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Längentreue von Affinitäten

Wie wir bei dem Unterpunkt Teilverhältnis gesehen haben, ändert sich bei der zentrischen Streckung die Länge einer Strecke.

Dies trifft sicher nicht für alle Affinitäten zu. Bei einer Drehung bleibt die Länge beispielsweise konstant.

Stift.gif   Aufgabe

Untersuche weitere dir bekannte affine Abbildungen auf "Längentreue". Worin unterscheiden sich die Affinitäten, die Längen erhalten von den übrigen? Erstelle zur Hilfe eine Tabelle, in der du längentreue und nicht längentreue Abbildungen mit ihrem jeweiligen Abbildungsmatrizen gegenüberstellst.

Wenn du hierzu noch einmal die Geogebra-Applets für Teilverhältnisse nutzen willst, klicke hier.

Welche Abbildungen Längen erhalten und welche nicht, erfährst du hier:

Verschiebungen, Spiegelungen an einer Geraden, sowie Drehungen erhalten Längen; bei zentrischen Streckungen und Scherungen kann sich die Länge einer Strecke ändern.

Deine Tabelle für die Gegenüberstellung der Affinitäten kannst du hier vergleichen.

Mit weitergehenden Überlegungen, die hier nicht vollbracht werden müssen, findet man folgende Bedingungen für längentreue Abbildungen:

Maehnrot.jpg
Merke:

Eine Affinität ist genau dann längentreu, wenn die Abbildungsmatrix A entweder die Form \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} oder die Form  \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} besitzt und die Bedingung  a^2+b^2=1 erfüllt ist.

Solltest du gut in der Zeit liegen und Interesse daran haben, den Beweis dieser Bedingungen zu sehen, klicke hier.

Hand.gif   Übung

Zeige in deinem Heft, dass für die in der Tabelle unter "längentreu" bzw. "nicht längentreu" sortierten Abbildungen die Bedingungen des Merksatzes erfüllt sind bzw. nicht erfüllt sind.

Beispiel Spiegelung an einer Geraden
Die zugehörige Matrix hat die Form \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} mit a=cos2\varphi und b=sin2\varphi.
a^2+b^2=(cos2\varphi)^2+(sin2\varphi)^2=1

Die Spiegelung erfüllt alle Bedingungen einer längentreuen Affinität.

Alles verstanden? Dann weiter zu Winkeltreue.