Extremwertaufgaben

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Lernpfad

Extremwerte geben maximale bzw. minimale Größen bei vorgegebenen Randbedingungen an und sind Lösungen bei sogenannten Optimierungsproblemen, d.h. sie geben den idealen Zusammenhang der Funktionsgrößen wieder. Die Vorgehensweise bei solchen Aufgaben soll an den beiden folgenden Beispielen erläutert werden.


Inhaltsverzeichnis

Einstiegsaufgabe: Die Optimale Schachtel

Aus einem rechteckigen Stück Pappe von der Größe eines DIN A4 Blattes soll eine offene Schachtel gebastelt werden.
Dazu wird jeweils an den Ecken ein Quadrat der Seitenlänge h aus der Pappe herausgeschnitten, und die dadurch entstehenen "Seitenwände" hochgeklappt.

Wie groß h gewählt werden, damit die entstehende Schachtel ein möglichst großes Volumen hat?
(Die interaktive Skizze in Aufgabe 1 ist dazu gedacht, die Zusammenhänge der Aufgabenvariablen zu verdeutlichen.)


Stift.gif   Aufgabe 1

Benutzen Sie in dem Geogebra-Applet den Schieberegler, um h zu variieren. Zieht man den Reglerpunkt nach links, werden die auszuschneidenden Quadrate kleiner, nach rechts werden sie größer. Lesen Sie für verschiedene Werte von h die entstehenden Seitenlängen a und b der Grundfläche ab und berechnen Sie das Volumen der entstehenden offenen Schachtel.

Nuvola Icon Kate.pngErstellen Sie eine Tabelle mit den Werten für h und den dazugehörigen Volumina. Für welches h bastelt man die Schachtel mit dem größten Volumen?


Formel für das Volumen

Das Volumen der Schachtel wird durch mehrere Variablen ausgedrückt:

 V(a,b,h)=a \cdot b \cdot h

Nebenbedingungen

Aus der Graphik lassen sich folgende Zusammenhänge ableiten:

a=21-2h
und
b=29,7-2h

Zielfunktion

Die Formel für das Volumen in Abhängigkeit von h lautet jetzt also:

 V(h)=(21-2h) \cdot (29,7-2h) \cdot h
ausmultipliziert
 V(h)=4h^3-101,4h^2+623,7h

Bestimmmung der Extremstellen der Zielfunktion

Die Volumenformel V(h) wird abgeleitet:

V'(h)=12h^2 - 202,8h + 623,7

Diese Ableitung wird gleich Null gesetzt, um "Kandidaten" für Extrempunkte zu bekommen:

V(h)=0
also
12h^2 - 202,8h + 623,7=0

Diese qudratische Gleichung wird entweder mit der Lösungsformel oder dem GTR gelöst:
h_1 \approx 4,04
und
h_2 \approx 12,86

Die zweite Lösung entfällt im Sachzusammenhang, da h maximal die halbe kurze DIN A4 Seite betragen darf, also 10,5 cm.


Damit erhält man den unter die Schachtel mit dem größten Volumen für:

h \approx 4,04
und damit
V_{max} \approx 1128


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Vertiefungsaufgabe: Das Hühnerstallproblem

Chicken and re-used black-house at Am Baile - geograph.org.uk - 1500227.jpg

Ein Bauer möchte an einer Steinmauer für seine Hühner mit einem 20 m langen Zaun einen rechteckigen "Freilaufstall" abstecken. Die Mauer soll dabei eine der Rechteckseiten sein. Wie muss der Bauer die Maße der Rechteckseiten wählen, damit die Hühner möglichst viel Platz haben?

Nuvola Icon Kate.pngFertigen Sie zuerst eine Skizze der Aufgabenstellung an, in welche die gegebenen und gesuchten Variablen eingezeichnet werden. Dadurch sind die Zusammenhänge leichter ersichtlich.


