 50cm. An diesen beiden Schnüren soll nun jeweils eine Plastikwasserflasche (ca. 0,5kg) aufgehängt werden.
  3. Bringen Sie die eine Flasche zum Schwingen ohne die andere in Bewegung zu setzen. Am besten benutzen Sie hierfür zwei gleiche Flaschen.
  4. Was vermuten Sie über den nachfolgenden Bewegungsablauf?
  5. Notieren Sie Ihre Beobachtungen

1-Sekunden-Uhr

  1. Bauen Sie mittels eines Faden- oder eines Feder-Pendels eine Schwing-Uhr auf, mit der man den Zeitraum von einer Sekunde möglichst exakt nachbilden kann.
  2. Dokumentieren Sie die Einstellungen, die für die richtige Zeiteinstellung von Bedeutung waren.
  3. Welche Größen konnten vernachlässigt werden?
  4. Erstellen Sie ein Versuchsprotokoll
    • Erfassen Sie in dem Versuchsprotokoll die besonderen Punkte und markante Eigenschaften dieser Bewegung. Kennzeichnen Sie messbare Größen und protokollieren Sie entsprechende Messungen durch.

Frequenz eines eingespannten Lineals

Bestimmen Sie mittels eines Frequenzmessers (z.B. Smartphone-App) die Frequenz eines Lineals, das an einer Tischkante befestigt und angestoßen wurde.

BioMotionLab

  • Informieren Sie sich auf der der Seite BioMotionLab, welche Schlussfolgerungen man über die Eigenschaften eines Menschen auf der Grundlage der Schwingung seines Körpers ziehen kann.
  • Untersuchen Sie anschließend mittels der Seite BioMotionLab, ob Sie das Geschlecht eines Menschen aufgrund seiner Bewegung erkennen können.

Parallelprojektion

Bauen Sie einen Motor mit einer Drehscheibe (ca. 30cm) an der ein Massestück (oder ein Lego-Männchen o.Ä.) befestigt ist, vor dem Lichtstrahl eines OHPs. Positionieren Sie zwischen Ihrem Aufbau und der Projektionswand einen Fadenpendel so auf, dass seine Amplitude dem Radius der Drehscheibe entspricht. Notieren Sie Ihre Beobachtungen.

Datei:Parallelprojektion-Schwingung,Kreisbewegung-Pendel.mp4
Ein Video in dem das Experiment Parallelprojektion zu sehen ist.

Schwingungen in alltäglichen Leben

  1. Notieren Sie in Form eines Brainstormings, wo man Schwingungen im alltäglichen Leben begegnet.
  2. Sortieren Sie Ihre Begriffe zu Clustern
  3. Recherchieren Sie, wo man im Berufsleben mit gesundheitsbeeinträchtigenden Schwingungen in Kontakt kommt. Welche Auswirkungen können die Schwingungen auf die menschliche Gesundheit haben?

Definitionen

Ergänzen Sie mit Hilfe Ihres Physik-Buches die fehlenden Begriffe:

Führt ein Körper 'periodische' Hin- und Herbewegungen um eine Ruhelage aus, so nennt man dies eine Schwingung.

  1. Die Bewegung ist 'periodisch', d. h. die Bewegungszustände wiederholen sich in gleichen Zeitabständen gleich oder ähnlich.
  2. Die Bewegung verläuft zwischen zwei 'Umkehrpunkten' durch einen ausgezeichneten Punkt, die Ruhelage des Oszillators.

Mathematische Erfassung einer Schwingung: Die Schwingungsdauer oder Periodendauer T ist die zeitliche Dauer einer vollständigen Schwingung.

Werden n vollständige Schwingungen in der Zeit t ausgeführt, so gilt: T = \frac{t}{n}

Die Schwingungszahl oder Frequenz f ist der Quotient aus der Anzahl von n Schwingungen und der dazu benötigten Zeit t: f = \frac{n}{t} \  [f]= 1s^{-1} = 1 Hz

Es besteht der Zusammenhang f = \frac{1}{T}

Die momentane Auslenkung oder Elongation y(t) gibt den Weg an, um den sich der schwingende Körper zu Zeit t aus der Ruhelage entfernt hat.

