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Einführung der Differenzialrechnung

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Lernpfad

Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist. Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik. Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen.

Nuvola Icon Kate.png Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben. Ihre Aufzeichnungen werden am Ende der Reihe eingesammelt.

Tipp: Wenn Sie die Applets, die im Lernpfad benutzt werden, jeweils in ein neues Fenster verschieben bzw. in einem neuen Fenster öffnen, können Sie leichter Applet und Aufgabenstellung gemeinsam im Blick behalten.



Inhaltsverzeichnis

Einstiegsaufgabe 1 - Blumenvase

Unterschiedliche Gefäßformen lassen sich durch ihren Füllgraphen beschreiben. Dieser ergibt sich, wenn in ein Gefäß eine Flüssigkeit mit gleichmäßigem Zufluss einfließt. Die entstehende Zuordnung Zeit(t) -> Höhe(h) kann in ein Koordinatensystem übertragen werden und stellt die Zunahme des Wasserspiegels in Abhängigkeit von der Zeit dar.


Nuvola apps edu science.png   Experiment

Skizzieren Sie zunächst einen möglichen Verlauf des Füllgraphen für die Gefäße in ein Koordinatensystem. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit einer anderen Zweiergruppe und begründen Ihre Skizze.

Mit dem folgenden Experiment können Sie Ihre Vermutung aus der ersten Aufgabe überprüfen. Dazu sollen Sie gleichmäßig Wasser in ein Gefäß füllen. Mit einer Stoppuhr wird die Zeit gemessen, wie lange der Wasserspiegel braucht um auf 0.5 cm, 1 cm, 1.5 cm, 2cm usw. zu steigen.



Stift.gif   Aufgabe 1

a) Vergleichen Sie die Versuchsdaten mit ihren Skizzen und beschreiben den Verlauf des Füllgraphen. Inwiefern kann man die Form des Gefäßes am Füllgraphen ablesen?

b) Um weitere Erkenntnisse über den Füllvorgang zu erhalten soll nun die Geschwindigkeit des Anstiegs des Wasserspiegels untersucht werden. Ist es möglich, diese Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 3s zu ermitteln? Begründen Sie ihre Antwort kurz.



Einstiegsaufgabe 2 - Barringer-Krater

Die Idee zu dieser Aufgabe entstammt dem Schulbuch Lambacher-Schweizer, Analysis Leistungskurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett Verlag, Stuttgart 2001, ISBN 3127321805.

Barrington-Krater

In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater. Der Krater hat einen Durchmesser von bis zu 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An einer sehr flachen Stelle kann der Teilquerschnitt des Kraters bis zum Rand durch die Funktion k(x)=0,002x^2 für 0 \leq x \leq 300 beschrieben werden.

LP Krater.png


Stift.gif   Aufgabe 2

Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bis zu 115% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?



Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate

Blumenvase

VaseFuellvorgang.jpg

In der Einstiegsaufgabe haben Sie in Gefäßen gleichmäßig Wasser eingelassen und die Höhe des Wasserstandes gemessen. Betrachten wir nun die abgebildete Vase, in die ebenfalls gleichmäßig Wasser eingelassen wird. Die Tabelle stellt dar, wie sich die Wasserhöhe (hier gemessen vom Tischboden) in der Vase beim Einfüllvorgang im Zeitverlauf verändert. Im Gegensatz zum Vorgehen zur Einstiegsaufgabe wurde nun alle drei Sekunden die Höhe des Wasserstandes gemessen.

Zeit (Sekunden) Höhe (cm)
0 0,51
3 1,33
6 2,74
9 4,91
12 8,00
15 12,17
18 17,58

Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.