Stift.gif   Aufgabe 2

Benutzen Sie in dem Geogebra-Applet den Schieberegler, um die Seite b des Hühnerstalls zu variieren. Lesen Sie für verschiedene Werte von b die Länge der Seite a ab und berechnen Sie jeweils den Flächeninhalt.

Nuvola Icon Kate.pngErstellen Sie eine Tabelle mit den Werten für b und den dazugehörigen Flächen. Für welches b entsteht das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt?


Stift.gif   Aufgabe 3

Bestimmen Sie analytisch die optimale Lösung des Hühnerstallproblems, indem Sie die folgenden Fragestellungen analog zur Einstiegsaufgabe bearbeiten:

  1. Formel für Flächeninhalt
  2. Nebenbedingung
  3. Zielfunktion
  4. Bestimmmung der Extremstellen der Zielfunktion und Berechnung des flächengrößten Hühnerstalls

Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit der ausliegenden Musterlösung.


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Zusammenfassung der Lösungsstrategie

Nuvola Icon Kate.png Information

  1. Beschreiben Sie die Größe, die extremal (also maximal oder minimal) werden soll, durch einen Term. Dieser kann mehrere Variablen enthalten.
  2. Suchen Sie nach möglichen Nebenbedingungen, um die Anzahl der Variablen zu reduzieren.
  3. Bestimmen Sie die Zielfunktion so, dass sie nur noch von einer Variablen abhängt.
  4. Untersuchen Sie die Zielfunktion auf Extremwerte und formulieren Sie das Ergebnis.


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Trainieren und Anwenden

Stift.gif   Aufgabe 4

Nuvola apps korganizer.png   Aufgaben zum Trainieren
Bearbeiten Sie folgenden Aufgaben zunächst in Einzelarbeit. Vergleichen Sie dann die Ergebnisse mit einem Lernpartner.

  • Seite 215 Aufgabe 14 (Bigalke/Köhler: Mathematik Gymnasiale Oberstufe, Analysis Grundfach, Cornelsen 2016, ISBN 978-3-06-004840-3) bzw. Seite 257 Aufgabe 15 im entsprechenden LK-Band
  • Seite 217 Aufgabe 19 (Bigalke/Köhler: Mathematik Gymnasiale Oberstufe, Analysis Grundfach, Cornelsen 2016, ISBN 978-3-06-004840-3) bzw. Seite 259 Aufgabe 20 im entsprechenden LK-Band
  • Seite 217 Aufgabe 20 (Bigalke/Köhler: Mathematik Gymnasiale Oberstufe, Analysis Grundfach, Cornelsen 2016, ISBN 978-3-06-004840-3) bzw. Seite 259 Aufgabe 21 im entsprechenden LK-Band
  • Seite 218 Aufgabe 21 (Bigalke/Köhler: Mathematik Gymnasiale Oberstufe, Analysis Grundfach, Cornelsen 2016, ISBN 978-3-06-004840-3) bzw. Seite 261 Aufgabe 25 im entsprechenden LK-Band


Stift.gif   Aufgabe 5

Nuvola apps xmag.png   Nuvola apps ktip.png 

  • Seite 215 Aufgabe 16 (Bigalke/Köhler: Mathematik Gymnasiale Oberstufe, Analysis Grundfach, Cornelsen 2016, ISBN 978-3-06-004840-3) bzw. Seite 257 Aufgabe 17 im entsprechenden LK-Band


Farm-Fresh plenumPlenumsphase

Stift.gif   Aufgabe 6

Nuvola apps kcmdrkonqi.png   komplexere Anwendungsaufgaben
In unseren Kurs ist ein Arbeitsblatt mit Übungsaufgaben hinterlegt.
Dabei können Zielfunktionen vorkommen, die Sie noch nicht analytisch ableiten bzw. zu deren Ableitungsfunktionen Sie die Nullstellen noch nicht algebraisch bestimmen können.
Hier genügt es, die Zielfunktion aufzustellen und deren Extremstellen z.B. mit Geogebra zu berechnen.


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