In der Ruhelage ist die Elongation null. Auslenkungen nach unterschiedlichen Seiten der Ruhelage (Nulllage) unterscheidet man im Vorzeichen.

Die Schwingungsweite oder Amplitude \hat y, gelesen "y Dach", ist der Betrag der größten Elongation.

Eine Schwingung mit konstanter Amplitude heißt ungedämpft. Nimmt die Amplitude mit der Zeit ab, so heißt die Schwingung gedämpft.

Aufgaben: 3.1.1 1-3


Aufgabenblatt

  • Leifi
  • Aufgabensammlung Metzler
  • andere Aufgabensammlungen

Experiment: Federschwinger mit Beschleunigungssensor

Bei diesem Experiment soll die Beschleunigung, die ein Körper am Federschwinger erfährt, gemessen werden. Material:

  • Stativmaterial
    • 3 Doppelmuffen
    • Stativ mit Stange
    • kurze Stange
  • Lineal
  • Feder
  • Smartphone
  • Massestücke
  • Halterung für Massestücke

Aufbau: Zuerst wird das Stativ aufgebaut (Stativstange im Stativfuß befestigen). Danach wird oben an der Stativstange eine Doppelmuffe befestigt, um die kurze Stange senkrecht zur langen zu fixieren. An dieser Stange wird eine Doppelmuffe angebracht, um ein Lineal parallel zur langen Stativstange zu befestigen. Dann wird an derselben Stange eine weitere Doppelmuffe angebracht, an welcher die Feder aufgehangen wird. Am unteren Ende der Feder wird nun das Smartphone zusammen mit der Halterung für Massestücke aufgehangen.

Vorbereitung: Die Beschleunigungsmesser-App auf dem Smartphone wird gestartet. (Verwendete App: Physics Toolbox Accelerometer aus dem Google Play Store). Die App kann die Daten in 2 Einheiten erfassen: Beschleunigung in m/s² (hierbei wird die Erdbeschleunigung in der Ruhelage bereits herausgerechnet, sodass nur die Beschleunigung durch andere auftretende Kräfte berücksichtigt werde), oder die Beschleunigung in g (Vielfache der Erdbeschleunigung, 1 g = 9,81 m/s², hierbei wird auch die Erdbeschleunigung gemessen, daher ist diese Methode mit etwas Rechnen bei der Datenerfassung verbunden (Umrechnen in m/s², Subtraktion der Erdbeschleunigung). Außerdem werden immer 3 Graphen dargestellt, die die Beschleunigung in x, y und z-Richtung erfassen. Die x-und z-Richtung sind hierbei irrelevant, lediglich die y-Richtung wird benötigt. Es können daher alle Graphen außer derjenige für die y-Richtung deaktiviert werden.

Durchführung: Das Smartphone wird nach unten gezogen und somit die Feder gespannt. In dem Moment, wo die Feder gespannt ist, sollte die Datenerfassung gestartet werden. Wird das Telefon losgelassen, so beginnt es zu schwingen. Nach einiger Zeit kann das Experiment abgebrochen werden, indem man das Telefon festhält und so die Schwingung stoppt. Danach muss die Datenerfassung abgebrochen werden. Das Smartphone speichert die so gesammelten Daten in einer .csv-Datei, die von jedem gängigen Tabellenkalkulationsprogramm verarbeitet werden kann. Das Experiment kann nun mit etwas mehr Masse (Gewichte hinzugeben) durchgeführt werden

Beobachtung: Das Handy beginnt, auf und ab zu schwingen. Mit zunehmender Masse wird diese Schwingung immer langsamer. Außerdem verringert sich nach einiger Zeit die Amplitude der Schwingung, was sich gut am Lineal erkennen lässt. Bei der größten Masse (160 g + Masse des Telefons (ca. 200 g), begann das Telefon nach einiger Zeit, wie an einem Fadenpendel in der Vertikalen zu schwingen (die Amplitude der horizontalen Schwingung wurde dabei geringer); nach einiger Zeit stellte sich jedoch wieder die Auf-Ab-Schwingung ein.