Bsp.
In den drei Sekunden zwischen Sekunde 6 und 9 steigt das Wasser um 4,91 cm - 2,74 cm = 2,17 cm. Daher nimmt das Wasser pro Sekunde um 2,17 cm : 3 s = 0,72 cm/s zu. Die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 6 und Sekunde 9 beträgt daher 0,72 cm pro Sekunde (abgekürzte Schreibweise: 0,72 cm/s)

Stift.gif   Aufgabe 3

Berechnen Sie anhand der obigen Tabelle und mit dem Taschenrechner oder PC die mittlere Änderungsrate in den angegebenen Zeitabschnitten:
a) in den ersten drei Sekunden
b) zwischen Sekunde 3 und 6
c) zwischen Sekunde 12 und 15
d) zwischen Sekunde 3 und 12
e) in den ersten 18 Sekunden




Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der momentanen Änderungsrate. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmen kann, erfahren Sie in der folgenden Aufgabe.


Stift.gif   Aufgabe 4

Um näherungsweise die momentane Änderungsrate für den Zeitpunkt t = 12 Sekunden zu erhalten, bestimmen Sie mit Hilfe der Schieberegler des Applets und mit Hilfe des Taschenrechners bzw. PCs die mittlere Änderungsrate im Zeitintervall von ...
a) ... t = 12 Sekunden und t1 = 13 Sekunden
b) ... t = 12 Sekunden und t1 = 12,5 Sekunden
c) ... t = 12 Sekunden und t1 = 12,1 Sekunden
d) ... t = 12 Sekunden und t1 = 12,05 Sekunden
e) Schätzen Sie aufgrund der Ergebnisse aus a) - d), welches Ergebnis für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 Ihnen plausibel erscheint.




Stift.gif   Aufgabe 5

Die Höhe des Wasserstandes der bisher betrachteten Vase kann mit der Funktion w(t)=0,001(t+8)^3 beschrieben werden. Hierbei gibt w(t) die Höhe des Wasserstandes in cm zu einem Zeitpunkt t (in Sekunden) an.
a) Bestimmen Sie den Näherungswert für die momentane Änderungsrate noch genauer, indem Sie mit Hilfe der Funktionsvorschrift die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 12 bis 12,001 bestimmen.
b) Beschreiben Sie, wie Sie vorgehen müssten, um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 zu erhalten.


Von der Sekanten- zur Tangentensteigung

Barringer-Krater

Um entscheiden zu können, ob das Raumfahrzeug aus dem Krater kommt, benötigen wir die Steigung des Kraters am Rand des Kraters.
Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen zwei Punkten A\left( x_0 | k(x_0) \right) und B\left( x_1 | k(x_1) \right) kann mit  m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0} berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine solche Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten schneidet, nennt man Sekante.

 m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0} ist dann die Sekantensteigung.



Stift.gif   Aufgabe 6

Überlegen Sie, wo in der Zeichnung folgende Größen zu finden sind: x_1-x_0 und k(x_1)-k(x_0)

Achtung: Nicht auf den Monitor malen;-)



Stift.gif   Aufgabe 7

Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(300|180) und B(400|320), wenn man sich das Kraterprofil über den Wert x0 hinaus fortgesetzt denkt.




Information
Eine Sekante schneidet den Graphen in zwei Punkten. Wenn nun der Punkt B immer weiter dem Punkt A angenähert wird und bei diesem Prozess letztendlich der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, so berührt die Gerade (lokal) den Graphen nur noch in einem Punkt, dem sogenannten Berührpunkt. Diese Gerade nennt man nun nicht mehr Sekante (da es keine zwei Schnittpunkte mehr gibt), sondern Tangente an den Graphen der Funktion k im Punkt A. Die Steigung der Tangenten gibt die Steigung des Graphen der Funktion im Berührpunkt an.


In der Graphik der Lösung der Aufgabe 6 kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.

Stift.gif   Aufgabe 8

Vollziehen Sie den beschriebenen Übergang von der Sekante zur Tangente im obigen Applet nach.

Berechnen Sie die Steigungen verschiedener Sekanten mit Hilfe der Werte, die Sie für \Delta x und \Delta y aus dem Applet entnehmen können.

Was können Sie nun über die Steigung im Punkt A sagen?