Video: Video zum Versuch

Beschleunigungsdaten: Auswertung der Daten und Diagramme (Dateityp: .ods, mit Excel oder LibreOffice Calc zu öffnen)

Auswertung: Der Graph der Beschleunigung verläuft in einer Sinusform, was ein typisches Merkmal einer Schwingung ist. Je mehr Massestücke verwendet werden, desto länger dauert eine Periode der Schwingung. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Gravitationskraft, welche bewirkt, dass die Feder gespannt wird, mit steigender Masse wächst. Dies führt dazu, dass die Feder stärker gedehnt wird, der Schwingungskörper also insgesamt einen längeren Weg zurücklegt; für diesen wird umso mehr Zeit benötigt. Außerdem ist zu beobachten, dass die Amplitude der Schwingung (sowohl bei Betrachtung der Entfernung zur Ruhelage, als auch bei der Betrachtung der Beschleunigung), abnimmt. Dies ist darauf zurückzuführen, dass überall Reibung vorhanden ist (Reibung des Körpers und der Feder in der Luft, Reibung innerhalb der Feder,...), die dafür sorgt, dass bei jeder Schwingung ein Teil der kinetischen Energie in thermische Energie umgewandelt wird. Diese sogennante Dämpfung ist vor allem bei größeren Massen zu beobachten, Der Grund dafür könnte allerdings auch eine zu starke Belastung der Feder sein.

Harmonische Schwingungen

Einstieg

  • Bauen Sie das Experiment zu der Parallelprojektion von Kreis- und Pendelbewegung nach.
  • Welche Besonderheit zeigen die Schwingungen an im Hinblick auf die Geschwindigkeit während einer Periode?

Wiederholung Kreisbweegung

  • Aufgabe: Ein fester Punkt bewegt sich auf einem Kreisbahn mit der Winkelgeschwindigkeit \omega = \frac{\frac{\pi}{6}}{s}. Erstellen Sie eine tabellarische Übersicht über die horizontale Entfernung dieses Punktes vom Mittelpunkt des Kreises bei einer seitlichen Betrachtung dieser Bewegung (s. Experiment). Zeitraum: 24 Sekunden.
  • Wiederholen Sie die Formeln der Kreisbewegung und suchen Sie nach Parallelen zu der Pendelbewegung
    • Der Radius r,
    • die Umlaufzeit T und
    • die Frequenz f der Kreisbewegung
\omega = \frac{\phi}{t}        
\omega = \frac{2\pi}{T}      
\omega = 2 \pi f (Kreisfrequenz der Schwingung)
y = \hat y \sin(\omega t)          
y = \hat y \sin(\frac{2\pi*t}{T})                 
y = \hat y \sin(2 \pi f t) 
  • Ergänzung: Der Winkel \phi, den der Radius bzw. Zeiger r zu einem bestimmten Zeitpunkt mit der positiven x-Achse einschließt heißt Phasenwinkel oder Phase der Schwingung. Die Phase kennzeichnet den augenblicklichen Schwingungszustand.


Zeigerdiagramm.svg


Eine lineare Schwingung, die mit der Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung übereinstimmt, heißt harmonische Schwingung.

Die Zeit-Elongation-Funktion der harmonischen Schwingung ist y = \hat y \sin( \omega t) .

Aufgabe

  • Metzler 3.1.3.1
  • Lauf mit Wasserflasche: wer bekommt dir harmonischste Schwingung?
  1. Dokumentieren Sie Ihre Ergebnisse (Schwingungsdauer messen!). Notieren Sie Ihre Schlussfolgerungen!
  2. Vergleichen Sie Ihre Erkenntnis mit der Formel in Ihrem Physikbuch. Lesen Sie auch die zugehörige Herleitung durch. Warum muss man hier von kleinen Winkeln ausgehen?
  3. Untersuchen Sie mittels Ihres Taschenrechners die hier benutzte „Näherung für kleine Winkel“ die Werte der Sinus -Funktion für Winkel zwischen 0 und 10Grad.
  • Weitere Aufgaben:
  1. Metzler 3.1.5. 1+2
  2. Alternativ: Leifi-Schwingungen

Harmonische Schwingung mittels einer Flasche am Fadenpendel

Untersuchen Sie mittels einer Wasserflasche und langsam ausfließenden Wassers, die Abhängigkeiten der Schwingungsdauer eines Fadenpendels von der

  • Amplitude,
  • Masse und
  • Pendellänge.
Erkenntnis:


Ergänzen Sie die Formeln zu den folgenden Gesetzen:

  • Zeit- Elongation -Gesetz
  • Zeit- Geschwindigkeit- Gesetz
  • Zeit- Beschleunigung- Gesetz

Wird nicht gedruckt:

  • y  =  \hat y \sin(\omega t)
  • \ \ \ v_\text{y} =  \omega \hat y \cos(\omega t)
  • \ \ \ a_\text{y} =  - \omega^2 \hat y \sin(\omega t)

Aufgaben zur harmonischen Schwingung Überprüfen Sie mit Hilfe der Formelsammlung, ob man diese Gesetze genauso mittels der Ableitungen herleiten kann, wie es bereits bei den Bewegungsgesetzen der linearen Bewegung der Fall war.

Schwingungen graphisch veranschaulichen

Aufgabe: Erstellen Sie mittels Excel oder des GTR ein Diagramm einer harmonischen Schwingen zu der Kreisfrequenz \omega = \frac{\pi}{6} für zwei Perioden.

Tipp: erste Spalte: 0,1,2, ..., zweite Spalte y= \frac{\pi}{6} t

Beachten Sie hierbei, dass die Kreiszahl Pi in Excel als Funktion mit Klammern dargestellt wird: Pi(). Die Excel-Funktion lautet dann SIN(PI()/6*A1), etc.

Ursache für die Bewegungsumkehr

Die Ursache für die Bewegungsumkehr ist bei den mechanischen Schwingungen eine Kraft, die beim Anwachsen der Elongation der Bewegung entgegenwirkt und bei der Abnahme der Elongation die Bewegung unterstützt. Diese stets in Richtung der Ruhelage wirkende Kraft heißt rücktreibende Kraft.


  •  F_\text{y} = - m \omega^2 \hat y \sin(\omega t)
  • Wegen \hat y \sin(\omega t) = y gilt: F_\text{y} = - m \omega^2 y
  • Setzt man D=m\omega^2 (sog. Richtgröße) dann gilt F_\text{y} = - D y (Lineares Kraftgesetz)


Die rücktreibende Kraft ist der Elongation entgegengesetzt.

  • Gilt bei einem Oszillator das lineare Kraftgesetz bzw. ist diese Richtgröße bekannt (gilt also m\omega^2 = D),
  • dann ist \omega = \sqrt{\frac{D}{m}}.

Es ergibt sich dann: \omega = \frac{2\pi}{T}   \Rightarrow   \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{D}{m}} \Rightarrow   T = 2\pi  \sqrt{\frac{m}{D}}


Rücktreibende Kraft am Federpendel:

  • Zur Wiederholung: Das Hooke'sche Gesetz: F_\text{s} = -Dy
  • Aus dem folgt in der Gleichgewichtslage G = mg = Dy_\text{0}
  • Ist die Feder weiter nach unten ausgelenkt so wirkt die rücktreibende Kraft:
    • F_\text{r} = F_\text{s} + G = -Dy + mg = -Dy + Dy_\text{0}   = -D (y - y_\text{0})
    • und mit s = y - y_\text{0}
  • gilt F_\text{r} =  -Ds

Ergänzung Phasenwinkel

  • Hat die Schwingung zur Zeit t_\text{0} bereits den Phasenwinkel \phi_\text{0}, so wird sie durch die Gleichung y  =  \hat y \sin (\omega t + \phi_\text{0}) beschrieben.