Um zu entscheiden, ob das Fahrzeug aus dem Krater heraus kommt, muss ein genauer Wert für die Steigung der Tangenten an den Graphen im Punkt A betrachtet werden. Wenn die Steigung des Kraters im Punkt A(300|180) kleiner als 1,15 ist, kann das Raumfahrzeug den Krater verlassen.


Die weiteren Betrachtungen führen wir nun etwas allgemeiner auch für andere Funktionen durch, bevor wir die Steigung im Punkt A des Kraters tatsächlich berechnen.

Verallgemeinerung

Die Überlegungen, die wir für die Kraterfunktion angestellt haben, kann man auch für andere Funktionen durchführen.

Stift.gif   Aufgabe 9

Auf dem Arbeitsblatt, das am Pult liegt, ist der Graph der Funktion f mit  f(x)=x^2 gezeichnet.
a) Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte A(1|f(1)) und B(2|f(2)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
b) Zeichnen Sie ebenso die Sekante durch die Punkte A(1|f(1)) und C(1,5|f(1,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
c) Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Graphen im Punkt A(1|1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung.




Stift.gif   Aufgabe 10

Wir betrachten weiterhin die Funktion f mit f(x)=x^2.
a) Bestimmen Sie rechnerisch für die Werte x_0=1 und x_1=2 mit Hilfe der Formel m=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} die Steigung der Sekante durch die Punkte A(1|f(1)) und B(2|f(2)). Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
b) Näheren Sie nun die Steigung der Tangenten im Punkt A(1|1) an den Graphen besser an, indem Sie für x1 einen Wert wählen, der näher an x0 liegt. Vergleichen Sie mit Ihrem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
c) Überlegen Sie, wie man einen möglichst genauen Wert für die Steigung der Tangenten erhalten kann.




Information
Da sich dadurch einige Rechungen später einfacher gestalten lassen, betrachten wir noch eine andere Schreibweise:
Anstatt x1 immer mehr x0 anzunähern, kann man auch die Differenz h=\Delta x=x_1-x_0 klein werden lassen. Es ist dann  x_1=x_0+h.


Stift.gif   Aufgabe 11

a) Überlegen Sie, wo in der folgenden Zeichnung die Größen h, x_0+h, f(x_0+h), f(x_0+h)-f(x_0) zu finden sind.
b) Geben Sie eine Formel für die Sekantensteigung für eine Funktion f an, wenn die Sekante durch den Punkt A(x0| f(x0)) und den Punkt B(x0+h| f(x0+h)) gehen soll.
c) Welches rechnerische Problem ergibt sich, wenn man in dieser Formel einfach h= 0 setzen würde.




Stift.gif   Aufgabe 12

Gegeben ist wieder die Funktion f mit  f(x)=x^2.

Berechnen Sie für h = 0,1 (h= 0,01 und h = 0,001) die Steigung der Sekanten für x_0= 1 und x_1= 1+h . (Verwenden Sie die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners; Schreiben Sie dazu h=0,1^n mit n gleich 0, 1, 2, 3,...)

Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1|1). Vergleichen Sie mit den Ergebnissen der vorherigen Aufgaben.



Nuvola apps kcmdrkonqi.png Übungen für Fortgeschrittene 

Stift.gif   Aufgabe 13

a) Bestimmen Sie wie in der vorherigen Aufgabe einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an der Graphen der Funktion f mit f(x)=x^2 im Punkt A(3| 9).
b) Bestimmen Sie wie in der vorherigen Aufgabe einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an der Graphen der Funktion f mit f(x)=3 x^2+2 im Punkt A(2| f(2)).




Differenzenquotient

Stift.gif   Aufgabe 14

Erläutern Sie die Vorgehensweise im Abschnitt "Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate" und im Abschnitt "Von der Sekanten- zur Tangentensteigung". Vergleichen Sie dabei die Vorgehensweisen und arbeiten Sie Gemeinsamkeiten heraus.


Farm-Fresh plenumPlenumsphase





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