Aufgabe: Wie könnte man die Phasenabhängigkeit am Beispiel der Bewegung einer Kinderschaukel demonstrieren?


Ergänzung Zeigerdarstellung

Jede harmonische Schwingung der Amplitude \hat y und der Frequenz f lässt sich durch einen Radiusvektor bzw. Zeiger der Länge r = \hat y beschreiben, der mit der Winkelgeschwindigkeit \omega = 2\pi f umläuft. Diese Darstellung einer Schwingung heißt Zeigerdarstellung.

Zeiger Interferenz.svg

In einem Zeigerdiagramm lassen sich mehrere Schwingungen gleichzeitig darstellen. Unterschiedliche Amplituden ergeben unterschiedliche Zeigerlängen, unterschiedliche Frequenzen ergeben unterschiedliche Winkelgeschwindigkeiten und verschiedene Schwingungszustände bzw. Phasen sind an einem Winkel zwischen den Zeigern erkennbar.

Akustik

Anwendungen in der Akustik

  • Schwebung mittels Stimmgabel oder Audacity
  • Schallplatte auf einem Motor
  • Schwingung einer Gitarrensaite

Veranschaulichung mittels Excel

  • Schwebung

Weitere Veranschaulichungen

  • Magnete als Teilchen einer Schwingung (Übergang zu den Wellen)
  • Unterschiedlich gefüllte Flaschen


Gedämpfte Schwingung

Graphen eines frei schwingenden Systems

Lassen Sie eine Vorrichtung der digitalen Messwerterfassung den Graphen eines schwingenden Magneten, der sich durch eine Spule bewegt, zeichnen. Überprüfen Sie, ob es sich hierbei um einen ähnlichen Graphen handelt:

  1. Bestimmen Sie die Kreisfrequenz.
  2. Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Hochpunkte der Funktion.
    1. Um welchen Funktionstyp handelt es sich, wenn man nur die Werte der Extrema betrachtet?
    2. Berechnen Sie die prozentuale Abnahme vom Hochpunkt zum Hochpunkt
    3. Bestimmen Sie danach die Gleichung dieser Funktion in der Form: \hat y = \hat y_\text{0} e^{-kt} (Amplitudenhöhe: \hat y_\text{0})
    4. Überprüfen Sie Ihre Gleichung mittels Excel--> Trendlinie hinzufügen
  3. Diskutieren Sie mit anderen Gruppen, ob diese zu ähnlichen Ergebnissen gelangt sind wie Sie.

Erkenntnisse und Fachbegriffe der gedämpften Schwingung

Jede freie Schwingung ist gedämpft, da sie Energie an die Umgebung abgibt.


Diese Exponentialfunktion beschreibt die zeitliche Abnahme der Amplituden der gedämpften Schwingung. Die Größe k im Exponenten heißt Dämpfungskonstante Sie ist ein Maß für die Abnahme der Amplitude mit der Zeit.

Eine gedämpfte Schwingung wird durch die Gleichung y = \hat y_\text{0}   e^{-kt}   \cos(\omega t) beschrieben.

Eine gedämpfte Schwingung ist ein Abklingvorgang, wie er für viele Naturereignisse typisch ist. Solange die Dämpfung nicht zu groß ist, stimmt die Periodendauer der gedämpften Schwingung mit der der ungedämpften überein.

Aufgaben zu gedämpften Schwingung

Leifi oder Aufg. 3.1.4 1b und 2

Erzwungene Schwingung

Erarbeitung mittels Lehrbuch/Internet

Erarbeiten Sie mittels des Lehrbuchs und des Internets den Begriff der erzwungenen Schwingung. Erklären Sie hierbei die Begriffe des

  • Erregers und Erregerfrequenz
  • Resonanz und Resonanzfrequenz
  • Rückkopplung
  • Resonanzkatastrophe

Veranschaulichungs-Experiment

Bauen Sie eine Resonanzkatastrophe mittels einer Spule (Schalter am Stromkreis) und Feder nach

Aufgaben

  1. Leifi und Metzler-Aufgabensammlung Aufg. 3.2.4 1+3
  2. Recherchieren Sie welche Auswirkungen der Wind auf die Bewegung einer Brücke haben kann ([Tacoma)
  3. Muss eine Truppe im Gleichschritt über eine Brücke marschieren?


Energie des harmonischen Oszillators

Veranschaulichung mittels Excel

Zeichnen Sie mittels Excel die Graphen der potenziellen (in diesem Fall der rücktreibenden Spann- bzw. Erdanziehungskraft) und der kinetischen Energie

Formelherleitung/Erkläerung

Erläutern Sie, wie man die Formel für die Energie eines harmonischen Oszillators aus den beiden einzelnen Formeln für die potenzielle und kinetische Energie herleitet.


Aufgaben

  • Leifi oder Metzler-Aufgabensammlung Aufg 3.2.3

CHECKLISTE

Pluspunkt für eine richtige Antwort:  
Minuspunkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere den Fragen-Koeffizienten:

1. Ich habe ein Einstiegsexperiment selber aufgebaut und (ggf. den Film) mitgebracht

Erledigt
Leider nein

2. Ich habe die Stichworte zu Schwingungen im alltäglichen Leben zu Clustern zusammengestellt

Ist gemacht
Mir fiel gar nix ein

3. Definitionen ins Heft oder auf ein Arbeitsblatt eingetragen

Das ging ja schnell
Ich habe im falschen Buch gesucht

4. Aufgaben: 3.1.1 1-3

Das war ja einfach
So was Schwieriges schon zu Anfang?

5. Erklärung zu den Gemeinsamkeiten von Kreis- und Pendelbewegung habe ich in mein Heft eingetragen

War je nicht so kompliziert
Wie? Die haben was gemeinsam?

6. Die Definition und die Gesetze der harmonischen Schwingung habe ich ins Heft übertragen und kenne diese auswendig

Die sind ja einfach
Welche Harmonie?

7. Ich habe die Aufgaben 3.1.3 und 3.1.5 1+2 gelöst. Lösung ist im Heft vorhanden

Ja / bzw. nein, aber ich habe die Probleme dokumentiert
Weder noch

8. Ich habe die harmonischen Schwingung mittels Excel (oder GTR) veranschaulicht und den Ausdruck mitgebracht

War etwas kompliziert, aber machbar
Wie? Mit GTR geht das auch?

9. Die Ursache für die Bewegungsumkehr und das lineare Kraftgesetz habe ich ins Heft übertragen

Ja
Habe sie übertragen, hätte dazu aber noch ein paar Fragen. Das Buch konnte mir keine zufriedenstellenden Antworten liefern

10. Ich habe die Zeigerdarstellung verstanden und ausgedruckt/nachgezeichnet

Ja
War zu schwierig

11. Ich habe Fachbegriffe der gedämpften Schwingung ins Heft übertragen

Und kann diese erkennen
Noch nicht so ganz. Ich kann aber die Probleme erläutern, die ich damit habe...

12. Ich habe die Aufgaben 3.1.4 1b und 2 gelöst. Lösung ist im Heft vorhanden

Ja / bzw. nein, aber ich habe die Probleme dokumentiert
Nein

13. Ich habe die erzwungene Schwingung verstanden und ein Experiment nachgebaut. Tacoma ist mir auch ein Begriff

Alles geschafft
Noch nicht ganz. Mir fehlt noch...

14. Ich habe die Aufgaben 3.2.4 1+3 im Heft gelöst

Ja
Nein

15. Ich kann die Grundidee der Formel für die Energie des harmonischen Oszillators erklären und habe die Aufgaben 3.2.3 im Heft gelöst

Ja
War etwas schwierig / habe da noch ein paar Fragen

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